三種算法求解一個數組的子數組最大和

本文轉載自查看原文 2012-05-17 15:21 12250 最大子數組/ Algorithm

題目：要求一個數組連續下標和的最大值，數組的元素可正、可負、可為零，例如-2，5，3，-6，4，-8，6將返回8。

這題是很經典的一道面試題，也有各種解法，從算法分析上，時間復雜度也有很大差別，下面我就給出三種不同的解法。

方法一：暴力枚舉法
此種方法最簡單，我想應該也是每個人拿到題目想到的第一種解法了，學過一點編程的人都應該能編出此類程序。
記sum[i..j]為數組中第i個元素到第j個元素的和（其中0<=i<j<=n-1），通過遍歷所有的組合之和，就能找到最大的一個和了。
偽代碼如下：

int maxSubArray(int *A,int n) {
    int maxium = -INF; //保存最大子數組之和
    for i=0 to n-1 do
        sum = 0; //sum記錄第i到j的元素之和
        for j=i to n-1 do
            sum += A[j];
        if sum>maxium do //更新最大值
            maxium = sum;
    return maxium;
}

此種方法的時間復雜度為O(n2)，顯然不是一種很好的辦法，也不是公司面試希望你寫出這樣的程序的。

方法二：分支界定
這里再介紹一種更高效的算法，時間 復雜度為O(nlogn)。這是個分治的思想，解決復雜問題我們經常使用的一種思維方法——分而治之。
而對於此題，我們把數組A[1..n]分成兩個相等大小的塊：A[1..n/2]和A[n/2+1..n]，最大的子數組只可能出現在三種情況：
    A[1..n]的最大子數組和A[1..n/2]最大子數組相同；
    A[1..n]的最大子數組和A[n/2+1..n]最大子數組相同；
    A[1..n]的最大子數組跨過A[1..n/2]和A[n/2+1..n]
前兩種情況的求法和整體的求法是一樣的，因此遞歸求得。
第三種，我們可以采取的方法也比較簡單，沿着第n/2向左搜索，直到左邊界，找到最大的和maxleft，以及沿着第n/2+1向右搜索找到最大和maxright，那么總的最大和就是maxleft+maxright。
而數組A的最大子數組和就是這三種情況中最大的一個。
偽代碼如下：

int maxSubArray(int *A,int l,int r) {
    if l<r do
        mid = (l+r)/2;
        ml = maxSubArray(A,l,mid); //分治
        mr = maxSubArray(A,mid+1,r);
        for i=mid downto l do
            search maxleft;
        for i=mid+1 to r do
            search maxright;
        return max(ml,mr,maxleft+maxright); //歸並
        then //遞歸出口
            return A[l];
}

方法三：動態規划
這算是一個經典的動態規划的題目了，如果不知道動態規划可以先不去理解這個名詞。用通俗點的語言描述這個算法就是：
令cursum(i)表示數組下標以i為起點的最大連續下標最大的和，而maxsum(i)表示前i個元素的最大子數組之和。那么我們就可以推出下一個maxsum(i+1)應該為cursum(i+1)和maxsum(i)中選取一個最大值。遞推式為：
cursum(i) = max{A[i],cursum(i-1)+A[i]};
maxsum(i) = max{maxsum(i-1),cursum(i+1)};
偽代碼為：

int maxSubArray(int *A,int n) {
    cursum = A[0];
    maxsum = A[0];
    for i=1 to n-1 do
        /*當我們加上一個正數時，和會增加；當我們加上一個負數時，和會減少。如果當前得到的和是個負數，那么這個和在接下來的累加中應該拋棄並重新清零，不然的話這個負數將會減少接下來的和。*/
        if cursum<0 do
            cursum = 0;
        cursum += A[i];
        if cursum>maxsum do
            maxsum = cursum;
    return maxsum;
}

這種算法時間復雜度只是O(n)，效果非常好！
具體實現代碼如下：

#include <iostream>
#include <iterator>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
using namespace std;

const int INF= 0x7fffffff;
int max_sub_array( int arr[], int n, int &left, int &right)
{
     int maxium=-INF;
     int sum;
     for( int i= 0;i<n;i++){
        sum= 0;
         for( int j=i;j<n;j++){
            sum+=arr[j];
             if(sum>maxium){
                maxium=sum;
                left=i;
                right=j;
            }
        }
    }

     return maxium;
}
int max_sub_array( int arr[], int l, int r, int &left, int &right)
{
     if(l<r){
         int mid=(l+r)/ 2;
         int ll,lr;
         int suml=max_sub_array(arr,l,mid,ll,lr);
         int rl,rr;
         int sumr=max_sub_array(arr,mid+ 1,r,rl,rr);
         int sum_both= 0;
         int max_left=-INF;
         int ml,mr;
         for( int i=mid;i>=l;i--)
        {
            sum_both+=arr[i];
             if(sum_both>max_left){
                max_left=sum_both;
                ml=i;
            }
        }
         int max_right=-INF;
        sum_both= 0;
         for( int i=mid+ 1;i<=r;i++)
        {
            sum_both+=arr[i];
             if(sum_both>max_right){
                max_right=sum_both;
                mr=i;
            }
        }
        sum_both=max_left+max_right;
         if(suml<sumr) {
             if(sumr<sum_both) {
                left=ml;
                right=mr;
                 return sum_both;
            }
             else {
                left=rl;
                right=rr;
                 return sumr;
            }

        }
         else{
             if(suml<sum_both) {
                left=ml;
                right=mr;
                 return sum_both;
            }
             else {
                left=ll;
                right=lr;
                 return suml;
            }

        }
    }
     else {
        left=l;
        right=r;
         return arr[l];
    }
}
int max_sub_array_( int arr[], int n, int& left, int&right)
{
     int cursum=arr[ 0];
     int maxsum=arr[ 0];
     int pos= 0;
    pos= 0;
     for( int i= 1;i<n;i++) {
//         if(cursum<0)
//             cursum=0;
        cursum+=arr[i];
         if(cursum<arr[i])
        {
            pos=i;
            cursum=arr[i];
        }
         if(cursum>maxsum)
        {
            maxsum=cursum;
            left=pos;
            right=i;
        }
    }
     return maxsum;

}
void test1()
{
     int arr[]={- 2, 5, 3,- 6, 4,- 8, 6};
     int len= sizeof(arr)/ sizeof(arr[ 0]);
     int left,right;
     int sum;
    cout<< " arr: ";
    copy(arr,arr+len,ostream_iterator< int>(cout, " "));
    cout<<endl;
    sum=max_sub_array(arr,len,left,right);
    cout<< " method1:( "<<left<< " , "<<right<< " )   ";
    cout<< " sum= "<<sum<<endl;
    sum=max_sub_array(arr, 0,len- 1,left,right);
    cout<< " method2:( "<<left<< " , "<<right<< " )   ";
    cout<< " sum= "<<sum<<endl;
    sum=max_sub_array(arr,len,left,right);
    cout<< " method3:( "<<left<< " , "<<right<< " )   ";
    cout<< " sum= "<<sum<<endl;

}
void test2()
{
     const int LEN= 10;
     int arr[LEN];
     int sign[LEN];
    srand(time( 0));
     for( int i= 0;i<LEN;i++){
         int val=rand()% 1000;
         if(val% 2== 0)
            sign[i]= 1;
         else
            sign[i]=- 1;
    }
     for( int i= 0;i<LEN;i++){
         int val=rand()% 100;
        arr[i]=val*sign[i];
    }
     int left,right;
     int sum;
     int len=LEN;
    cout<< " arr: ";
    copy(arr,arr+len,ostream_iterator< int>(cout, " "));
    cout<<endl;
    sum=max_sub_array(arr,len,left,right);
    cout<< " method1:( "<<left<< " , "<<right<< " )   ";
    cout<< " sum= "<<sum<<endl;
    sum=max_sub_array(arr, 0,len- 1,left,right);
    cout<< " method2:( "<<left<< " , "<<right<< " )   ";
    cout<< " sum= "<<sum<<endl;
    sum=max_sub_array(arr,len,left,right);
    cout<< " method3:( "<<left<< " , "<<right<< " )   ";
    cout<< " sum= "<<sum<<endl;

}
int main()
{
    test2();
}

其中test1函數是題目給出的數組測試，test2是進行隨機產生數來測試。

大致的效果如下：

test1測試：

test2測試：

參考：http://www.cnblogs.com/hazir/archive/2011/05/08/2447289.html

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