開篇
在實際的過程中，總需要對一些數據進行排序，在眾多的排序算法中，快速排序是較為常用的排序算法之一。而網上對於快速排序的中文資料還不是很全。寫這篇博文主要記錄一些自己對於快速排序的了解，以及對快速排序的性能的分析。我將在這里記錄下我對快速排序的認識和學習過程 ，用盡可能簡單明了的敘述來闡述我的理解。
快速排序基於算法中很重要的思想是 分治。所以會先介紹一下分治思想，然后對算法原理進行介紹，接着會分析算法的性能並對算法作進一步的討論。
注：為了便於說明問題,本博文中會用到部分《introduction to algorithm》中的圖片。
關鍵詞：快速排序、分治、遞歸
“大事化小”——從分治說起
分治？
分治法是算法中常用的策略之一，很多算法都是基於分治法的，今天要說的快速排序也一樣。為了能更好的理解快速排序，先簡單的介紹一下分治法。
顧名思義，分治，可理解為分而治之。就是把原問題（遞歸地）分解為多個子問題(一般是和原問題本質相同的問題，只是規模上的縮小，如果現在不能理解請看后文解釋)，解決這些子問題，合並其結果，獲得原問題的解。
簡單的說就是“大事化小” 把復雜的問題分為多個簡單問題，解決了這些簡單問題，原問題也就隨之解決了。
如何分治
從上面的分析中可知道，用分治的思想解決問題的步驟大致為：
分解（Divide）：將原問題分為一系列子問題
解決（Conquer）：遞歸的解決子問題。如果子問題足夠小，直接解決子問題
合並（Combine）：將子問題的結果合並為原問題的
借助下圖，可更清晰的了解分治的思想：
如上圖所示，原問題是規模為 n 的問題，在樹的第一層，把問題分為規模為n/2的兩個子問題，如果解決了這兩個子問題，把它們合並就能得到原問題的解。
現在來看其中的一個子問題，為了解決他們，又把它分為兩個規模更小的問題n/4。解決了規模為n/4的問題，合並之就能得到規模 n/2 的問題的解。
按照上面的思想，把原問題遞歸的分解為規模小的問題，然后合並之就能得到原問題的解。
到現在對分治的思想應該有了一定的認識，其實分治思想可謂博大精深，不是三言兩語能討論清楚的，這里這說明一個基本思想，就不做深入討論了。
快速排序原理
基本思想：
上文已經說過快速排序是基於分治思想的，把問題的規模遞歸的變小，然后依次解決子問題，自后得到原問題的解。
既然是基於分治思想，那么快速排序步驟也和分治一樣：
我們假設原問題是要對數組 A[p,r] 中的數據進行排序
分解(Divide)：
將數組 A[p,-------,r] 分為兩個數組 A[p,....,q-1 ] 和 A[q+1,.....r] 使得 數組 A[p,....,q-1 ]中的每一個數都小於q ,數組 A[p,....,q-1 ]中的每一個數都大於q。
其實這步的關鍵就是找到那個 q 然后遍歷數組，把小於 q 的元素放在 q 的左邊，大於q 的元素放在右邊。這樣就使得 q 左邊的元素都小於 q 右邊的元素。
當問題被分解的足夠小，當 q 左邊只有一個元素 a ，q 右邊也只有一個元素 b 的時候，那么 a q b 就是一個有序數組，其實這也就完成了一次排序。
解決（conquer）：
（遞歸調用快速排序），對數組 A[p,....,q-1 ] 和 A[q+1,.....r] 進行排序。對於其中的一個數組將被分為更小的數組，直到數組內數據有序。
隨着問題規模的減小，數組內的元素也在減小，當數組內元素只有3 個的時候，它的下一次分解會產生兩個規模為 1 的問題，這也就是上面說的“數組內部有序”的狀態了。
下面是一個圖示：
假設問題一直被分解，直到上圖中數組有三個元素的狀態 ，這個狀態再分解就得到箭頭下方所指的狀態，可以發現，這個狀態已經是有序的了，直接合並，就能得到有序序列。
合並（combine）：
如上文所說，兩個數組都是經過排序的（其實每個數組內只有一個元素了，所以也不存在什么排序），所以直接合並就能得到有序的數組。
算法說明
算法
下面是快速排序的算法說明：
快速排序的函數是"QUICKSORT()"該函數有三個參數，
第一個參數A 表示要排序的數組，也就是給該函數傳入要排序的數組的指針。
第二個參數p 和 第三個參數 r 標記出了要排序的數組的范圍，即：這函數將數組A 的第p個到第 r 個參數排序。
下面是對這個算法的分析：
算法的第1行判斷要排序的數組是范圍是否合法，p 表示的是開始的位置， r表示的是結束的位置，所以只有p<r 才能進行排序。
第2 行：其實就是一個問題分解的過程，從數組中選一個元素q（可能是任意選擇的，也可能存在其他的選擇方式）；
然后將數組A中的元素分為兩部分：小於q的部分[p....q-1]放在q的左邊，和大於q的部分[q+1....r]放在q 的右邊。至此，原來要排序的數組A[p...r]被分為了兩部分。
只要按照上面所做的，再對這兩個新產生是數組進行排序就行了。也就是第3 和第4行所做的事情。
分治思想的體現：
從中也可以看出分治的思想，算法中的第2行通過q 把原問題分解為兩個規模較小的問題，注意：只是規模縮小了，問題的本質並沒有改變，對於被縮小后的問題，還是要進行排序。第3 、4 用同樣的方法來處理問題。因為問題的本質沒變，只是規模的縮小，所以還是可以調用解原問題的那個函數，只要修改參數就可以了。這時候我們就能更好的理解函數"QUICKSORT"了，它有三個參數，后面的兩個參數正是用來控制問題規模的。可能有人已經看出來了，這里還體現出遞歸的思想：在解決的過程中調用自身。當然了 ，對於遞歸這里就不做深入討論了。
關鍵部分：
在上面的算法中，其實最關鍵的還是第2 行的那個Partition()。正是這個函數，將問題分解成了問題本質不變而規模變小的子問題，這個函數的實現也是這個算法的關鍵。
基本思路：
Partition(A，p,r)的目的是將從數組A[p....r]中選一個數q，將小於q的元素放在q左邊，大於q的放在右邊。可以先自己思考 一下這個算法能怎樣實現。
一種簡單的想法是：申請一個大小為(r-q)的空間B[ ]，遍歷數組A[p...r],將每一元素和q比較，如果小於q 就從左邊放入新申請的空間中，如果大於，就從右邊放入。
最后把A[p...r]中的內容用b[ ]中的內容替換。當然，這是最直觀的思維，這樣做明顯的空間和時間復雜度都不好。所以這不是快速排序中所采用的策略。
下面是快速排序所使用的Partition(A，p,r)的實現：
我的建議是：最好自己先分析一下這個算法，也很值得分析。我覺得它對空間和時間的處理真的很妙。畫一個圖會對分析很有幫助。
下面對這個函數的實現做一些簡單分析：
第1行，函數選擇x=A[r]來作為分界點，也就是上面所討論的q。通過它把數組分為兩部分。
第2行，定義了變量i，i 是一個維護“小於區”的指針。i 左邊的元素都是小於分界點x 的元素。每當發現一個小於x的元素，就把它放在i 的后面，同時 i++；
第3行，for 循環並定義變量 j ，j 遍歷整個數組，並和分界點x 進行比較（第4行）如果元素A[j]<=x,那么就把這個元素加入到小於分界點x的區域。同時i ++，
具體的實現就是5、6行的功能。
第7行，已經完成遍歷，小於分界點x 的元素都在i 左邊的區域中，右邊的區域都是大於x 的，所以只要將分界點元素加入到他們中間即可。
實例是學習知識的最好途徑！
本例將描述該算法對一個包含8個 元素的數組的操作過程。具體的操作過程如下圖所示，函數中的變量在途中都已標出。
可結合算法和上文的算法分析來看這個圖，思路就會變得清晰了。
算法性能分析
通過上面的算法分析已經知道，如果能“盡快地”把原問題分為規模小的問題（可直接求解的問題），那么它的效率是比較好的。如果每次划分都能平均的將規模縮小一半，那么這種划分就是能最快到達目的的。而這種划分的結果直接和分界點 q 相關，如果每次划分時的q 選的足夠好，也就是小於q 的元素個數等於 大於 q 的元素個數，那么這將是最好的情況。
當然現實中的情況不可能是這樣，因為q 的選擇往往是隨機的。而且如果專門為選擇一個合適的 q 又用一個函數來實現，那么算法的效率將得不到保障。
總結下上面所說的就是：快速排序的運行時間與划分是否對稱有關。
最壞情況：
最壞情況也就是要划分最多次數。只要每次划分都把規模為n的問題分解為 n-1 和 1 。這種情況每一次的划分都出現這種極不對稱的划分，它的效率將是最低的。
假設對規模為n 的問題的划分代價為f(n).
那么，對於規模為n 的問題的時間為：T(n)=T(n-1)+T(1)+f(n)。
T(1): 數組中只有一個元素，已經是最小，不用繼續分解規模，所以划分時間f(1)=0;
所以 T(n)=T(n-1)+f(n)
這樣看來， 如果將每一層的遞歸代價加起來，每分解一次，其時間復雜度為f(n*n) (n的平方)
如果每一層的划分都是極不對稱的，那么算法的運行時間就是：f(n*n) 。
最佳情況：
上文中已經說過最佳情況，對於規模為n 的問題，最佳情況分為兩個規模為n/2 的問題。表達其運行時間的遞歸式為：
T(n)<=2T(n/2)+f(n)
該遞歸式的解為：T(n)=O(n lg n).
划分的兩端都是對稱的，所以從漸進意義上看，算法運行的就更快了。
平衡的划分：
最佳情況和最壞情況都是實際情況中的兩個極端，在實際中比較少見，所以這里討論一下兩者的折中。這里假設每次划分的過程總是產生9:1 的划分，應該比較“接近”實際情況了。
這時，快速排序的時間遞歸式為：
T(n)<=T(9n/10)+T(n/10)+cn
這里，我們顯示的寫出了f(n)中的常數c。下圖顯示了這個遞歸過程的遞歸樹：
請注意這個樹的每一層代價都是cn ，直到圖中的倒數第三行未知，在此之前各層的代價至多為cn，后面的代價總是小於cn，
所以才有T(n)<=T(9n/10)+T(n/10)+cn。
這種情況下，快排的復雜度總為O(n lg n).從漸進意義上來說，這和平均划分的效果是一樣的。
小結
關於快速排序的具體算法是現在網上有很多，這里就不寫出來了，關鍵的是掌握其中的思想。
即：遞歸、分治。
參看資料：算法導論
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一條魚、尹雁鈴@ 博客園 2012-4-16
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