利用最大堆和最小堆在線尋找中位數

題外話：
前段時間參加校園招聘，經常在一些公司的筆試或者面試中遇到一些不錯的算法題，回到宿舍和同學進行交流，收獲許多。這段時間，工作定下來后，整天閑着沒事，就整理之前一些不錯的算法題及其想法。下面這個算法題是一個同學去參加百度校園招聘面試時遇到的題目，當時他寫了一篇日志。看到他那篇日志，我和舍友小平同學討論了兩三個小時。下面對當時的想法進行一些整理。

問題：
給定n個int型的數和一個空的集合，每次往集合中插入一個數，每次插入之后給出這個集合的中位數。（中位數的概念是：如果集合有奇數個數，給出排序后處在最中間的那個數；如果是偶數個數，給出排序后最中間兩個數的均值。）

分析：
該同學在日記里寫到，他看到題目時想到的是O(N*N)的算法，但是沒有說具體的算法步驟和思想。我猜想，他可能是想在插入時是采用插入排序的思想，則在集合中插入一個數的復雜度為O(N)，從排好序的集合中選出中位數則是一個復雜度為O(1)的過程，總共插入N次，所以總復雜度為O(N*N)。

小平和我在看到題目時，第一時間想到的都是“二分”。在每次將數插入集合時，采用“二分查找”尋找該數在集合中的位置，這個過程的復雜度是O(log(N))，得出中位數的過程則是O(1)，插入了N次，所以復雜度為O(N*log(N))。

關於二分插入的思想，上面的復雜度分析好像毋庸置疑。但是，上面的分析過程是不對的。采用二分查找，則集合必須能隨機訪問，而這只能使用數組來實現。然而，在數組插入一個數，則需要將該位置后面的所有元素向后移動。上面的思想中，在二分查找到一個數的位置，並將該數插入集合中，則需要后移該位置后的所有元素。在最壞情況下，每次插入的位置都是第一個，則“移動元素”操作的復雜度為O(N)，那么該思想的復雜度仍然是O(N*N)。

有個同學在該日記的回復給了我思路，該同學的回復是：

“感覺用堆也是可以的，所有比中位數大的組成一個最小堆，比中位數小的組成一個最大堆，每次插入只進行一個堆的插入，然后中位數一定是原中位數、最大堆的最大值和最小堆最小值中產生，再進行堆的調整就可以了，不過復雜度也是NlogN”

剛開始，小平和我對這個回復進行了一下討論，但是沒討論出一個結果。但是，這個“最大堆和最小堆”卻一直縈繞在我的潛意識中。躺在床上，准備睡覺的時候，恍然大悟：可以使用兩個變量來控制最大堆和最小堆中元素的個數差。

具體的思路如下：

集合中元素，前一半存儲在一個最大堆中，后一半存儲在一個最小堆中。使用變量MaxHeapNum記錄最大堆元素的個數，使用變量MinHeapNum記錄最小堆元素的個數。控制MaxHeapNum與MinHeapNum的差不能超過1。每次將要插入的元素Num與最大堆頂部元素MaxHeapTop和最小堆的頂部元素MinHeapTop將進行比較，根據具體情況進行插入：

1.如果Num < MaxHeapTop，則
  1.1 如果MaxHeapNum <= MinHeapNum，將Num插入最大堆；
  1.2 如果MaxHeapNum == MinHeapNum + 1，將MaxHeapTop從最大堆中移到最小堆，並將Num插入最大堆。
2.如果MaxHeapTop <= Num <= MinHeapTop，則
  2.1 如果MaxHeapNum <= MinHeapNum，將Num插入最大堆；
  2.2 如果MaxHeapNum == MinHeapNum + 1，將Num插入最小堆；
3.如果Num > MinHeapTop，則
  3.1 如果MinHeapNum <= MaxHeapNum，將Num插入最小堆；
  3.2 如果MinHeapNum == MaxHeapNum + 1，將MinHeapTop移到最大堆中，將Num插入最小堆。

在每次插入后，都要根據情況對MaxHeapNum和MinHeapNum進行變更，並將有改動的堆進行堆調整。

上面的插入情況會保證最大堆和最小堆的元素個數差小於1，中位數就只在最大堆和最小堆的頂部元素中產生：如果最大堆和最小堆的元素個數相等，則中位數為最大堆和最小堆的頂部元素的平均值；否則，中位數為元素個數多的那個堆的堆頂元素。

復雜度分析：每次插入元素時的堆調整平均復雜度為O(log(N/2))，插入N次，所以總的復雜度為O(N*log(N/2))。

總結：
前面插入排序的思想和二分查找的思想之所以復雜度高，是因為其做了許多尋找中位數之外的操作，即排序。題目只是要求每次插入集合時，求出集合的中位數，而對集合中的元素是否排序沒有要求。尋找中位數，我只需要知道中間的數就OK了，沒有必要對所有元素排好序。這正是最后一種思想的精髓：盡量減少額外操作的消耗。