Burnside和Polya定理都是高级计数的工具。对于一般计数问题，可以用排列组合来统计，但是对于更复杂的问题，比如对n个点用m种颜色染色，并且认为这n个点可以相互转移，即第一个点的位置可以与第二个点互换等等，求最多有多少种不同的染色（两种染色不同，当且仅当两者在空间上存在相同位置的两点颜色 ...

1、置换 　　置换简单来说就是对元素进行重排列，如下图所示。置换是[1,n]到[1,n]的一一映射。 　　举个直观的例子，将正方形绕其中心逆时针旋转90度，可以看成是正方形四个顶点的一个置换。关于 ...

polya定理是组合数学中比较难的一部分。首先需要对置换群、集合论有一定的了解，这样有助于理解burnside引理的证明。其次，polya定理只 是对于在环上存在旋转、反射等等价的变换的一种计数方法，实际的题目中很多需要其他的知识来进行辅助。 环上的计数主要就是处理置换 -> 着色这种情况 ...

最近，研究了两天的Burnside引理和Polya定理之间的联系，百思不得其解，然后直到遇到下面的问题： 对颜色限制的染色 例：对正五边形的三个顶点着红色，对其余的两个顶点着蓝色，问有多少种非等价的着色？ 其中置换的方法有旋转 \(0^{\circ}, 72^{\circ}, 144 ...

PS: 写的时候博主比较naive，所有的变换都是向右结合的，还请谅解（ 0. 引子 (update 2020/12/21){#s-0} 直接上理论会有点难受，不妨先来点简单的计数题找找感觉？ ...

reference： https://blog.csdn.net/xym_CSDN/article/details/53456447 https://blog.csdn.net/thchua ...

Polya定理 本篇文章并不是详细讲解，而是加深自己的记忆 群： 群的定义： 集合 \(G\) 和作用于集合 \(G\) 的二元计算 \(×\)，满足以下 \(4\) 个性质就记为 \((G,×)\)。 封闭性：\(a,b∈G\), \(a × b∈G\) 结合律 ...

昨天看了一下午《组合数学》最后一章然后晚上去看别人的blog发现怎么都不一样，我一定是学了假的polya 其实是一样的，只不过《组合数学》没有太多的牵扯群论。于是又从群论角度学了一遍。 现在来总结，我主要从书上的角度来，群论的知识见$TA$爷的总结 置换 设$X$为有限集 ...