微积分小感——1.导数与微分 所需的前置知识： 1）函数的概念 2）实数理论 3）极限理论（第0章） §1.导数 —1.速度、切线与导数的定义 ​ 想当年，牛老爵爷[1]发明“导数”（他称之为“流数”）的概念，便是为了解决如下的问题： 已知函数 \(y=f(x)\) 描述 ...

　　在一元函数中，我们已经知道导数就是函数的变化率。对于二元函数我们同样要研究它的“变化率”。 　　在xOy平面内，当动点由P(x0,y0)沿不同方向变化时，函数f(x,y)的变化快慢一般说来是不同的，因此就需要研究f(x,y)在(x0,y0)点处沿不同方向的变化率。 　　在这里我们只学习函数 ...

和、差、积、商求导法则 　　设u=u(x),v=v(x)都可导，则： (Cu)’ = Cu’, C是常数 (u ± v)’ = u’ ± v’ (uv)’ = u’v + uv’ ...

什么是反函数 　　一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y= ...

什么是导数 　　导数是高数中的重要概念，被应用于多种学科。 　　从物理意义上讲，导数就是求解变化率的问题；从几何意义上讲，导数就是求函数在某一点上的切线的斜率。 　　我们熟知的速度公式：v = s/t，这求解的是平均速度，实际上往往需要知道瞬时速度： 　　当t趋近于t0，即t-t0 ...

幂函数的扩展形式 　　f(x) = xn的导数：f’(x) = nxn-1，n是整数，该公式对f(x) = xm/n, m,n 是整数同样适用。 　　推导过程： 　　两端同时求导，由于y是x的函数，根据链式求导法则： 什么是隐函数 　　引自知乎： 　　“如果方程F(x,y ...

　　梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。 　　梯度的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。 　　在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性 ...

多元复合函数二阶导数与向量微积分的思考 引入 对于形似\(z=f(u_1,u_2,...,u_n),\)其中\(u_i=g_i(x_i)\)的多元复合函数，对其二阶导数的考察常常会经过繁琐而重复的运算，且容易在连续运用链式法则时犯错。本文将提出该类题型的通解以及理论推导过程供参考。 例1：设 ...