PS: 写的时候博主比较naive，所有的变换都是向右结合的，还请谅解（ 0. 引子 (update 2020/12/21){#s-0} 直接上理论会有点难受，不妨先来点简单的计数题找找感觉？ ...

reference： https://blog.csdn.net/xym_CSDN/article/details/53456447 https://blog.csdn.net/thchua ...

最近，研究了两天的Burnside引理和Polya定理之间的联系，百思不得其解，然后直到遇到下面的问题： 对颜色限制的染色 例：对正五边形的三个顶点着红色，对其余的两个顶点着蓝色，问有多少种非等价的着色？ 其中置换的方法有旋转 \(0^{\circ}, 72^{\circ}, 144 ...

Burnside引理与polay定理 引入概念 1.置换 简单来说就是最元素进行重排列 是所有元素的异议映射，即\([1,n]\)映射到\([1,n]\) \[\begin{pmatrix} 1&2&i \ldots n \\ a_{1} & a_ ...

Polya定理 置换群中的概念（数学表达）： \(M=\frac{1}{G}\sum\limits_{i=1}^g m^c\) G:表示置换的个数，m表示颜色种类(方案中不一定使用全部颜色)，c表示每种置换的循环节个数 注释：循环节个数解释: \[\left[ \begin{array ...

　　Burnside和Polya定理都是高级计数的工具。对于一般计数问题，可以用排列组合来统计，但是对于更复杂的问题，比如对n个点用m种颜色染色，并且认为这n个点可以相互转移，即第一个点的位置可以与第二个点互换等等，求最多有多少种不同的染色（两种染色不同，当且仅当两者在空间上存在相同位置的两点颜色 ...

　　我想了想，发现可以证明burnside定理。 置换：n个元素1,2,…,n之间的一个置换表示1被1到n中的某个数a1取代，2被1到n中的某个数a2取代，直到n被1到n中的某个数an取代，且a1,a2,…,an互不相同。 置换群：置换群的元素是置换，运算是置换的连接 ...

polya定理是组合数学中比较难的一部分。首先需要对置换群、集合论有一定的了解，这样有助于理解burnside引理的证明。其次，polya定理只 是对于在环上存在旋转、反射等等价的变换的一种计数方法，实际的题目中很多需要其他的知识来进行辅助。 环上的计数主要就是处理置换 -> 着色这种情况 ...