在△ABC 中，∠B = 90°，∠A = 60°，D 为 BC延长线上一点，点 E 为 线段 AC、CD 各自的垂直平分线的交点，连接 EA、EC、ED；直线 CF 与 ED 交于点 F，且满足 ∠CFD = ∠CAE. P 为直线 CF 上一动点，当 PE - PD 的值最大时，求 PE、PD 和 AB 之间的数量等式关系.
解：由题设条件可知，∠ACB = 30° 以及 △EAC 和 △ECD 为等腰三角形，即有 EA = EC = ED. 设 ∠CAE = α，∠CDE = β，于是
∠ACD = ∠ACE + ∠ECD = α + β = 180° - ∠ACB = 180° - 30° = 150°
∠AED = ∠AEC + ∠CED = (180° - 2α) + (180° - 2β) = 360° - 2(α + β) = 60°
结合 EA = ED，可知 △EAD 为正三角形. 连接 AD，作点 D 关于直线 CF 的对称点 G，连接 GC，连接 EG 并延长 与 CF 交于点 P（如下图所示），此时 PE - PD = PE - PG = EG.
取 CF 上任意其它点，不妨以点 C 为例，CE - CD = CE - CG < EG（在 △ECG 中，有 CG + EG > CE）. 因此，图中点 P 就是使得 PE - PD 的值最大的点.
由 ∠CFD = ∠CAE，可知四边形 ACFE 中，∠CAE + ∠CFE = 180°，于是
∠ACF = 360° - 180° - ∠AEF = 120°
∠DCF = ∠ACD - ∠ACF = 150° - 120° = 30°
于是 ∠GCD = 30°·2 = 60°，且有 CG = CD，即有 △GCD 为正三角形.
考察 △ACD 和 △EGD，前者绕点 D 顺时针旋转 60° 后与后者重合，用三角形全等的说法则有：
AD = ED，
∠ADC = ∠GDC - ∠GDA = ∠EDA - ∠GDA = ∠EDG，
CD = GD，
故 △ACD ≌ △EGD (SAS)，于是 EG = AC = 2AB，所求的关系等式即为
PE - PD = 2AB.