伴随矩阵

定义：见课本P178

性质

1. 不可逆的方阵也有伴随矩阵！！！
2. 伴随矩阵 的 秩 与 原矩阵 的 秩 的关系

证明：

• 当 时，，所以 ，所以
• 当 时，，但是矩阵 中至少存在一个 阶子式不为 0（秩的定义），根据 的定义，所以
  为了证明 ，下面证明
  这里利用公式 ，根据有关秩的结论，我们得到 ，因为 ，所以
  综上：
• 当 时，矩阵 中所有 阶子式均为 0，即 ，所以

3. 与原矩阵行列式之间的关系

\[|A^*| = |A| ^{n-1} \]

4. \[AA^*=A^*A=|A|E \]