由于作者时间缘故，将只挑选一些比较重要的部分讲述。
注意，这一部分和\(Ax=b与Ax=λx\)的\(n乘n\)方阵情况是不同的，后两者一种是线性系统，一种是特征值。

线性代数——向量空间和子空间(\(Ax=b m乘n\))

向量空间

• 向量空间\(R^n\)包括所有有n个实分量的列向量。
• M(所有2x2实矩阵)，F(所有实值函数)以及Z(单个零向量)都是向量空间。
• 一个向量空间中的子空间由所有\(v和w\)的线性组合\(cv+dw\)组成（包括零向量）。
• 列空间由所有列向量的线性组合组成。这些组合结果是所有可能的向量\(Ax\)，they fill the column space C(A)。
• 当\(b\)在\(A\)的列空间时，\(Ax=b\)可解。

\(A\)的零空间，求解\(Ax=0\)和\(Rx=0\)

• \(R^n\)中的零空间\(N(A)\)包含所有\(Ax=0\)的解\(x\)。这也包含\(x=0\)。
• 消元（从\(A\)到\(U\)到\(R\)）不改变零空间：\(N(A)=N(U)=N(R)\)。(\(U\)是上三角型，\(R\)是行最简型)
• 行最简型\(R=rref(A)\)的所有主元都为1，同时上方和下方均为零
• 如果\(R\)的第\(j\)列向量是自由的(无主元)，一定存在使\(Ax=0\)得一个特解，其中\(x_j=1\)
• 主元数=\(R\)中的非零行的个数=秩\(r\)。同时有\(n-r\)个自由列向量。
• 所有满足\(m<n\)的矩阵在零空间一定有\(Ax=0\)的非零解。

译名问题

reduced row echelon form 译为 行最简型
pivot 译为 主元

ChangeLog

11月15日 22:15 开始的开始。最简单的一章结束。
11月17日 15:45 第二章结束。