线性规划的对偶理论

首先我们指出对线性规划问题引入对偶问题的动机：有时解对偶问题会比解原问题更容易，同时便于后续进行灵敏度分析。

目录

• 线性规划的对偶理论
  • 1 推导
  • 2 变换
  • 3 性质
  • 4 影子价格

1 推导

考虑线性规划问题

\[\max z=cx \quad s.t. Ax\le b, x_i \ge 0 \]

现假设 \(x\) 是一个可行解，则对于任意一个非负向量 \(y \ge 0\)，有

\[y^TAx \le y^Tb \]

假设能找到 \(y\) 满足 \(c \le y^T A\)，那么对所有可行解 \(x\) 都有

\[cx \le y^TAx\le y^Tb \]

即 \(y^Tb\) 是原问题的一个上界，那么现在我们要找最小的一个，得到对偶问题

\[\min w=b^Ty \quad s.t. A^Ty\ge c^T, y_i \ge 0 \]

此时原问题的最优解和对偶问题的最优解一定满足 \(\max z=\min w\)。

2 变换

假设我们由一个最大化的问题，我们通过如下步骤将其转化为其对偶问题

• 目标函数改为最小化
• \(x_i \ge 0\) 对应约束条件 \(\ge\)，\(x_i\) 无约束对应约束条件 \(=\)
• 原约束条件 \(\le\) 对应 \(y_i \ge 0\)，原约束条件 \(=\) 对应 \(y_i\) 无约束

补充说明一点，从实际意义上来说，光看大于号小于号或许会有点奇怪，我们可以考虑变量自身约束或者方程约束条件对于目标函数优化的贡献“方向”。设想一个系数全正的目标函数，那么 \(\ge 0\) 的变量变换后始终是限制目标函数的，反之亦然。

3 性质

• 对偶的对偶就是原问题
• \(CX\le Yb\)，其中 \(X,Y\) 是原问题、对偶问题的任意可行解
• 具有无界解的问题的对偶是无解的问题
• 当可行解 \(X,Y\) 满足 \(CX=Yb\) 时它们是最优解
• 原问题有最优解则对偶问题有目标函数值相同的最优解
• 互补松弛性：可行解 \(X,Y\) 是最优解当且仅当 \(YX_S=0\) 且 \(Y_SX=0\)
• 原问题单纯形表的检验数行对应对偶问题的一个基本解

4 影子价格

我们观察到乘子 \(Y=C_BB^{-1}\) 到处都是，它究竟是什么？

现考虑问题的最优基 \(B\)，那么 \(z^*=C_BB^{-1}b=Y^*b\)，对 \(b\) 求偏导数，得到

\[\frac {\partial z^*} {\partial b}=C_BB^{-1}=Y^* \]

因此，\(Y^*\) 实际上反映了某种资源的单位资源转化为利润的效率。由于它是在目标函数的最优值中体现的，因此说 \(Y^*\) 包含了每种资源对目标函数的边际贡献。

现在我们再回过头去从实际意义上解释原问题与对偶问题的关系。

每一个写着大于等于号的约束等式意味着把足够制造一个产品的资源整体卖掉获得的收入必须不低于产品的售价，而最小化的系数则是收购各种资源的数量。我们发现，原问题的 C 在这里仍然是价格量纲，原问题的 b 在这里仍然是资源数量量纲。对偶问题中，每种资源的数量是固定的，我们考虑的是安排各种资源的单位价格，使得收购这些资源的成本最小化，当然在将足够制造某个商品的资源卖掉后收入不能低于该商品的售价。