生产计划优化
企业的生产计划优化问题就是一类对偶问题。
例如：某厂生产A，B， C三种产品，每种产品的单位利润分别为12，18和15，资源消耗如下表，求总利润最大的生产方案。
| A | B | C | 限制 | |
| 原料1/单位产品 | 6 | 9 | 5 | 200 |
| 原料2/单位产品 | 12 | 16 | 17 | 360 |
| 人工/单位产品 | 25 | 20 | 12 | 780 |
设生产A，B，C分别为𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑个单位，数学模型为（LP）:
考虑到资源限制：
如果把接受外来加工任务看成将企业的三种资源（原料1、原料2和人工）出售给对方，每单位资源 i 售价（利润）为𝑦𝑖，𝑖 = 1、2、3，则6个单位资源1加12个单位资源2再加上25个小时人工相当于一个单位产品A，故这些资源的总售价应至少为产品A的售价，不然给别人加工不如自己生产产品A。
即 𝟔𝒚𝟏 + 𝟏𝟐𝒚𝟐 + 𝟐𝟓𝒚𝟑 ≥ 𝟏𝟐。
同理有𝟗𝒚𝟏 + 𝟏𝟔𝒚𝟐 +𝟐𝟎𝒚𝟑 ≥ 𝟏𝟖，𝟓𝒚𝟏 + 𝟏𝟕𝒚𝟐 + 𝟏𝟐𝒚𝟑 ≥ 𝟏𝟓。
我们得到如下对偶线性规划（DLP）:
- 线性规划及其对偶互为对偶规划。
- 当一对对偶线性规划问题都有可行解时，对偶问题的最优目标值与原始问题的最优目标值相等。
线性规划对偶
对称型：
上面的那两组就属于对称型。
而对于标准型，也可以给出几个例子：
①
②
对偶问题解的实际意义：
- 了解本企业资源价格𝑦1, … , 𝑦𝑚（称为影子价格）；依据市场价格𝑝𝑖与企业资源价格𝑦𝑖的差异，若 𝑦𝑖 − 𝑝𝑖 > 0 ,则从市场购进资源 𝑖 ，经过调整产量，可以获得更大的利润。
- 企业合作谈判中可以知己知彼，不吃亏的同时也不失去机会