傅里叶系列（二）傅里叶变换的推导

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关于傅里叶级数的推导详见：

我们先把傅里叶级数转换为指数形式：

三角函数形式：

$\begin{equation} \begin{split} f(t) &=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{[a_{n}cos(n\omega t)+b_{n}sin(n\omega t)]} \end{split} \end{equation}\tag{1}$

$\begin{align} &a_{0}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)dt \tag{2} \\ &a_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)cos(n\omega t)dt \tag{3} \\ &b_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)sin(n\omega t)dt \tag{4}\\ \end{align}$ 代入欧拉公式：

$e^{i\theta}=cos(\theta)+isin(\theta)\\$

可以变形为：

$cos(\theta)=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\\$

$sin(\theta)=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}=-i\cdot \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2}\\$

将 $sin(\theta)$ 、 $cos(\theta)$ 代入傅里叶级数求得：

$\begin{align} f(t)&=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{[a_{n}\frac{e^{in\omega t}+e^{-in\omega t}}{2}-ib_{n}\frac{e^{in\omega t}-e^{-in\omega t}}{2}]} \\ &=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{[\frac{a_{n}-ib_{n}}{2}e^{in\omega t}+\frac{a_{n}+ib_{n}}{2}e^{-in\omega t}]} \tag{5}\\\end{align}\\$

将(2)、(3)、(4)代入得：

$\begin{align} \frac{a_{n}-ib_{n}}{2}&=\frac{1}{T}[\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)cos(n\omega t)dt-i\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)sin(n\omega t)dt]\\ &=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)[cos(n\omega t)-isin(n\omega t)]dt\\ &=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)[\frac{e^{in\omega t}+e^{-in\omega t}}{2}-i\cdot (-i)\cdot \frac{e^{in\omega t}-e^{-in\omega t}}{2}]dt\\ &=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-inwt}dt\\ \end{align}$

同理可得： $\frac{a_{n}+ib_{n}}{2}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{inwt}dt$

将两式代入到(5)中解得：

$\begin{align} f(t)&=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)dt+\frac{1}{T}\sum_{n=1}^{\infty}{[\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-inwt}dt\cdot e^{in\omega t}+\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{inwt}dt\cdot e^{-in\omega t}]}\\ &=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)dt+\frac{1}{T}\sum_{n=1}^{\infty}{\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-inwt}dt\cdot e^{in\omega t}}+ \frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{-1}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-inwt}dt\cdot e^{in\omega t}\\ &=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-inwt}dt\cdot e^{in\omega t\tag{6}}\\ \end{align} \\$

(注：当 $n=0$ 时： $\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-inwt}dt \cdot e^{inwt}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)dt$ )

公式（6）为傅里叶级数的指数形式

然后我们来仔细研究下公式(6)

$f(t)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-in \omega t}dt\cdot e^{in\omega t}\tag{6}$

聪明的你，一定可以看出来这个累加很有希望转换成一个积分形式。

积分表达式的累加形式为：

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{h \rightarrow 0}\sum_{n=0}^{b-a}{f(a+ n\cdot h)\cdot h} \\$

其中 $h$ 为步长.同理我们有：

$\omega=\frac{2\pi}{N} (N\to + \infty \space N\in Z)\\$

设 $\omega_{x}=\frac{2\pi}{N}\cdot n$ ，得到：

$\begin{align} f(t)&=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-in\omega t}dt\cdot e^{in\omega t}\\ &=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}{[ F(\omega_{x})\cdot e^{i\omega_{x} t}]}\\ &=\frac{N}{2\pi\cdot T} \cdot \sum_{n=-\infty}^{+\infty}{[ F(\omega_{x})\cdot e^{i\omega_{x} t}\cdot\frac{2\pi}{N}]}\\&= \frac{N}{2\pi\cdot T} \int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega_{x})\cdot e^{i\omega_{x} t}d\omega_{x} \\ \end{align} \\$

我们令 $T \to N$ 即可得到一个标准化的傅里叶变化公式：

$f(t)= \frac{1}{2\pi } \int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega_{x})\cdot e^{i\omega_{x} t}d\omega_{x} \tag{7}$

其中

$F(\omega_{x})= \int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-i\omega_{x}t }dt \tag{8}$

总结下思路：

1、先将傅里叶级数从三角函数形式化为欧拉公式形式

2、通过欧拉公式我们发现可以把累加形式化为积分形式

3、将其中的积分因子提取出来，方便之后的计算

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