由于笔者水平有限，文中难免存在一些不足和错误之处，诚请各位批评指正。
三角函数系
众所周知，傅里叶级数（Fourier series）是把类似波的函数表示成简单正弦波的方式。更正式地说，它能将任何周期函数或周期信号分解成一个（可能由无穷个元素组成的）简单振荡函数的集合，即正弦函数和余弦函数，(或者，等价地使用复指数）。
在应用傅里叶级数之前，需要先了解三角函数系及其正交性。三角函数系本质上是一个函数的集合，也可以理解为一个函数空间的基函数。通过对这组基函数进行线性组合，我们可以得到任意的周期函数：
\[sin0x,cos0x,sinx,cosx,sin2x,cos2x......sinnx,cosnx...... \]
其中 \(sin0x = 0,cos0x = 1\) ，因此我们一般用以下形式表示：
\[1,sinx,cosx,sin2x,cos2x......sinnx,cosnx...... \]
在运用这组基前，我们需要先了解这组基的性质。这里需要补充函数正交的条件，与有限维向量内积为零则正交相同，当两个函数的内积为0时这两个函数正交。而函数内积定义如下：
现规定两函数 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 与区间 \([a,b]\)，且两函数在该区间上可积且平方可积。则其内积为：
\[<f(x), g(x)>=\int_{a}^{b} f(x) g(x) d x \]
对于三角函数系，有：
\[<\sin mx,\cos nx> =\int_{0}^{2\pi}\sin mx\cdot \cos nx dx = 0,m\neq n\\ <\cos mx,\cos nx> =\int_{0}^{2\pi}\cos mx\cdot \cos nx dx = 0,m\neq n\\ <\sin mx,\sin nx> =\int_{0}^{2\pi}\sin mx\cdot \sin nx dx = 0\\ \]
因此，这组基函数两两正交。
2\(\pi\)周期函数傅里叶展开
设函数 \(f(x)\) 为周期 \(T = 2\pi\) 的函数，即 \(f(x) = f(x+2\pi)\) ，我们可以将其展成以下形式：
\[f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right) \]
不难看出其中的线性组合形式，最关键的就是解出这些系数。
第一步先求 \(a_0\) :
\[\int_{0}^{2\pi} f(x) d x=\int_{0}^{2\pi} \frac{a_{0}}{2} d x+\int_{0}^{2\pi} \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x d x+\int_{0}^{2\pi} \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin n x d x \]
根据三角函数系基函数的正交性：
\[\begin{aligned}\int_{0}^{2\pi} \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x d x+\int_{0}^{2\pi} \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin n x d x &= a_{n}\int_{0}^{2\pi} \sum_{n=1}^{\infty} 1\cdot\cos n x d x+ b_{n} \int_{0}^{2\pi} \sum_{n=1}^{\infty}1\cdot\sin n x d x\\ &=a_n \cdot0+b_n\cdot 0\\ &=0 \end{aligned} \]
所以：
\[\int_{0}^{2\pi} f(x) d x=\int_{0}^{2\pi} \frac{a_{0}}{2} d x \]
即：
\[a_{0}=\frac{1}{ \pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) d x \]
值得注意的是，这里用 \(\frac{a_{0}}{2}\) 而不是 \(a_{0}\) 是为与其他系数统一形式；
第二步求 \(a_n\) ：
先对等式两边同乘 \(\cos mx\) :
\[\int_{0}^{2\pi} f(x) \cos m x d x= \int_{0}^{2\pi} \frac{a_0}{2} \cos m x d x+ \int_{0}^{2\pi} \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x \cos m x d x+ \int_{0}^{2\pi} \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} \sin nx \cos m xd x \]
根据三角函数系基函数的正交性：
\[\int_{0}^{2\pi} \frac{a_0}{2} \cos m x d x =0\\ \int_{0}^{2\pi} \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} \sin nx \cos m xd x=0\\ \int_{0}^{2\pi} \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x \cos m x d x = \int_{0}^{2\pi} a_{n} \cos n x \cos m x d x \quad m=n \]
带入得：
\[\int_{0}^{2\pi} f(x) \cos n x d x=\int_{0}^{2\pi} a_{n} \cos^2 n x d x \]
其中 \(\int_{0}^{2\pi} \cos^2 n x d x = \pi\) ，可得：
\[a_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \cos n x d x \]
第三步求 \(b_n\) ：
与求 \(a_n\) 同理，先对等式两边同乘 \(\sin mx\) ，经过计算可得：
\[b_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \sin n x d x \]
综上，我们可以对周期为2\(\pi\)的周期函数按照傅里叶级数展开：
\[f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x+\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n x \]
其中：
\[\begin{aligned} &a_{0}=\frac{1}{ \pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) d x\\ &a_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \cos n x d x\\ &b_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \sin n x d x \end{aligned} \]
2L周期函数傅里叶展开
设函数 \(f(t)\) 为周期 \(T = 2L\) 的函数，即 \(f(t) = f(t+2L)\) ，对其换元：
\[x = \frac{\pi}{L} t \\ t = \frac{L}{\pi}x\\ f(t) = f(\frac{L}{\pi}x) = g(x) \]
根据 \(f(t) = f(t+2L)\) ，有：
\[g(x) = g(x+2\pi) \]
这样一来便可以通过对周期 \(T = 2\pi\) 的函数 \(g(x)\) 按照傅里叶级数展开:
\[g(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x+\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n x \]
其中：
\[\begin{aligned} &a_{0}=\frac{1}{ \pi} \int_{0}^{2\pi} g(x) d x\\ &a_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} g(x) \cos n x d x\\ &b_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} g(x) \sin n x d x \end{aligned} \]
代入 \(x = \frac{\pi}{L} t\) 得：
\[\begin{aligned} f(t) &= g(x)\\ \cos nx &= \cos \frac{n\pi}{L}t \\ \sin nx &= \sin \frac{n\pi}{L}t\\ \int_{0}^{2\pi}dx &= \int_{0}^{2L}d\frac{\pi}{L}t\\ &=\frac{\pi}{L}\int_{0}^{2L}dt \end{aligned} \]
将上式代入函数 \(g(x)\) 的傅里叶级数展开可得：
\[f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos \frac{n\pi}{L}t+ \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin \frac{n\pi}{L}t \]
其中：
\[\begin{aligned}&a_{0}=\frac{1}{L} \int_{0}^{2L} f(t) d t\\&a_{n}=\frac{1}{L} \int_{0}^{2L} f(t) \cos \frac{n\pi}{L}td t\\&b_{n}=\frac{1}{L} \int_{0}^{2L} f(t) \sin \frac{n\pi}{L}td t\end{aligned} \]
在工程中，习惯用 \(T = 2L\) 中的 \(T\) 直接表示函数周期，用 \(\omega=\frac{\pi}{L}=\frac{2 \pi}{T}\) 表示频率，因此我们可以将上式改写为：
\[\begin{aligned} f(t)&=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n\omega t +\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n\omega t\\ \end{aligned} \]
其中：
\[\begin{aligned}a_{0}&=\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) d t\\a_{n}&=\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cos n\omega tdt\\b_{n}&=\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \sin n\omega tdt\end{aligned} \]
傅里叶级数的复数形式
傅里叶级数的复数形式是推导傅里叶变换的基础，我们可以通过欧拉公式：
\[e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta\\ \]
将傅里叶级数中的三角函数转化为指数形式:
\[\begin{aligned} \cos \theta&=\frac{1}{2}\left(e^{i \theta}+e^{-i \theta}\right) \\ \sin \theta&=-\frac{1}{2} i\left(e^{i \theta}-e^{-i \theta}\right) \end{aligned} \]
将上式带入傅里叶级数公式：
\[\begin{aligned} f(t)&=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \frac{1}{2}\left(e^{in\omega t}+e^{-i n\omega t}\right) -\sum_{n=1}^{\infty} b_n \frac{1}{2} i\left(e^{i n\omega t}-e^{-i n\omega t}\right)\\ &=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}-ib_n}{2}e^{i n\omega t}+ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}+ib_n}{2}e^{-i n\omega t}\\ &令\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}+ib_n}{2}e^{-i n\omega t}中n = -n\\ &=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}-ib_n}{2}e^{i n\omega t}+ \sum_{n=-\infty}^{-1}\frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2}e^{i n\omega t}\\ &=\sum_{n=0}^{0}\frac{a_{0}}{2}e^{i n\omega t}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}-ib_n}{2}e^{i n\omega t}+ \sum_{n=-\infty}^{-1}\frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2}e^{i n\omega t}\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{i n\omega t} \end{aligned} \]
其中：
\[c_{n}=\left\{\begin{array}{cl} \frac{a_{0}}{2}, & n=0 \\ \frac{a_{n}-i b_{n}}{2}, & n=1,2,3,4...\\ \frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2} & n=-1,-2,-3,-4... \end{array}\right. \]
根据：
\[\begin{aligned}a_{0}&=\frac{2}{T} \int_{0}^{2L} f(t) d t\\a_{n}&=\frac{2}{T} \int_{0}^{2L} f(t) \cos n\omega td t\\b_{n}&=\frac{2}{T} \int_{0}^{2L} f(t) \sin n\omega td t\end{aligned} \]
代入可得到 \(c_n\) ：
\[\begin{aligned}c_n &= \frac{a_{0}}{2} \\&=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) d t\\&=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t)e^{0} d t\end{aligned} \]
\[\begin{aligned} c_n &= \frac{a_{n}-i b_{n}}{2} \\ &=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t)(\cos n\omega t - i\sin n\omega t) d t\\ &=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t)e^{-in\omega t} d t \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} n&=-1,-2,-3,-4...\\ c_n &= \frac{a_{-n}+i b_{-n}}{2} \\ &=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t)[\cos (-n\omega t) + i\sin (-n\omega t) ] d t\\ &=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t)e^{-in\omega t} d t \end{aligned} \]
我们发现，无论 \(n\) 的取值如何， \(c_n\) 都可以通过一个式子表示：
\[c_n =\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t)e^{-in\omega t} d t \]
从傅里叶级数到傅里叶变换
以上我们始终在讨论周期函数的傅里叶级数展开，因为非周期函数无法写出傅立叶级数。非周期函数意味着在定义域内不重复，或者说在无穷远处重复，所以说，非周期函数的周期 \(T\) 就趋近于无穷，即 \(T\rightarrow \infty\)
\[\lim _{T \rightarrow \infty} f_{T}(t)=f(t) \]
进一步，根据 \(T = \frac{2\pi}{\Delta\omega}\) ，我们有：
\[\lim _{T \rightarrow \infty}\Delta \omega=0 \]
回顾傅里叶级数的复数形式：
\[\begin{aligned} f_T(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{i n\omega t} \end{aligned} \]
其中：
\[c_n =\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t)e^{-in\omega t} d t \]
我们将 \(c_n\) 代入，可以得到：
\[f_T(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t)e^{-in\omega t} d t\cdot e^{i n\omega t} \]
将 \(T = \frac{2\pi}{\Delta\omega}\) 代入得：
\[f_T(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{\Delta\omega}{2\pi} \int_{0}^{T} f(t)e^{-in\omega t} d te^{i n\omega t} \]
当 \(T\rightarrow \infty\) 时：
\[\begin{aligned} \lim _{T \rightarrow \infty} f_{T}(t)&= \lim _{T \rightarrow \infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{\Delta\omega}{2\pi} \int_{0}^{T} f(t)e^{-in\omega t} d t\cdot e^{i n\omega t}\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d\omega}{2\pi} \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t} d t\cdot e^{i \omega t}\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t} d t\cdot e^{i \omega t}d\omega\\ &=f(t) \end{aligned} \]
即：
\[f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t} d t\cdot e^{i \omega t}d\omega\\ \]
等式右侧的中间部分即为傅里叶变换：
\[F（\omega)=\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t} d t\cdot \]
而等式右侧以外的部分即为傅里叶逆变换：
\[f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i \omega t}d\omega\\ \]
注意到此处推导出的傅里叶变换积分下限为0而非负无穷，是因为在工程中时间 \(t\) 有起点，即从零开始，与 \(F（\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t} d t\) 无本质区别。将上文中 \(\int_{0}^{2\pi}、\int_{0}^{2L}\) 与 \(\int_{0}^{T}\) 分别替换为\(\int_{-\pi}^{\pi}、\int_{-L}^{L}\) 与 \(\int_{-T/2}^{T/2}\) 即可得到从负无穷积分到正无穷的形式，即 \(F（\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t} d t\) 。
