(1). 真实的函数：f(x); ===》 相当于“真值”
(2). 由拉格朗日差值法得到的 n 阶多项式：Ln(x); ===》 相当于“观测值”
(3). 拉格朗日差值法存在的误差：Rn(x); ===》 相当于“改正值”
由3个值之间的关系：“真值” = “观测值” + “改正值”得到 ===》f(x) = Ln(x) + Rn(x);
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插入一段(普适公式：对于一切的函数f(t)均成立，这是一个“离散型”的公式) ===》
这代表着，任何一个函数f(t)，它经过了 n+1 个定点：[xi, f(xi)]，其中 i = 0, 1, ..., n-1, n; 和一个动点：[x, f(x)]，当然，这个动点的所有信息是无从得知的，但是可以肯定的是，它一定在 y=f(x) 上移动，所以可以让它来代表所有的f(t)上的点。
事实上，我们将[x, f(x)]代入上式就会得到一个恒等式：f(x) = f(x) ，这跟x的取值没有关系。但是，由于x是一个动点、是代表的所有的f(t)上的点，所以x将不能被固定，也就是说不能被赋予特定的值去验证，因为一旦这样做，这个表达式将不会代表“真值”，而是代表“观测值”，即由拉格朗日插值法得到的 n+1 阶多项式：Ln+1(x)，这一点尤为重要。
所以说这个表达式也可以被称为：牛顿插值永远的下一项。
由于动点无法判断，所以这一表达式仅仅用于理论上的研究，因为如果要用这一表达式求出真值函数，将要得到f(t)上所有的点，这显然是做不到的。而且这门学科，正如武老师所说：“在这门学科中，我们没有办法得到真值，只能得到近似值，然后研究近似值，使它尽可能地接近真值，即减小误差。”
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有了上述作为基础，那么Rn(t)也就可以用这个式子表达，将定点：[xi, 0]，i = 0, 1, ..., n-1, n 代入得 ===》
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注：这里的x、t为相互独立的变量。
误差函数的最大的一个特点就是，它所有的已知点(定点)都是零点，所以前 n+1 项都是0，就只剩下了最后的一项。所以可以发现，书上跳过了上述步骤，直接得到Rn(t)的表达式，然后构造了一个函数 ===》
φ(t) = Rn(t) - Rn(t)，将第二个Rn(t)替换掉，得到一个经过了 n+2 个点的函数，其中 n+1 个是零点，另一个是动点。
事实上，我们也可以这样子理解书上的例子：构造函数ψ(t)，它经过定点[xi, 0]，i = 0, 1, ..., n-1, n，和动点[x, -Rn(x)](其实就是Rn(x)的负函数)，然后构造函数φ(t) ===》
φ(t) = Rn(t) - ψ(t)，当然事先将ψ(t)解析出来，其实就是 0 = Rn(x) + (-Rn(x));
所以说，书上所构造的这个函数“又巧妙又显得有点儿捉弄智商”，为什么这样说呢？
1. 巧妙：当不知道f(t)的这种表达式的时候，构造一个函数φ(t)，这个函数经过了 n+2 个点，且都是零点。受到拉格朗日多项式插值的启发，由于Rn(t)在xi处的值当然为零、在x处为R(x)，那么就要求后面的函数在xi处为0、在x处为-Rn(x)。所以得到 ===》
2. 捉弄智商：把这 n+2 个点按照给出的公式代入，即可得到Rn(t)的表达式，大可不必费这功夫去想一个“巧妙”的函数。
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由 f(x) = Ln(x) + Rn(x) 可得：f(t) = Ln(t) + Rn(t)，自变量的符号不影响等式。
然后两边同时对 t 求 n+1 阶导(如果f(t)有 n+1 阶导数的话)，得到：f(n+1)(t) = Ln(n+1)(t) + Rn(n+1)(t)。
1. 由于Ln(t)是一个 n 阶的多项式 ===》
Ln(n+1)(t) = 0;
2. 又由于Rn(t)的表达式可以写成：Rn(t) = φ(t)·g(x)，而φ(t)是t的一个 n+1 阶多项式，g(x)可以看成一个常数 ===》
最后化简得到Rn(x)的表达式为 ===》
注：t ∈ (x0, xn)
那么当 xn --> x0 时，t --> x0 得到泰勒展开式中的拉格朗日余项 ===》
写在最后 ===》
让我们来回忆一下“可导”、“可微”、“可积”、“连续”之间的关系：
1. 可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导;
2. 可微与连续的关系：可微与可导是一样的;
3. 可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积;
4. 可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导;
总的来说：可微 <===> 可导 ===> 连续 ===> 可积;