(1). 真實的函數：f(x); ===》 相當於“真值”
(2). 由拉格朗日差值法得到的 n 階多項式：Ln(x); ===》 相當於“觀測值”
(3). 拉格朗日差值法存在的誤差：Rn(x); ===》 相當於“改正值”
由3個值之間的關系：“真值” = “觀測值” + “改正值”得到 ===》f(x) = Ln(x) + Rn(x);
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插入一段(普適公式：對於一切的函數f(t)均成立，這是一個“離散型”的公式) ===》
這代表着，任何一個函數f(t)，它經過了 n+1 個定點：[xi, f(xi)]，其中 i = 0, 1, ..., n-1, n; 和一個動點：[x, f(x)]，當然，這個動點的所有信息是無從得知的，但是可以肯定的是，它一定在 y=f(x) 上移動，所以可以讓它來代表所有的f(t)上的點。
事實上，我們將[x, f(x)]代入上式就會得到一個恆等式：f(x) = f(x) ，這跟x的取值沒有關系。但是，由於x是一個動點、是代表的所有的f(t)上的點，所以x將不能被固定，也就是說不能被賦予特定的值去驗證，因為一旦這樣做，這個表達式將不會代表“真值”，而是代表“觀測值”，即由拉格朗日插值法得到的 n+1 階多項式：Ln+1(x)，這一點尤為重要。
所以說這個表達式也可以被稱為：牛頓插值永遠的下一項。
由於動點無法判斷，所以這一表達式僅僅用於理論上的研究，因為如果要用這一表達式求出真值函數，將要得到f(t)上所有的點，這顯然是做不到的。而且這門學科，正如武老師所說：“在這門學科中，我們沒有辦法得到真值，只能得到近似值，然后研究近似值，使它盡可能地接近真值，即減小誤差。”
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有了上述作為基礎，那么Rn(t)也就可以用這個式子表達，將定點：[xi, 0]，i = 0, 1, ..., n-1, n 代入得 ===》
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注：這里的x、t為相互獨立的變量。
誤差函數的最大的一個特點就是，它所有的已知點(定點)都是零點，所以前 n+1 項都是0，就只剩下了最后的一項。所以可以發現，書上跳過了上述步驟，直接得到Rn(t)的表達式，然后構造了一個函數 ===》
φ(t) = Rn(t) - Rn(t)，將第二個Rn(t)替換掉，得到一個經過了 n+2 個點的函數，其中 n+1 個是零點，另一個是動點。
事實上，我們也可以這樣子理解書上的例子：構造函數ψ(t)，它經過定點[xi, 0]，i = 0, 1, ..., n-1, n，和動點[x, -Rn(x)](其實就是Rn(x)的負函數)，然后構造函數φ(t) ===》
φ(t) = Rn(t) - ψ(t)，當然事先將ψ(t)解析出來，其實就是 0 = Rn(x) + (-Rn(x));
所以說，書上所構造的這個函數“又巧妙又顯得有點兒捉弄智商”，為什么這樣說呢？
1. 巧妙：當不知道f(t)的這種表達式的時候，構造一個函數φ(t)，這個函數經過了 n+2 個點，且都是零點。受到拉格朗日多項式插值的啟發，由於Rn(t)在xi處的值當然為零、在x處為R(x)，那么就要求后面的函數在xi處為0、在x處為-Rn(x)。所以得到 ===》
2. 捉弄智商：把這 n+2 個點按照給出的公式代入，即可得到Rn(t)的表達式，大可不必費這功夫去想一個“巧妙”的函數。
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由 f(x) = Ln(x) + Rn(x) 可得：f(t) = Ln(t) + Rn(t)，自變量的符號不影響等式。
然后兩邊同時對 t 求 n+1 階導(如果f(t)有 n+1 階導數的話)，得到：f(n+1)(t) = Ln(n+1)(t) + Rn(n+1)(t)。
1. 由於Ln(t)是一個 n 階的多項式 ===》
Ln(n+1)(t) = 0;
2. 又由於Rn(t)的表達式可以寫成：Rn(t) = φ(t)·g(x)，而φ(t)是t的一個 n+1 階多項式，g(x)可以看成一個常數 ===》
最后化簡得到Rn(x)的表達式為 ===》
注：t ∈ (x0, xn)
那么當 xn --> x0 時，t --> x0 得到泰勒展開式中的拉格朗日余項 ===》
寫在最后 ===》
讓我們來回憶一下“可導”、“可微”、“可積”、“連續”之間的關系：
1. 可導與連續的關系：可導必連續，連續不一定可導;
2. 可微與連續的關系：可微與可導是一樣的;
3. 可積與連續的關系：可積不一定連續，連續必定可積;
4. 可導與可積的關系：可導一般可積，可積推不出一定可導;
總的來說：可微 <===> 可導 ===> 連續 ===> 可積;