有关贝祖定理的一个小问题

 

所谓贝祖定理是说：

两个整数 a、b 是互质的。等价于方程 ax+by=1有整数解。

当然。 贝祖定理另一种更一般的形式，说的是两个整数 a、b有最大公因数是c，等价于方程 ax+by=c有整数解。

这两种表述事实上是等价的。由于对另外一种形式略微一变形就得到了：

所以我们仅仅须要考虑第一种形式的贝祖定理就能够了。

贝祖定理的证明

贝祖定理的证明并不复杂。只是由于不管是中学还是大学（除了数学专业）都非常少讨论这类跟数论相关的问题，所以可能有些人会感觉这个问题有些无从下手。

这里先给个贝祖定理的简单证明。

 

首先，很easy就能够证明a、b 假设不互质。那么 ax+by=1无整数解。因此我们仅仅须要考虑a、b 是互质的这样的情况。

 

当x、y取不同整数值时。ax+by 也会有不同的结果，这些结果中最小的那个正整数设为s，也就是

ax+by=s

设a整除s 的商为q，余数为r。也就是

 

那么

如果 r 不等于0就与我们如果s为ax+by这个集合的最小的正整数矛盾了。所以r仅仅能等于0，也就是说a能够整除s。同理也能够证明b能够整除s。这说明s是a和b的公约数，而我们知道a和b是互质的，所以s仅仅能等于1。这就证明了贝祖定理。

 

x、y的计算

怎样计算x、y的值是还有一个问题，当然我们知道x、y有无数多组整数解。我们仅仅须要求出一组解就够了。

不失一般性，我们设 a > b。a = bq+r

 

 能够看到。我们将 ax+by=1转化为 ax+by'=1当中d比a要小。这个过程能够一直反复，直到当中一个整数等于1。

方程变类似形式：

ex+y=1

这时仅仅要让x=0，y=1 就能够了。然后一步步回带，就能求得最初的x、y了。

这是一个典型的递归的过程。

 以下给个C语言实现的代码。代码比較简单，就没有加入凝视：

bool Bezout(int a, int b, int *px, int *py)
{
    int q, r;
    int x, y;
    bool ok;
    if( a == 1 )
    {
        *px = 1;
        *py = 0;
        return true;
    }
    if( b == 1 )
    {
        *px = 0;
        *py = 1;
        return true;
    }

    if( a >= b )
    {
        q = a / b;
        r = a % b;
        if ( r == 0 )
        {
            return false;
        }
        ok = Bezout(r, b, &x, &y);
        if( ok )
        {
            *px = x;
            *py = y - q * x;
        }
        return ok;
    }
    else
    {
        q = b / a;
        r = b % a;
        if ( r == 0 )
        {
            return false;
        }
        ok = Bezout(a, r, &x, &y);
        if( ok )
        {
            *py = y;
            *px = x - q * y;
        }
        return ok;
    }
    return true;
}

这里是測试用例：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>

bool Bezout(int a, int b, int *px, int *py);
int main()
{
    int x, y;
    int a = 73;
    int b = 32;
    bool ok;

    ok = Bezout(a, b, &x, &y);
    if(ok)
    {
        printf("%d * %d + %d * %d = %d, is ok\n", a, x, b, y, a * x + b * y);
    }

    return 0;
}