前言
最近在讀《微積分的力量》，書中講到了阿基米德（Archimedes）的《拋物線求積法》（"Quadrature of the Parabola"）描述了阿基米德如何求解拋物線與直線圍成的拋物線弓形的面積。解決這一問題的關鍵點是證明每個新構建三角形的面積都是上一層級三角形面積的1/8，可是作者省略了這部分的證明過程，只交代了后面無窮級數的計算方法。研究了一會沒有任何頭緒，好巧的是在油管上找到了相關證明的視頻。由於是全英文視頻，不是一篇正規的文章，所以字幕比較口語化，翻譯起來也很困難，終於今天算是完成了，寫篇文章總結一下。
這是他的視頻地址：Archimedes: Quadrature of the Parabola，有條件的朋友可以去看看。
拋物線的秘密
拋物線從哪來？
取一個圓錐（corn），用一把刀🔪平行於錐體地面截切，會得到一個圓，如圖：
如果它截切的角度略微傾斜，就會得到一個橢圓，如圖：
如果它截切的角度與錐體的斜率相同，就會得到一條拋物線（parabola），如圖：
拋物線是一個優美的軸對稱圖形，在它的頂點豎直向下做一條直線，就可以得到它的對稱軸（axis of symmetry）：
而《拋物線求積法》中的積指的就是拋物線與一條直線圍成的拋物線弓形面積：
阿基米德采用了一個驚人的方法：迭代（Iterations），他把拋物線弓形想象成了一個由無數三角形碎片粘在一起形成的圖形，把這些小三角形的面積加起來，就是拋物線弓形的面積！
但如何確定每個三角形頂點的位置呢，阿基米德制定了一個規則，將弓形底部的直線向上平移直到與拋物線相切（tangent），那么這個切點就是三角形的頂點，以此類推后面的小三角形也使用這樣的規則。
最關鍵的一點來了，阿基米德證明了每個新構建三角形的面積都是上一層級三角形面積的1/8，因此，如果我們說第一層級的三角形占據了一個面積單位（這個三角形將充當我們的面積標准），那么第二層級的兩個三角形一共占據了1/8+1/8=1/4個面積單位。作者並沒有給出這部分的證明過程，聽說阿基米德在證明它的時候也是用了以前研究拋物線的數學家們的一些成果，他甚至不能自己證明所有的結果。
現代數學的證明
既然如此，我們也可以走個捷徑，用現代數學的方法來證明它！下證拋物線內每個新構建三角形的面積都是上一層級三角形面積的1/8：
\(在拋物線上取一點 O，建立笛卡爾坐標系，其中 y 軸要平行於拋物線的對稱軸\)
\(設O點處的切線方程為 y = kx ①，拋物線方程為 y = x(k - x)②\)
\(將切線向下平移長度 a，交拋物線於 P ， Q 兩點，交 y 軸於 A 點，則直線 PQ 的方程為 y = kx - a③\)
\(由②③得 x^2 = a ，故 PA = AQ\)
\(又因為AR = \sqrt{a} ，QR = k\sqrt{a}\)
\(所以\frac {AQ^2}{AO} = 1 + k^2，取決於斜率（gradient）k 的值，與截距 a 無關\)
\(由頂點B平行於拋物線對稱軸豎直做一條線，交AC於點M，則M為AC的中點\)
\(由頂點D平行於拋物線對稱軸豎直做一條直線，交AB於點P，交AC於點X，則P為AB的中點，X為AM的中點\)
\(故AP = \frac {AB}2，AX = \frac {AM}2 = \frac {AC}4，∆APX ∾ ∆ABM\)
\(做DF平行於XM，則四邊形DFMX為平行四邊形（parallelogram），DF平行且等於XM\)
\(所以\frac {DF^2}{BF} = \frac {XM^2}{BF}\)
\(因為\frac {DF^2}{BF} = \frac {AM^2}{BM} = 1 + k^2\)
\(所以\frac {DF^2}{BF} = \frac {XM^2}{BF} = \frac {AM^2}{BM} = \frac {4XM^2}{BM}\)
\(故BM = 4BF, FM = DX = \frac 34BM\)
\(因為DX = FM = 3BF，PX = \frac 12BM = 2BF\)
\(所以3BF = PD + 2BF，PD = BF = \frac 14BM = \frac 12PX\)
\(故S∆ADB = \frac 12S∆ABX = \frac 18S∆ABC\)
同理可證其他三角形，證畢。
剩下的工作就是將所有三角形的面積加起來，這其實就是積分學的雛形。假設初始三角形的面積為1，那么其生成的兩個小三角形的面積和為其\(\frac 14\)，往后是\(\frac1{16}，\frac 1{64}\)，依此類推，設拋物線弓形的面積為S，那么有：
\(S = 1 + \frac14 + \frac 1{16} + \frac 1{64} + ···\)
這類無窮級數有個捷徑可走，將兩邊乘4得：
\(4S = 4 + S，故S = \frac 43\)
面積S是一個永遠也無法算完的數，但神奇的是我們可以用一個分數\(\frac 43\)將其表示出來。就好比圓周率\(Π\)一樣，它是永遠也算不完的，但它的確存在。