關於PDH穩頻原理

大概寫於兩年前。是對文獻[1]的筆記。

PDH穩頻技術

Fabry-Perot 腔的透射和反射特性

F-P干涉儀一般用於分光。兩個波長分別為\(\lambda_1\)和\(\lambda_2\)的光入射至干涉儀，形成兩套同心圓環組。假設\(\lambda_2>\lambda_1\)則同級干涉圓環而言，\(\lambda_2\)的直徑更小。當\(\lambda_2\)波長增大，其第\(m\)級圓環將和\(\lambda_1\)的\(m+1\)級圓環重疊，從而無法分光。於是存在一最大分光波長差，即自由光譜范圍FSR。

近正入射(\(\theta\approx0\))時的F-P腔的自由光譜范圍用波長表示為\(\Delta \lambda_f=\lambda^2/(2nL)\)其中\(L\)為腔長度，可以取\(n=1\)，則換用頻率則表示為\(\Delta\nu_\text{fsr}=c/2L\)。對於正入射的平面光波\({\bf E}_\text{int}(t)={ E}_\text{inc}\exp i({\bf k}\cdot{\bf r}-\omega t){\bf e}_1\)，設從腔整體接收到的反射光波為\({\bf E}_\text{ref}(t)={ E}_\text{ref}\exp i(-{\bf k}\cdot{\bf r}-\omega t){\bf e}_1\)，其中常相位因子被吸收進復振幅中。由平行平板多光束干涉的艾里(Airy)公式，反射前后復振幅有關系：

\[F(\omega)=\frac{E_\text{ref}}{E_\text{inc}}=\frac{r\left[\exp\left(i\frac{\omega}{\Delta\nu_\text{fsr}}\right)-1\right]}{1-r^2\exp\left(i\frac{\omega}{\Delta\nu_\text{fsr}}\right)} \]

其中\(r\)是腔鏡的振幅反射系數（無吸收的對稱腔\(r_1=r_2=r<0\)且\(r^2=R\)），\(F(\omega)\)稱為腔的振幅反射系數，是復的。其模平方為光強的反射率，在無吸收鏡面的條件下，反射光強分布和透射光強分布是互補的，即二者之和為入射光強分布。

物理上，反射光束分為兩部分，一部分是迅速反射光束（入射光打到第一塊鏡就被反射回來），另一部分是腔泄漏光束（由於腔鏡反射不完全而泄露出去的光）。這二者同頻、同偏振、相位差恆定，發生干涉，干涉結果取決於相位差，相位差取決於入射光頻率\(\omega\)。\(\omega\)變動，則相位差變動，時而干涉相長時而干涉相消。

艾里公式中的相位\(\omega/\Delta\nu_\text{fsr}\)來自於\(\varphi=4\pi n h\cos\theta/\lambda\)，作出F-P腔的光強透過率和該\(\varphi\)的曲線，在\(R\sim1\)時取明條紋的半高全寬得到\(\epsilon=2(1-R)/\sqrt{R}\)，並引入精細度Finesse的定義：相鄰二條紋的相位差(\(2\pi\))和條紋半高全寬之比，即\(N=\pi\sqrt{R}/(1-R)\). 鏡面反射率\(R\)越大，條紋半高全寬越窄，精細度越高。在反射率很高、精細度很高的情況下，近似有\(N=\pi/(1-R)\)。

可以證明，當\(\omega\)變動時，\(F(\omega)\)取遍復平面上的一個圓，如下圖。

該圓和虛軸相切，位於左半平面，圓心在實軸上。

在一般情形下(F-P腔非對稱、有吸收)，腔整體的振幅反射系數為

\[F(\omega)=\frac{-r_{1}+r_{2}\left(r_{1}^{2}+t_{1}^{2}\right) \exp \left(i \frac{\omega}{\Delta \nu_{\mathrm{fsr}}}\right)}{1-r_{1} r_{2} \exp \left(i \frac{\omega}{\Delta \nu_{\mathrm{fsr}}}\right)} \]

發現滿足\(|F-Z_0|^2=R_0^2\)，其中\(Z_0\)和\(R_0\)都是實數，

\[\begin{aligned}&Z_{0}=-\frac{r_1}{1-r_{1}^{2} r_{2}^{2}}\left[1-r_{2}^{2}\left(r_{1}^{2}+t_{1}^{2}\right)\right] \\ &R_0=\frac{t_{1}^{2} r_{2}}{1-r_{1}^{2} r_{2}^{2}}\end{aligned} \]

在無吸收、對稱腔條件下\(|Z_0|=|R_0|\)，即圓切於虛軸。注意無吸收的對稱腔當\(\omega\sim2\pi N\Delta\nu_\text{fsr}\)時，\(F(\omega)\)在原點附近，若把\(\omega\)寫為\(\omega=2\pi N\Delta\nu_\text{fsr}+\delta\omega\)，帶入\(F(\omega)\)中把指數展開則得到\(F(\omega)\approx\text{i}{\delta\omega}/[{\Delta\nu_\text{fsr}(1-r^2)}]\)是純虛的。

背景

現代激光器是可調的，都有端口可以饋入頻率和強度的變換以校正並穩定。當入射光頻率與腔共振時，即\(\nu=\omega/2\pi=N\Delta\nu_\text{fsr}\)，則反射光束強度為零[\(F(\omega)=0\)]，透射光束強度達到最大。稍稍偏離共振頻率，則透射光束強度減小地很快，其中有一段大斜率的近似線性區。由此可以把激光頻率通過一個參考腔鎖定在共振頻率上，這是PDH之前的做法。但是這種做法有缺陷，考慮到激光器的輸出功率也在波動，該方法無法區分透射光強的變化究竟是頻率偏移造成的還是輸出功率波動造成的。

因此改進的辦法可以使用反射光束，如下圖所示。反射光束在嚴格共振時強度為零，在稍稍偏移共振的近共振區強度迅速增大。反饋系統的目標只要把反射光束強度鎖定為零即可。但是這里還有一個問題，就是如何區分激光的對共振頻率的偏移，是正的還是負的。觀察圖像，反射光束強度本身關於共振位置是對稱的，但是其導數是反對稱的，可以加以利用。利用其導數的方法是間接的：給入射光加以很小的頻率調制（正弦的），則反射光束強度也被調制（在近似線性區也是正弦的），如果偏移\(\delta=\omega-\omega_0\)是正的，則這兩個信號同相，如果偏移\(\delta\)是負的，則反相。這為PDH技術提供了思路。

PDH穩頻的過程

前面說的是調頻，在實際中由於簡便起見，常常是調相，二者沒有本質區別。使用圖中的電光調制（Pockels盒）給入射光加以含時間的相移

\[E_\text{inc}(t)=E_0\exp \mathrm{i}(\omega t+\beta\sin\Omega t) \]

其中\(\beta\)是電光調制的深度（是一個小量），\(\Omega\)是電光調制中本振的頻率。使用Bessel函數可以展開為

\[E_\text{inc}(t)\approx[J_0(\beta)+2iJ_1(\beta)\sin\Omega t]E_0e^{i\omega t}\\=E_0[J_0(\beta)e^{i\omega t}+J_1(\beta)e^{i(\omega+\Omega)t}-J_1(\beta)e^{i(\omega-\Omega)t}] \]

近似的好壞取決於調制深度\(\beta\)有多小，可以發現，當\(\beta\)足夠小時，入射光分為三個頻率分量：\(\omega\)的載波，兩個\(\omega\pm\Omega\)的邊帶。注意載波能量比邊帶能量大得多，因為\(J_0(0^+)=1,J_1(0^+)=0\)。

三個頻率分量對應的光強分別為：

\[P_c=J_0^2(\beta)P_0\\ P_s=J_1^2(\beta)P_0 \]

其中\(P_0=|E_0|^2\)是調制前的入射光強，\(P_c\)為\(\omega\)頻率分量對應的光強，\(P_s\)為\(\omega\pm\Omega\)頻率分量對應的光強。

F-P腔作為一個線性時不變（LTI）系統，我們已經知道了它的頻率響應，因此對入射其中的三個頻率分量的響應就是：

\[E_\text{ref}(t)=E_0\left[F(\omega)J_0(\beta)\exp(i\omega t)+F(\omega+\Omega)J_1(\beta)\exp i(\omega+\Omega )t-F(\omega-\Omega)J_1(\beta)\exp i(\omega-\Omega)t\right] \]

實際上光電探測器測得的是反射光的功率，因此把上式求模平方，得到光電管輸出的電信號為

\[P_\text{ref}(t)=P_c[F(\omega)]^2+P_s\{|F(\omega+\Omega)|^2+|F(\omega-\Omega)|^2\}\\+2\sqrt{P_cP_s}\{\text{Re}[G(\omega,\Omega)]\cos\Omega t+\text{Im}[G(\omega,\Omega)]\sin\Omega t\}\\+P_s\cdot(2\Omega~\text{terms}) \]

其中\(G(\omega,\Omega)=F(\omega)F^*(\omega+\Omega)-F^*(\omega)F(\omega-\Omega)\). 按照順序，上式前兩個\(P_c,P_s\)項不含時間，是直流項，可以通過低通濾波器濾除；最后的振幅為\(P_s\)的項頻率為\(2\Omega\)，但是振幅相比較中間的\(\sqrt{P_cP_s}\)而言很小，可以忽略。中間的振幅為\(\sqrt{P_cP_s}\)的項是重點，其振盪頻率為\(\Omega\)，既包含正弦振盪的也包含余弦振盪的，其振幅是\(G(\omega,\Omega)\)的實部或者虛部，它稱為誤差信號。稱之為“信號”是相對於激光器頻率\(\omega\)而言的，即給定電光調制的信號源頻率\(\Omega\)后，對於每個激光器頻率\(\omega\)，誤差信號\(G(\omega,\Omega)\)都給出不同的值，反映出對當前頻率\(\omega\)的“鑒定”信息。

於是先描述如何通過\(G(\omega,\Omega)\)的實部或虛部來實現穩頻（即誤差信號的形狀如何），再描述\(G(\omega,\Omega)\)的實部或虛部如何作為電壓信號提取出來。

（1）當調制頻率\(\Omega\)很小時有

\[G(\omega,\Omega)\approx 2 \Omega\operatorname{Re}\left\{F(\omega) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \omega} F^{*}(\omega)\right\} \approx \Omega \frac{\mathrm{d}|F(\omega)|^{2}}{\mathrm{d} \omega} \]

是實數，因此\(P_\text{ref}\)中的\(\sin\Omega t\)振盪項為零，而\(\Omega\)頻率分量僅剩余\(\cos\Omega t\)項，從而誤差信號為\(2\sqrt{P_cP_s}\Omega\cdot\text{d}|F|^2/\text{d}\omega\)，而\(\text{d}|F|^2/\text{d}\omega\)隨載波頻率\(\omega\)的變化如下圖（R=0.994，注意圖中橫坐標尺度為1e-3）

可見當\(2\pi\nu=\omega\)偏離腔的共振頻率時，誤差信號迅速增大。這時引入PID鎖定環路，將該誤差信號鎖到0的位置，就實現了穩頻。鎖定到橫坐標上的\(\pm10^{-4}\)以內，則厘米級的F-P腔就能提供MHz量級的頻率穩定性。

（2）當調制頻率\(\Omega\)很大，以至於邊帶錯過了透射窗口，被全部反射回去，則有\(F(\omega\pm\Omega)\approx-1\), 於是

\[G(\omega,\Omega) \approx-2\text{i}\text{Im}[F(\omega)] \]

是純虛的，這時只剩\(\sin\Omega t\)振盪。下圖給出\(G(\omega,\Omega)\)曲線，圖中參數\(R=0.994\), \(\Omega=0.04\Delta\nu_\text{fsr}\)，這時鑒頻斜率遠大於前一種低頻調制情形。

最后就是誤差信號如何提取。首先它是頻率為\(\Omega\)的信號分量的幅值，於是只需將其和一相位正交的同頻信號混頻（一般就使用前面電光調制器的信號源，經過90°移相），再經過一低通濾波，得到的直流信號功率就正比於\(G(\omega,\Omega)\)。如果要觀察誤差信號的形狀，則可以令激光器在腔共振頻率附近掃頻（即掃\(\omega\)），將誤差信號接入示波器即可。

Ref:

[1]. An introduction to PDH laser frequency stabilization (2000).