一個兩節點系統，示意圖如下：
三個發電機組\(G1,G2,G3\)在出清功率\(P_{G,1},P_{G,2}和P_{G,3}\)的下發電成本函數分別為
\[\begin{array}{l} c_1(P_{G,1})=1.05P_{G,1}+17\\ c_2(P_{G,2})=2.1P_{G,1}+25\\ c_3(P_{G,3})=1.55P_{G,3}+20 \end{array} \]
三個負載\(P1,P2,P3\)在負荷\(P_{D,1},P_{D,2}和P_{D,3}\)的用電效益函數分別為
\[\begin{array}{l} b_1(P_{D,1})=-0.4P_{D,1}+135\\ b_2(P_{D,2})=-0.8P_{D,1}+120\\ b_3(P_{D,3})=-0.5P_{D,3}+128 \end{array} \]
求解該兩節點系統的出清和節點電價？
節點電價計算公式：
\[\lambda_{i}^{\mathrm{LMP}}=-\lambda-\sum_{l=1}^{m} F_{l i}\left(\mu_{1}^{+}+\mu_{1}^{-}\right) \]
式中\(F_{li}\)為節點 \(i\) 對線路 \(l\)的發電機輸出功率轉移分布因子,由於該系統只有兩個節點，所以\(F_{li}=1\)
- 對於節點1，建立以下優化模型：
\[\begin{aligned} \max_{PD,PG} &\sum_{i=1}^{3}b_iP_{D,i}-\sum_{i=1}^{3}c_iP_{G,i}\\ \text{s.t.}\quad &0\leq P_{G,i}\leq40\text{MW},i={1,2,3}\\ &0\leq P_{D,i}\leq50\text{MW},i={1,2,3}\\ &\sum_{i=1}^{3}P_{D,i}=\sum_{i=1}^{3}P_{G,i}\\ &-10\text{MW}\leq P_{G,1}+P_{G,2}-P_{D,1}\leq 10\text{MW}\\ \end{aligned} \]
拉格朗日函數：
\[\begin{aligned} L=&\sum_{i=1}^{3}b_iP_{D,i}-\sum_{i=1}^{3}c_iP_{G,i}+\lambda (\sum_{i=1}^{3}P_{D,i}-\sum_{i=1}^{3}P_{G,i})+\mu_1^+(P_{G,1}+P_{G,2}-P_{D,1}-10)+\mu_1^-(P_{D,1}-P_{G,1}-P_{G,2}-10)\\ &+\mu_3(P_{G,1}-40)+\mu_4(P_{G,2}-40)+\mu_5(P_{G,3}-40)+\mu_6(P_{D,1}-50)+\mu_7(P_{D,2}-50)+\mu_8(P_{D,3}-50)-\mu_9P_{G,1}\\ &-\mu_{10}P_{G,2}-\mu_{11}P_{G,3}-\mu_{12}P_{D,1}-\mu_{13}P_{D,2}-\mu_{14}P_{D,3} \end{aligned} \]
根據KKT條件可以解得\(\lambda=-102.41,\mu_1^+=4.26,\mu_1^-=0\)，據據節點電價計算公式得\(\lambda_1^{LMP}=98.15\)
- 對於節點2，建立以下優化模型：
\[\begin{aligned} \max_{PD,PG} &\sum_{i=1}^{3}b_iP_{D,i}-\sum_{i=1}^{3}c_iP_{G,i}\\ \text{s.t.}\quad &0\leq P_{G,i}\leq40\text{MW},i={1,2,3}\\ &0\leq P_{D,i}\leq50\text{MW},i={1,2,3}\\ &\sum_{i=1}^{3}P_{D,i}=\sum_{i=1}^{3}P_{G,i}\\ &-10\text{MW}\leq f_{2\rightarrow1}\leq 10\text{MW}\\ \end{aligned} \]
拉格朗日函數：
\[\begin{aligned} L=&\sum_{i=1}^{3}b_iP_{D,i}-\sum_{i=1}^{3}c_iP_{G,i}+\lambda (\sum_{i=1}^{3}P_{D,i}-\sum_{i=1}^{3}P_{G,i})+\mu_1^+(P_{G,3}-P_{D,2}-P_{D,3}-10)+\mu_1^-(P_{D,2}+P_{D,3}-P_{G,3}-10)\\ &+\mu_3(P_{G,1}-40)+\mu_4(P_{G,2}-40)+\mu_5(P_{G,3}-40)+\mu_6(P_{D,1}-50)+\mu_7(P_{D,2}-50)+\mu_8(P_{D,3}-50)-\mu_9P_{G,1}\\ &-\mu_{10}P_{G,2}-\mu_{11}P_{G,3}-\mu_{12}P_{D,1}-\mu_{13}P_{D,2}-\mu_{14}P_{D,3} \end{aligned} \]
根據KKT條件可以解得\(\lambda=-98.15,\mu_1^+=0,\mu_1^-=4.26\)，據節點電價計算公式得\(\lambda_2^{LMP}=102.41\)
求得上述優化模型的解為：
| 出清功率\(PG\) | \(P_{G,1}=38.64\text{MW}\) | \(P_{G,2}=17.42\text{MW}\) | \(P_{G,3}=26.58\text{MW}\) |
|---|---|---|---|
| 機組邊際價格\(C\) | \(c_1=57.56\$/\text{MW}\) | \(c_2=61.58\$/\text{MW}\) | \(c_3=61.21\$/\text{MW}\) | |
| 機組收入 | \(2224.9333\) | $1072.4667 $ | \(1627.0638\) |
| 負載\(PD\) | \(P_{D,1}=46.06\text{MW}\) | \(P_{D,2}=10.99\text{MW}\) | \(P_{D,3}=25.59\text{MW}\) |
| 支付價格 | \(b_1=116.58\$/\text{MW}\) | \(b_2=111.21\$/\text{MW}\) | \(b_1=115.21\$/\text{MW}\) | |
| 負載支出 | \(5369.55\) | \(1222.5639\) | \(2948.1023\) |
| 總社會福利 | \(4615.8\$\) | ||
| 節點\(1\)節點電價 | \(98.15\$\) | 節點\(2\)節點電價 | \(102.41\$\) |