第二講 可測空間和可測映射(2)
1.4 可測映射和可測函數
1.4.1 映射和函數
映射和函數的基本概念：設 \(X\) 和 \(Y\) 是任意給定的集合。
- 映射/函數：如果對 \(\forall x\in X\) ，存在唯一的 \(f(x)\in Y\) 與之對應，則稱 \(f\) 為從 \(X\) 到 \(Y\) 的映射或定義在 \(X\) 上取值於 \(Y\) 的函數，常記為 \(f(\cdot)=\{f(x):x\in X\}\) 。
- 集合的原像：對任何 \(B\subset Y\) ，稱 \(f^{-1}B=\{f\in B\}=\{x:f(x)\in B\}\) 為集合 \(B\) 在映射 \(f\) 下的原像。
- 集合系的原像：對任何 \(Y\) 上的集合系 \(\mathcal{E}\) ，稱 \(f^{-1}\mathcal{E}=\{f^{-1}B:B\in\mathcal{E}\}\) 為集合系 \(\mathcal{E}\) 在映射 \(f\) 下的原像。
關於映射的原像，有以下兩個命題。注意：以下假設 \(f\) 是滿射，即 \(f(\cdot)=Y\) 。
命題 1.4.1：集合的原像有如下性質，其中 \(T\) 是任意的指標集：
命題 1.4.2：對 \(Y\) 上的任何集合系 \(\mathcal{E}\) ，有
先驗證 \(f^{-1}\sigma(\mathcal{E})\) 是 \(\sigma\) 域。
(1) 由於 \(Y\in\sigma(\mathcal{E})\) ，所以 \(X=f^{-1}Y\in f^{-1}\sigma(\mathcal{E})\) 。
(2) 若 \(A\in f^{-1}\sigma(\mathcal{E})\) ，則 \(\exists B\in\sigma(\mathcal{E})\) ，使得 \(A=f^{-1}B\) ，所以
\[A^c=(f^{-1}B)^c=f^{-1}B^c\in f^{-1}\sigma(\mathcal{E}). \](3) 若 \(A_n\in f^{-1}\sigma(\mathcal{E}),\ n\geq1\) ，則 \(\exists B_n\in\sigma(\mathcal{E})\) ，使得 \(A_n=f^{-1}B_n,\ n\geq1\) ，所以
\[\bigcup_{n=1}^\infty A_n=\bigcup_{n=1}^\infty f^{-1}B_n=f^{-1}\bigcup_{n=1}^\infty B_n\in f^{-1}\sigma(\mathcal{E}). \]所以 \(f^{-1}\sigma(\mathcal{E})\) 是 \(\sigma\) 域。
顯然 \(f^{-1}\mathcal{E}\subset f^{-1}\sigma(\mathcal{E})\) ，所以 \(\sigma(f^{-1}\mathcal{E})\subset f^{-1}\sigma(\mathcal{E})\) 。下證 \(f^{-1}\sigma(\mathcal{E})\subset \sigma(f^{-1}\mathcal{E})\) 。
令 \(\mathcal{G}=\{B\subset Y:f^{-1}B\in\sigma(f^{-1}\mathcal{E})\}\) ，下面驗證 \(\mathcal{G}\) 為 \(\sigma\) 域。
(1) 由於 \(Y\subset Y\) 且 \(f^{-1}Y=X\in\sigma(f^{-1}\mathcal{E})\) ，所以 \(Y\in\mathcal{G}\) 。
(2) 若 \(B\in\mathcal{G}\) ，則 \(B\subset Y,\ f^{-1}B\in\sigma(f^{-1}\mathcal{E})\) ，所以
\[B^c\subset Y,\quad f^{-1}B^c=(f^{-1}B)^c\in\sigma(f^{-1}\mathcal{E}), \]所以 \(B^c\in\mathcal{G}\) 。
(3) 若 \(B_n\in\mathcal{G},\ n\geq1\) ，則 \(B_n\subset Y,\ f^{-1}B_n\in\sigma(f^{-1}\mathcal{E}),\ n\geq1\) ，所以
\[\bigcup_{n=1}^\infty B_n\subset Y,\quad f^{-1}\bigcup_{n=1}^\infty B_n=\bigcup_{n=1}^\infty f^{-1}B_n\in\sigma(f^{-1}\mathcal{E}). \]所以 \(\bigcup_{n=1}^\infty B_n\in\mathcal{G}\) 。
所以 \(\mathcal{G}\) 為 \(\sigma\) 域。
又對 \(\forall B\in\mathcal{E}\) ，有 \(B\subset Y,\ f^{-1}B\in f^{-1}\mathcal{E}\subset\sigma(f^{-1}\mathcal{E})\) ，所以 \(B\in\mathcal{G}\) ，所以 \(\mathcal{E}\subset\mathcal{G}\) 。
由 \(\sigma(\mathcal{E})\) 是包含 \(\mathcal{E}\) 的最小的 \(\sigma\) 域，且 \(\mathcal{G}\) 為 \(\sigma\) 域，所以 \(\sigma(\mathcal{E})\subset\mathcal{G}\) 。即
\[\forall A\in\sigma(\mathcal{E})\ \ \Longrightarrow \ \ A\in\mathcal{G}\ \ \Longrightarrow \ \ f^{-1}A\in\sigma(f^{-1}\mathcal{E})\ \ \Longrightarrow \ \ f^{-1}\sigma(\mathcal{E})\subset \sigma(f^{-1}\mathcal{E}). \]所以 \(\sigma(f^{-1}\mathcal{E})=f^{-1}\sigma(\mathcal{E})\) 。
1.4.2 可測映射
可測映射：給定可測空間 \((X,\mathcal{F})\) 和 \((Y,\mathcal{S})\) 以及 \(X\) 到 \(Y\) 的映射 \(f\) ，如果
則稱 \(f\) 是從 \((X,\mathcal{F})\) 到 \((Y,\mathcal{S})\) 的可測映射或隨機元，稱 \(\sigma(f)\equiv f^{-1}\mathcal{S}\) 是使映射 \(f\) 可測的最小 \(\sigma\) 域。
定理 1.4.3：設 \(\mathcal{E}\) 是 \(Y\) 上的任給集合系，則 \(f\) 是 \((X,\mathcal{F})\) 到 \((Y,\sigma(\mathcal{E}))\) 的可測映射的充要條件為
該定理給出了可測映射的簡單判別法，從而不必再驗證 \(f^{-1}\sigma(\mathcal{E})\subset\mathcal{F}\) 。
充分性：若 \(f^{-1}\mathcal{E}\subset\mathcal{F}\) ，則由命題 1.4.2 可知
\[f^{-1}\sigma(\mathcal{E})=\sigma(f^{-1}\mathcal{E})\subset\mathcal{F}. \]所以 \(f\) 是 \((X,\mathcal{F})\) 到 \((Y,\sigma(\mathcal{E}))\) 的可測映射。
必要性：若 \(f\) 是 \((X,\mathcal{F})\) 到 \((Y,\sigma(\mathcal{E}))\) 的可測映射，則有 \(f^{-1}\sigma(\mathcal{E})\subset\mathcal{F}\) ，由命題 1.4.2 可知
\[\sigma(f^{-1}\mathcal{E})=f^{-1}\sigma(\mathcal{E})\subset\mathcal{F}. \]所以 \(f^{-1}\mathcal{E}\subset f^{-1}\sigma(\mathcal{E})\subset \mathcal{F}\) 。
定理 1.4.4：設 \(g\) 是可測空間 \((X,\mathcal{F})\) 到 \((Y,\mathcal{S})\) 的可測映射，\(f\) 是可測空間 \((Y,\mathcal{S})\) 到 \((Z,\mathcal{Z})\) 的可測映射，則 \((f\circ g)(\cdot)\xlongequal{def}f(g(\cdot))\) 是 \((X,\mathcal{F})\) 到 \((Z,\mathcal{Z})\) 的可測映射。
該定理給出了復合函數的可測性。
對 \(\forall C\in\mathcal{Z}\) ，有
\[(f\circ g)^{-1}C=\{x\in X,f(g(x))\in C\}=\{x\in X,g(x)\in f^{-1}C\}=g^{-1}(f^{-1}C). \]由 \(f\) 可測，故 \(f^{-1}C\in\mathcal{S}\) ，又由 \(g\) 可測，故 \(g^{-1}(f^{-1}C)\in\mathcal{F}\) 。
所以 \((f\circ g)^{-1}\mathcal{Z}\subset\mathcal{F}\) ，即 \(f\circ g\) 是 \((X,\mathcal{F})\) 到 \((Z,\mathcal{Z})\) 的可測映射。
1.4.3 可測函數
可測函數是一類特殊的可測映射，為此，要引進所謂的廣義實數的概念。
廣義實數：記 \(\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{-\infty\}\cup\{\infty\}\) 稱為廣義實數。
-
規定大小：\(\forall a\in\mathbb{R}\) ，規定 \(-\infty<a<\infty\) 。
-
規定區間：\(\forall a,b\in\overline{\mathbb{R}}\) ，規定
\[(a,b)=\{x\in\overline{\mathbb{R}}:a<x<b\}; \\ \\ [a,b)=\{x\in\overline{\mathbb{R}}:a\leq x<b\}; \\ \\ (a,b]=\{x\in\overline{\mathbb{R}}:a<x\leq b\}; \\ \\ [a,b]=\{x\in\overline{\mathbb{R}}:a\leq x\leq b\}. \] -
規定運算：\(\forall a\in\mathbb{R}\) ，規定
\[\begin{array}{ll} (1)&(\pm\infty)+a=a+(\pm\infty)=a-(\mp\infty)=\pm\infty. \\ \\ (2)&(\pm\infty)+(\pm\infty)=(\pm\infty)-(\mp\infty)=\pm\infty. \\ \\ (3)&\dfrac{a}{\pm\infty}=0. \\ \\ (4)&a\cdot(\pm\infty)=(\pm\infty)\cdot a=\left\{\begin{array}{ll} \pm\infty , & 0<a\leq\infty, \\ \\ 0 , &a=0 , \\ \\ \mp\infty, & -\infty\leq a<0. \end{array}\right. \end{array} \]注意：\((\pm\infty)-(\pm\infty),(\pm\infty)/(\pm\infty),\cdots\) 等均沒有意義。
-
規定正部和負部：\(\forall a\in\overline{\mathbb{R}}\) ，規定
\[a^+=\max\{a,0\},\quad a^-=\max\{-a,0\}=-\min\{a,0\}, \]分別稱為 \(a\) 的正部和負部，且有
\[a=a^+-a^-,\quad |a|=a^++a^-. \]
Borel \(\sigma\) 域：
-
回憶 \(\mathbb{R}\) 上的 Borel \(\sigma\) 域，\(\mathcal{B}_{\mathbb{R}}= \sigma(\mathcal{P}_\mathbb{R})=\sigma((-\infty,a]:a\in\mathbb{R})\) 。以下等式均成立：
\[\begin{aligned}\mathcal{B}_{\mathbb{R}}&=\sigma((-\infty,a]:a\in\mathbb{R}) \\ \\&=\sigma((-\infty,a):a\in\mathbb{R}) \\ \\&=\sigma((a,\infty):a\in\mathbb{R}) \\ \\&=\sigma([a,\infty):a\in\mathbb{R}). \end{aligned} \] -
定義 \(\overline{\mathbb{R}}\) 上的 Borel \(\sigma\) 域：
\[\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{R}}}\xlongequal{def}\sigma(\mathcal{B}_{\mathbb{R}},\{-\infty\},\{\infty\}). \]
命題 1.4.5：以下等式均成立：
先證 \(\sigma(\mathcal{B}_{\mathbb{R}},\{-\infty\},\{\infty\})\subset\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{R}}}\) 。
對 \(\forall a\in\mathbb{R}\) ，
\[\begin{aligned} &[-\infty,a)=\{-\infty\}\cup(-\infty,a)\in\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{R}}} \\ \\ \Longrightarrow\quad &\{[-\infty,a):a\in\mathbb{R}\}\subset\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{R}}} \\ \\ \Longrightarrow\quad &\sigma\left([-\infty,a):a\in\mathbb{R}\right)\subset\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{R}}}. \end{aligned} \]下證 \(\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{R}}}\subset\sigma(\mathcal{B}_{\mathbb{R}},\{-\infty\},\{\infty\})\) 。
首先，由 \(\sigma\) 域的可列可加性可知：
\[\{-\infty\}=\bigcap_{n=1}^\infty[-\infty,-n)\in\sigma([-\infty,a),a\in\mathbb{R}). \]其次，\(\forall b,c\in\mathbb{R}\) ，
\[\begin{aligned} &\left[b,c\right)=[-\infty,c)\setminus[-\infty,b)\in\sigma([-\infty,a),a\in\mathbb{R}). \\ \\ &\{b\}=\bigcap_{n=1}^\infty\left[b,b+\frac1n\right)\in\sigma([-\infty,a),a\in\mathbb{R}). \end{aligned} \]所以
\[\begin{aligned} \left[-\infty,n\right)\in\sigma([-\infty,a),a\in\mathbb{R}),\quad \{n\}\in\sigma([-\infty,a),a\in\mathbb{R}). \end{aligned} \]所以
\[\begin{aligned} \{\infty\}&=\bigcap_{n=1}^\infty(n,\infty]=\bigcap_{n=1}^\infty[-\infty,n]^c \\ \\ &=\bigcap_{n=1}^\infty\left([-\infty,n)\cup\{n\}\right)^c\in\sigma([-\infty,a),a\in\mathbb{R}). \end{aligned} \]最后，\(\forall a\in\mathbb{R}\) ，
\[\begin{aligned} &(-\infty,a)=[-\infty,a)\setminus\{-\infty\}\in\sigma\left([-\infty,a):a\in\mathbb{R}\right). \\ \\ \Longrightarrow\quad &\{(-\infty,a):a\in\mathbb{R}\}\subset\sigma\left([-\infty,a):a\in\mathbb{R}\right) \\ \\ \Longrightarrow\quad &\mathcal{B}_{{\mathbb{R}}}=\sigma\left((-\infty,a):a\in\mathbb{R}\right)\subset\sigma\left([-\infty,a):a\in\mathbb{R}\right). \end{aligned} \]綜上所述，
\[\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{R}}}=\sigma(\mathcal{B}_{\mathbb{R}},\{-\infty\},\{\infty\})\subset \sigma\left([-\infty,a):a\in\mathbb{R}\right). \]證畢。
可測函數和隨機變量：
- 從可測空間 \((X,\mathcal{F})\) 到 \((\overline{\mathbb{R}},\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{R}}})\) 的可測映射稱為 \((X,\mathcal{F})\) 上的可測函數。
- 從可測空間 \((X,\mathcal{F})\) 到 \((\mathbb{R},\mathcal{B}_{\mathbb{R}})\) 的可測映射稱為 \((X,\mathcal{F})\) 上的有限值可測函數或隨機變量。
定理 1.4.6（可測函數的判別方法）：下列說法等價：
(1) \(f\) 是 \((X,\mathcal{F})\) 上的可測函數或隨機變量；
(2) \(\{f<a\}\in\mathcal{F},\ \forall a\in\mathbb{R}\) ；
(3) \(\{f\leq a\}\in\mathcal{F},\ \forall a\in\mathbb{R}\) ；
(4) \(\{f>a\}\in\mathcal{F},\ \forall a\in\mathbb{R}\) ；
(5) \(\{f\geq a\}\in\mathcal{F},\ \forall a\in\mathbb{R}\) ；
注意：\(\{f<a\}=\{x\in X:f(x)<a\}=f^{-1}[-\infty,a)\) 。
推論 1.4.7：若 \(f\) 和 \(g\) 為 \((X,\mathcal{F})\) 上的可測函數，則
用 \(\mathbb{Q}\) 表示全體有理數集，由定理 1.4.6 可知
\[\{f<g\}=\bigcup_{\gamma\in\mathbb{Q}}(\{f<\gamma\}\cap\{g>\gamma\})\in\mathcal{F}. \]同理 \(\{g<f\}\in\mathcal{F}\) ，所以
\[\begin{aligned} &\{f\leq g\}=\{g<f\}^c\in\mathcal{F}. \\ \\ &\{f=g\}=\{f\leq g\}\setminus\{f<g\}\in\mathcal{F}. \end{aligned} \]對 \(\forall a\in\overline{\mathbb{R}}\) ，
- 若 \(a\in\mathbb{R}\) ，則 \(\{f=a\}=\{f\leq a\}\setminus\{f<a\}\in\mathcal{F}\) ；
- 若 \(a=\infty\) ，則 \(\{f=\infty\}=\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty\{f>n\}\in\mathcal{F}\) ；
- 若 \(a=-\infty\) ，則 \(\{f=\infty\}=\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty\{f<-n\}\in\mathcal{F}\) ，
所以 \(\{f=a\}\in\mathcal{F}\) 。
1.4.4 可測函數的例子
例1. 設 \(a\in\overline{\mathbb{R}}\) ，可測空間 \((X,\mathcal{F})\) 上的常數函數 \(f\equiv a\) 是可測函數。
\[\forall b\in\mathbb{R},\quad \{f<b\}=\left\{\begin{array}{ll} \varnothing\in\mathcal{F}, & b\leq a. \\ \\ X\in\mathcal{F} , & b>a. \end{array}\right. \]
例2. 可測空間 \((X,\mathcal{F})\) 上的集合 \(A\in\mathcal{F}\) 的示性函數 \(I_A\) 是可測函數。
\[\forall a\in\mathbb{R},\quad \{I_A<a\}=\left\{\begin{array}{ll} \varnothing\in\mathcal{F}, & a\leq 0. \\ \\ A^c\in\mathcal{F} , & 0<a<1. \\ \\ X\in\mathcal{F}, & a>1. \end{array}\right. \]
例3. \(\forall a,b\in\mathbb{R}\) 和不交的 \(A,B\in\mathcal{F}\) ，則 \(aI_A+bI_B\) 是可測函數。
僅驗證如下情況：設 \(a,b\in\mathbb{R}\) 且 \(0\leq a<b\) 。
\[\forall c\in\mathbb{R},\quad \{aI_A+bI_B<c\}=\left\{\begin{array}{ll} \varnothing\in\mathcal{F}, & c\leq 0. \\ \\ (A\cup B)^c\in\mathcal{F} , & 0<c\leq a. \\ \\ B^c\in\mathcal{F}, & a<c\leq b. \\ \\ X\in\mathcal{F}, & c>b. \end{array}\right. \]
1.5 可測函數的運算
1.5.1 四則運算和極限運算
可測函數是一種特殊的映射，其像空間 \(\overline{\mathbb{R}}\) 中的元素是可以進行運算的。本節主要討論的問題是：定義在可測空間 \((X,\mathcal{F})\) 上的可測函數，在經過 \(\overline{\mathbb{R}}\) 中的運算以后，其可測性是否仍然可以保持？
定理 1.5.1（四則運算）：如果 \(f,g\) 是可測函數，假設下面的運算均有意義，則
(1) \(\forall a\in\overline{\mathbb{R}}\) ，\(af\) 是可測函數；
(2) \(f+g\) 是可測函數；
(3) \(f\cdot g\) 是可測函數；
(4) \(f/g\) 是可測函數。
(1) 對 \(\forall a\in\overline{\mathbb{R}}\) 分類討論：
- 若 \(a=-\infty\) ，則 \(af=(-\infty)\cdot I_{\{f>0\}}+\infty\cdot I_{\{f<0\}}+0\cdot I_{\{f=0\}}\) 為可測函數；
- 若 \(a=0\) ，則 \(af=0\) 為可測函數；
- 若 \(a=\infty\) ，則 \(af=(\infty)\cdot I_{\{f>0\}}+(-\infty)\cdot I_{\{f<0\}}+0\cdot I_{\{f=0\}}\) 為可測函數；
- 若 \(a\in\mathbb{R}\) 且 \(a\neq 0\) ，
- 若 \(a\in(0,\infty)\) ，則 \(\forall b\in\mathbb{R},\ \{af<b\}=\{f<b/a\}\in\mathcal{F}\) ，故 \(af\) 為可測函數；
- 若 \(a\in(-\infty,0)\) ，則 \(\forall b\in\mathbb{R},\ \{af<b\}=\{f>b/a\}\in\mathcal{F}\) ，故 \(af\) 為可測函數；
(2) \(\forall a\in\mathbb{R}\) ，有
\[\{f+g<a\}=\bigcup_{\gamma\in\mathbb{Q}}(\{f<\gamma\}\cap\{g<a-\gamma\})\in\mathcal{F}. \]所以 \(f+g\) 為可測函數。
(3) \(\forall a\in\mathbb{R}\) ，有 \(\{f\cdot g<a\}=A_1\cup A_2\) ，其中
\[\begin{aligned} A_1&=\{fg<a\}\cap\{g=0\}=\left\{\begin{array}{ll} \varnothing\in\mathcal{F},& a\leq0. \\ \\ \{g=0\}\in\mathcal{F},& a>0. \end{array}\right. \\ \\ A_2&=\{fg<a\}\cap\{g\neq0\}=\{fg<a\}\cap(\{g>0\}\cup\{g<0\}) \\ \\ &=(\{fg<a\}\cap\{g>0\})\cup(\{fg<a\}\cap\{g<0\}) \\\\ &=\left[\{g>0\}\cap\left(\bigcup_{\gamma\in\mathbb{Q}}\{f<\gamma,\gamma g<a\}\right)\right]\cup\left[\{g<0\}\cap\left(\bigcup_{\gamma\in\mathbb{Q}}\{f>\gamma,\gamma g<a\}\right)\right]\in\mathcal{F}. \end{aligned} \]所以 \(f\cdot g\) 為可測函數。
(4) 只需證 \(1/g\) 是可測函數。\(\forall a\in\mathbb{R}\) ，有
\[\begin{aligned} \left\{\frac1g<a\right\}&=\left\{\frac1g<a\right\}\cap(\{g>0\}\cup\{g<0\}) \\ \\ &=\left[\left\{\frac1g<a\right\}\cap\{g>0\}\right]\cup \left[\left\{\frac1g<a\right\}\cap\{g>0\}\right] \\ \\ &=\left[\left\{ag>1\right\}\cap\{g>0\}\right]\cup \left[\left\{ag<1\right\}\cap\{g>0\}\right]\in\mathcal{F}. \end{aligned} \]所以 \(1/g\) 為可測函數，從而 \(f/g\) 為可測函數。
定理1.5.2（極限運算）：如果 \(\{f_n,n\geq1\}\) 是可測函數列，則
仍是可測函數。
(1) \(\forall a\in\mathbb{R},\ \displaystyle\left\{\inf_{n\geq1}f_n\geq a\right\}=\bigcap_{n=1}^\infty\{f_n\geq a\}\in\mathcal{F}\) ，所以 \(\displaystyle\inf_{n\geq1}f_n\) 是可測函數。
(2) \(\forall a\in\mathbb{R},\ \displaystyle\left\{\sup_{n\geq1}f_n\leq a\right\}=\bigcap_{n=1}^\infty\{f_n\leq a\}\in\mathcal{F}\) ，所以 \(\displaystyle\sup_{n\geq1}f_n\) 是可測函數。
(3) \(\displaystyle\liminf_{n\to\infty}f_n=\sup_{j\geq1}\inf_{n\geq j}f_n\equiv\sup_{j\geq1}F_j\) ，由於 \(F_j\) 是可測函數，所以 \(\displaystyle \liminf_{n\to\infty}f_n\) 是可測函數。
(4) \(\displaystyle\limsup_{n\to\infty}f_n=\inf_{j\geq1}\sup_{n\geq j}f_n\equiv\inf_{j\geq1}G_j\) ，由於 \(G_j\) 是可測函數，所以 \(\displaystyle \limsup_{n\to\infty}f_n\) 是可測函數。
1.5.2 可測函數的結構
下面我們討論可測函數的結構，首先介紹三個基本概念：
有限分割：有限個兩兩不交的集合 \(\{A_i\subset X,i=1,2,\cdots,n\}\) 如果滿足 \(\bigcup_{i=1}^nA_i=X\) ，則將這族兩兩不交的集合 \(\{A_i,i=1,2,\cdots,n\}\) 稱為空間 \(X\) 的一個有限分割。
有限可測分割：若對 \(\forall 1\leq i\leq n\) ，有 \(A_i\in\mathcal{F}\) ，則 \(X\) 的有限分割 \(\{A_i,i=1,2,\cdots,n\}\) 稱為可測空間 \((X,\mathcal{F})\) 的有限可測分割。
簡單函數：對可測空間 \((X,\mathcal{F})\) 上的函數 \(f:X\to\mathbb{R}\) ，如果存在有限可測分割 \(\{A_i,i=1,2,\cdots,n\}\) 和實數 \(\{a_i\in\mathbb{R},i=1,2,\cdots,n\}\) ，使得
則稱 \(f\) 為簡單函數。容易證明：簡單函數是可測函數；簡單函數的線性組合仍為簡單函數。
關於可測函數，我們作如下約定：
-
對可測函數 \(f\) ，如果 \(\exists M\in(0,\infty)\) ，使得 \(|f(x)|<M,\ \forall x\in X\) ，則稱 \(f\) 是有界的。
-
可測函數 \(f\) 的正部：\(f^+(x)=\left[f(x)\right]^+,\ \forall x\in X\) 。
可測函數 \(f\) 的負部：\(f^-(x)=\left[f(x)\right]^-,\ \forall x\in X\) 。
-
記 \(f_n(x)\to f(x)\) 表示逐點收斂，即 \(f_n(x)\to f(x),\ \forall x\in X\) 。
定理 1.5.3 ：以下兩個命題成立：
(1) 對任何非負可測函數 \(f\) ，存在非負簡單函數列 \(\{f_n,n\geq1\}\) ，使得 \(f_n\uparrow f\) 。如果 \(f\) 是非負有界可測的，則存在非負簡單函數列 \(\{f_n,n\geq1\}\) ，使得 \(f_n\uparrow f\) 對 \(\forall x\in X\) 一致成立。
(2) 對任何可測函數 \(f\) ，存在簡單函數列 \(\{f_n,n\geq1\}\) ，使得 \(f_n\to f\) 。如果 \(f\) 是有界可測的，則存在簡單函數列 \(\{f_n,n\geq1\}\) ，使得 \(f_n\to f\) 對 \(\forall x\in X\) 一致成立。
(1) 設 \(f\) 非負可測，令
\[f_n=\sum_{k=0}^{n2^n-1}\frac k{2^n}I_{\left\{\frac k{2^n}\leq f<\frac{k+1}{2^n}\right\}}+n\cdot I_{\{f\geq n\}} , \]則 \(f_n\) 是非負非降簡單函數，且
\[\left\{\begin{array}{ll} 0\leq f(x)-f_n(x)\leq \dfrac1{2^n}, & f(x)<n. \\ \\ f_n(x)=n\leq f(x), & f(x)\geq n . \end{array}\right. \]若 \(f(x)=\infty\) ，則 \(f_n(x)=n\uparrow\infty\) 。
若 \(f(x)<\infty\) ，則存在正整數 \(n_0\) ，使得 \(f(x)<n_0\) ，於是當 \(n>n_0>f(x)\) 時，有
\[|f(x)-f_n(x)|=f(x)-f_n(x)\leq \frac1{2^n}\to0. \]所以 \(f_n\uparrow f\) 。
如果 \(f\) 是非負有界可測函數，則對充分大的 \(n\) ，有
\[0\leq f(x)-f_n(x)\leq\frac{1}{2^n},\quad \forall x\in X. \]所以 \(f_n\uparrow f\) 對 \(x\in X\) 一致成立。
(2) 記 \(f=f^+-f^-\) ，由於 \(f^+\) 和 \(f^-\) 都是非負可測函數，對 \(f^+\) 和 \(f^-\) 應用結論 (1) ，又由於簡單函數的線性組合仍為簡單函數，故結論成立。
1.5.3 復合可測函數的性質
首先介紹證明與可測函數有關的典型方法：
- 證明命題對示性函數成立；
- 證明命題對非負簡單函數成立；
- 證明命題對非負可測函數成立；
- 證明命題對一般可測函數成立。
定理 1.5.4：設 \(g\) 是 \((X,\mathcal{F})\) 到 \((Y,\mathcal{S})\) 的可測映射，則 \(h\) 是 \((X,g^{-1}\mathcal{S})\) 上的可測函數（或隨機變量，或有界可測函數）的充分必要條件為存在 \((Y,\mathcal{S})\) 上的可測函數（或隨機變量，或有界可測函數）\(f\) ，使得 \(h=f\circ g\) 。
只證明可測函數的情形。
充分性：若 \(f\) 為 \((Y,\mathcal{S})\) 上的可測函數，且 \(h=f\circ g\) ，則
\[h^{-1}\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{R}}}=(f\circ g)^{-1}\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{R}}}=g^{-1}\left(f^{-1}\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{R}}}\right)\subset g^{-1}\mathcal{S}. \]所以 \(h\) 是 \((X,g^{-1}\mathcal{S})\) 上的可測函數。
必要性：利用典型方法進行證明。
Step.1 設 \(h\) 是 \((X,g^{-1}\mathcal{S})\) 上的非負簡單函數，即可寫
\[h=\sum_{i=1}^na_iI_{A_i}, \quad 0\leq a_i<\infty, \quad A_i\in g^{-1}\mathcal{S},\quad i=1,2,\cdots,n , \quad \sum_{i=1}^nA_i=X. \]取 \(C_i\in\mathcal{S}\) ，使得 \(A_i=g^{-1}C_i,\ i=1,2,\cdots,n\) ，這里的 \(C_i\) 不一定滿足兩兩不交，故作變換
\[B_i=C_i\setminus\bigcup_{k=1}^{i-1}C_k\in\mathcal{S},\quad i=1,2,\cdots,n, \]則 \(\{B_i,i=1,2,\cdots,n\}\) 兩兩不交，又 \(\{A_i,i=1,2,\cdots,n\}\) 兩兩不交，則有
\[\begin{aligned} A_i&=A_i\setminus\bigcup_{k=1}^{i-1}A_k=g^{-1}C_i\setminus\bigcup_{k=1}^{i-1}g^{-1}C_k=g^{-1}\left(C_i\setminus\bigcup_{k=1}^{i-1}C_k\right)=g^{-1}B_i. \end{aligned} \]令 \(f=\sum_{i=1}^na_iI_{B_i}\) ，則 \(f\) 是 \((Y,\mathcal{S})\) 上的非負簡單函數，且 \(\forall x\in X\) ，
\[h(x)=\sum_{i=1}^na_iI_{A_i}(x)=\sum_{i=1}^na_iI_{g^{-1}B_i}(x)=\sum_{i=1}^na_iI_{B_i}(g(x))=(f\circ g)(x). \]所以 \(h\) 為非負簡單函數時結論成立，且 \(f\) 為非負簡單函數。
Step.2 設 \(h\) 是 \((X,g^{-1}\mathcal{S})\) 上的非負可測函數，則存在非負簡單函數列 \(\{h_n,n\geq1\}\) ，使得 \(h_n\uparrow h\) 。
對每一個 \(h_n\) ，存在 \((Y,\mathcal{S})\) 上的非負簡單函數 \(f_n\) ，使得 \(h_n=f_n\circ g\) 。
令 \(F_n=\displaystyle\max_{1\leq k \leq n}f_k\) ，則 \(F_n\) 非負非降且由 \(h_n\) 單增可知 \(h_n=F_n\circ g\) ，且 \(F_n\) 為 \((Y,\mathcal{S})\) 上的可測函數。
令 \(f=\displaystyle\lim_{n\to\infty}F_n\) ，則有 \(h=f\circ g\) ，且 \(f\) 為非負可測函數。
Step.3 設 \(h\) 是 \((X,g^{-1}\mathcal{S})\) 上的一般可測函數，記 \(h=h^+-h^-\) ，則 \(h^+\) 和 \(h^-\) 均為 \((X,g^{-1}\mathcal{S})\) 上的非負可測函數。設 \(f^\pm\) 分別為 Step.2 中的 \(h^\pm\) 對應的 \(f\) 函數，令 \(f=f^+-f^-\) ，則 \(h=f\circ g\) ，且 \(f\) 為可測函數。
1.5.4 兩個函數類：單調類和 \(\lambda\) 類
定理 1.5.5：設 \(\mathcal{A}\) 是一個域，\(\mathcal{M}\) 是一個由 \(X\) 上的非負廣義實值函數組成的單調類：即由 \(X\) 上的具有以下性質的非負廣義實值函數組成的集合：
- \(\forall f,g\in\mathcal{M}\) 和 \(a,b\in\mathbb{R}\) ，若 \(af+bg\geq0\) ，則 \(af+bg\in\mathcal{M}\) （關於非負線性組合封閉）；
- \(\forall\{f_n\in\mathcal{M},n\geq1\}\) ，若 \(f_n\uparrow f\) ，則 \(f\in\mathcal{M}\) （關於單調遞增函數列的極限函數封閉）。
結論：如果對每個 \(A\in\mathcal{A}\) ，均有 \(I_A\in\mathcal{M}\) ，則 \((X,\sigma(\mathcal{A}))\) 上的一切非負可測函數均屬於 \(\mathcal{M}\) 。
令 \(\mathcal{G}=\{A:I_A\in\mathcal{M}\}\) ，下證 \(\mathcal{G}\) 為單調系。
(1) 設 \(A_n\uparrow,\ A_n\in\mathcal{G},\ n\geq1\) ，則 \(I_{A_n}\in\mathcal{M}\) 且 \(I_{A_n}\uparrow\) 。由單調類定義之條件 2 可知
\[\lim_{n\to\infty}I_{A_n}=I_{\bigcup_{n=1}^\infty A_n}\in\mathcal{M}, \]所以
\[\lim_{n\to\infty}A_n=\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in\mathcal{G}. \](2) 設 \(A_n\downarrow,\ A_n\in\mathcal{G},\ n\geq1\) ，則 \(I_{A_n}\in\mathcal{M}\) 且 \(I_{A_n}\downarrow\) 。
因為 \(X\in\mathcal{A}\) ，所以 \(I_X=1\in\mathcal{M}\) 。由單調類定義之條件 1 可知 \(0\leq I_{A_n^c}=1-I_{A_n}\in\mathcal{M}\) 。
因為 \(I_{A_n^c}\uparrow\) ，所以
\[\lim_{n\to\infty}I_{A_n^c}=\lim_{n\to\infty}(1-I_{A_n})=1-\lim_{n\to\infty}I_{A_n}=1-I_{\bigcap_{n=1}^\infty A_n}\in\mathcal{M}. \]所以
\[0\leq I_{\bigcap_{n=1}^\infty A_n}=1-\left(1-I_{\bigcap_{n=1}^\infty A_n}\right)\in\mathcal{M}. \]所以
\[\lim_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{n=1}^\infty A_n\in\mathcal{G}. \]綜上，我們證明了 \(\mathcal{G}\) 是單調系。
又因為 \(\forall A\in\mathcal{A}\) ，\(I_A\in\mathcal{M}\) ，所以 \(A\in\mathcal{G}\) ，所以 \(\mathcal{A}\subset\mathcal{G}\) 。由推論 1.3.4 可知 \(\sigma(\mathcal{A})=m(\mathcal{A})\subset\mathcal{G}\) 。
即 \(\forall A\in\sigma(\mathcal{A})\) ，均有 \(I_A\in\mathcal{M}\) ，所以由單調類定義之條件 1 可知，\((X,\sigma(\mathcal{A}))\) 上的一切非負簡單函數均屬於 \(\mathcal{M}\) 。
再由定理 1.5.3 (1) 和單調類定義之條件 2 可知，\((X,\sigma(\mathcal{A}))\) 上的一切非負可測函數均屬於 \(\mathcal{M}\) 。
定理 1.5.6：設 \(\mathcal{P}\) 是一個 \(\pi\) 系，\(\mathcal{L}\) 是一個由 \(X\) 上的非負廣義實值函數組成的 \(\lambda\) 類：即由 \(X\) 上的具有以下性質的非負廣義實值函數組成的集合：
- \(1\in\mathcal{L}\) ；
- \(\forall f,g\in\mathcal{L}\) 和 \(a,b\in\mathbb{R}\) ，若 \(af+bg\geq0\) ，則 \(af+bg\in\mathcal{L}\) ；
- \(\forall\{f_n\in\mathcal{L},n\geq1\}\) ，若 \(f_n\uparrow f\) ，則 \(f\in\mathcal{L}\) 。
結論：如果對每個 \(A\in\mathcal{P}\) ，均有 \(I_A\in\mathcal{L}\) ，則 \((X,\sigma(\mathcal{P}))\) 上的一切非負可測函數均屬於 \(\mathcal{L}\) 。
令 \(\mathcal{G}=\{A:I_A\in\mathcal{L}\}\) ，下證 \(\mathcal{G}\) 為 \(\lambda\) 系。
(1) 因為 \(I_X=1\in\mathcal{L}\) ，所以 \(X\in\mathcal{G}\) 。
(2) 設 \(A,B\in\mathcal{G}\) 且 \(B\subset A\) ，則 \(I_A,I_B\in\mathcal{L}\) ，且 \(I_A-I_B\geq0\) 。所以
\[0\leq I_{A-B}=I_A-I_B\in\mathcal{L} \]所以 \(A-B\in\mathcal{G}\) 。
(3) 設 \(A_n\uparrow,\ A_n\in\mathcal{G},\ n\geq1\) ，則 \(I_{A_n}\in\mathcal{L}\) 且 \(I_{A_n}\uparrow\) 。由 \(\lambda\) 類的定義之要求 3 可知
\[\lim_{n\to\infty}I_{A_n}=I_{\bigcup_{n=1}^\infty A_n}\in\mathcal{L}. \]所以
\[\lim_{n\to\infty}A_n=\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in\mathcal{G}. \]綜上，我們證明了 \(\mathcal{G}\) 為 \(\lambda\) 系。
又因為 \(\forall A\in\mathcal{P}\) ，\(I_A\in\mathcal{L}\) ，所以 \(A\in\mathcal{G}\) ，所以 \(\mathcal{P}\subset\mathcal{G}\) 。由定理 1.3.5 可知 \(\sigma(\mathcal{P})=l(\mathcal{P})\subset\mathcal{G}\) 。
即 \(\forall A\in\sigma(\mathcal{P})\) ，均有 \(I_A\in\mathcal{L}\) ，所以由 \(\lambda\) 類定義之條件 2 可知，\((X,\sigma(\mathcal{P}))\) 上的一切非負簡單函數均屬於 \(\mathcal{L}\) 。
再由定理 1.5.3 (1) 和單調類定義之條件 3 可知，\((X,\sigma(\mathcal{P}))\) 上的一切非負可測函數均屬於 \(\mathcal{M}\) 。