從經典動力學理解勒讓德變換

技術背景

勒讓德變換在經典力學和統計力學中是非常常用的一個數學工具，其變換了一個函數的所有（或部分）自變量，也改變了函數的形式，最終卻不改變函數所表征的意義。最典型的案例是從拉格朗日動力學到哈密頓動力學的勒讓德變換的應用，最終證明了兩種力學框架的一致性。但是勒讓德變換作為一個數學工具，光看形式的話很容易讓人不明所以，這里我們代入一個經典動力學的案例，來看看勒讓德變換的真實物理含義是什么。

場景假設

假定某一個白天，勒讓德正在一個操場上自南向北走過，突然他向右一轉頭，發現一個自東向西飛過來的足球，砸中了自己的腦袋。勒讓德並沒有看清楚球的具體軌跡，但是離勒讓德不遠的足球場上正站着三個人，一個人在勒讓德的正東方，一個人在勒讓德的東南方，一個人在勒讓德的東北方。那么問題來了，是誰踢中了勒讓德的腦袋呢？此時勒讓德想起來球在砸到你的腦袋的一瞬間，是自東向西飛的，於是勒讓德篤定就是在正東方的那個人踢過來的球【后人稱之為勒讓德變換】，然后勒讓德跑過去把他打了一頓。但是勒讓德不僅沒打得過他，還被告知自己找錯人了，這是怎么一回事呢？

動力學與勒讓德變換

我們首先給定一個經典動力學中的直線勻速運動方程：

\[s(t)=vt+s_0 \]

其中\(s(t)\)為\(t\)時刻的位置，\(s_0\)為\(t=0\)時刻的位置，\(v\)表示速度，並且是一個常量。則該方程的全微分形式為：

\[ds=vdt \]

而此時我們看着等式右邊的表達式，想到了\(vdt\)可能是另外一個全微分形式的一部分：\(d(vt)=vdt+tdv\)，將這個全微分形式移項再代入到上述的全微分表達式中有：

\[ds=d(vt)-tdv\\ d(vt-s)=tdv \]

則，令函數\(g(v)=vt-s\)就稱之為\(s(t)\)的勒讓德變換，需要注意的有：\(\frac{\partial g}{\partial v}=t\)。類似的道理，我們也可以對\(g(v)\)再度做勒讓德變換：

\[dg=tdv=d(vt)-vdt\\ d(vt-g)=vdt \]

於是我們發現，\(s=vt-g\)又變回來了，因此\(s(t)\)和\(g(v)\)互為勒讓德變換。那么在這種假定的前提條件下，上一個章節的場景假設中，勒讓德應該沒打錯人，那是怎么一回事呢？我們考慮一個馬格努斯力的場景：在流體中運動的球體，如果本身帶有自旋，會受到一個前進速度與角速度平面法向的作用力，稱之為馬格努斯力，其形式為：

\[F=\frac{4}{3}(4\pi^2r^3\rho\omega v) \]

其中\(r\)是球體半徑，\(\rho\)是空氣密度，\(\omega\)是球體自旋的角速度，\(v\)是球體前進的速度。相關的馬格努力作用下的球體軌跡如下圖所示：

因此馬格努斯力對球體直線運動造成的偏移量為：

\[s(t)=vt+s_0+\frac{8}{3m}\pi^2r^3\rho\omega vt^2 \]

全微分形式變成了：

\[ds=vdt+\frac{16}{3m}\pi^2r^3\rho\omega vtdt=vdt+a(v)tdt \]

這里為了簡寫，假定了一個新的函數\(a(v)=\frac{16}{3m}\pi^2r^3\rho\omega v\)，那么代入以下的兩個變換：

\[vdt=d(vt)-tdv\\ atdt=d(\frac{1}{2}at^2)-\frac{1}{2}t^2da \]

就可以得到：

\[ds=d(vt)-tdv+d(\frac{1}{2}at^2)-\frac{1}{2}t^2da\\ d(vt+\frac{1}{2}at^2-s)=tdv+\frac{1}{2}t^2da \]

新的勒讓德變換函數為：\(g^*(v)=vt+\frac{8}{3m}\pi^2r^3\rho\omega vt^2-s\neq vt-s=g(v)\)。通過這兩個變換，我們逐漸發現了勒讓德變換在這個案例中的物理含義：每一個時間點\(\tau\)都會有一個對應的矢量速度\(v_{\tau}\)，由於\(s(t)\)是連續函數，因此我們可以假設\(\tau+\delta t\)的小量時間內做勻速直線運動，那么勒讓德變換就是一個擴展的假設，把整段\([0,\tau+\delta t]\)時間內的運動看做是勻速直線運動。不論是\(g^*(v)\)還是\(g(v)\)，都有：

\[s^*(t)=(v_{\tau}+\frac{16}{3m}\pi^2r^3\rho\omega v_{\tau}\tau)t-g^*(v_{\tau}) \]

這個公式所表示的是\(s(t)\approx s^*(t),t\in[0,\tau+\delta t]\)，而\(g^*(v_{\tau})=s^*(0)\)，即：勒讓德變換表示的是在\(\tau\)時刻的球體軌跡切線方程在\(t=0\)時刻的值\(s^*(0)\)，也就是勒讓德以為的肇事者所在的位置，而實際上真正的肇事者在\(g^*(v_0)=s(0)\neq s^*(0)\)，這就是勒讓德找錯肇事者的原因。而上一個章節中，只有在踢出來的球沒有側旋，即表達式中的\(\omega=0\)時，運動軌跡變成了一個勻速直線運動（即：\(s_{\omega=0}(0)=s^*_{\omega=0}(0)\)），此時勒讓德對肇事者的判斷才是准確的。

可能看到這里還是會有人對於勒讓德變換的物理含義表示不解，這里再做一下簡單總結：勒讓德變換在動力學過程中表示物體近似運動過程的出發點，對於凸函數，只有在初始的時刻才有勒讓德變換的函數值與物體真實運動過程的出發點重合。

勒讓德變換圖像

如下圖片來自於參考鏈接3，用\(y^*=f'(x_0)x-f^*\)的形式近似\(y=f(x)\)在\(x_0\)處的值，其中對應的\(x=0\)處的\(y^*\)的值\(f^*\)就是勒讓德變換的函數值：

下圖來自於參考鏈接1，其表述的內容與上圖一致，但是需要注意的是，對於每一個函數\(y=f(x)\)的點，都有一個對應的勒讓德變換的函數值，新的自變量與這些函數值共同構成了勒讓德變換的函數形式：

多變量勒讓德變換

上述的案例主要是針對單變量和雙變量的特殊勒讓德變換的形式進行講解，這里我們把勒讓德變換寫成更加一般的多變量形式，首先給定一個多變量函數\(f(x_1,x_2,...,x_n)\)的全微分形式：

\[df=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i=\sum_{i=1}^ny_idx_i \]

然后將\(y_idx_i=d(y_ix_i)-x_idy_i\)代入，得到：

\[df=d\left(\sum_{i=1}^ny_ix_i\right)-\sum_{i=1}^nx_idy_i\\ d\left(-f+\sum_{i=1}^ny_ix_i\right)=\sum_{i=1}^nx_idy_i \]

則函數\(g=-f+\sum_{i=1}^ny_ix_i\)稱為函數\(f\)的勒讓德變換，並且，勒讓德變換還具備如下的關系：

\[\frac{\partial g}{\partial y_i}=x_i \]

以上就是勒讓德變換的多變量形式，變換本身並不是很復雜，重點關注一下在具體問題中的應用。

拉格朗日力學與哈密頓力學

在拉格朗日力學中，我們一般用廣義坐標\(q\)和廣義速度\(\dot{q}\)來表征物體的動力學狀態，對於每一個系統，動力學過程可以用拉格朗日量\(L(q,\dot{q},t)=T-V\)來描述，其中\(T\)表示系統動能，\(V\)表示系統勢能。根據保守系的歐拉-拉格朗日方程有：

\[\frac{\partial L}{\partial q}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \]

由於拉格朗日量中只有動能項顯含廣義速度，因此可以得到一個新的參數，系統動量\(p\)與\(q\)的相互關系（此時注意我們的目標是把\((q,\dot{q})\)的表象變換到\((p,q)\)的表象）:

\[p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}},\dot{p}=\frac{\partial L}{\partial q} \]

則可得到拉格朗日量的全微分形式：

\[\begin{align*} dL&=\frac{\partial L}{\partial q}dq+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}d\dot{q}+\frac{\partial L}{\partial t}dt\\ &=\dot{p}dq+pd\dot{q}+\frac{\partial L}{\partial t}dt\\ &=\dot{p}dq+d(p\dot{q})-\dot{q}dp+\frac{\partial L}{\partial t}dt \end{align*} \]

等式左右交替位置，整理可得：

\[dH=d(p\dot{q}-L)=\dot{q}dp-\dot{p}dq-\frac{\partial L}{\partial t}dt \]

其中\(H=p\dot{q}-L\)是拉格朗日量的一個勒讓德變換，也被稱為哈密頓量。同時由該哈密頓量，可以推導出哈密頓-正則運動方程：

\[\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{dq}{dt}\\ \frac{\partial H}{\partial q}=-\frac{\partial L}{\partial q}=-\frac{dp}{dt} \]

同時，我們也可以通過勒讓德變換的函數形式推斷出哈密頓量的物理含義：\(H=p\dot{q}-L=T+V\)，也就表示着系統總能量。就這樣通過勒讓德變換，就可以證明拉格朗日力學跟哈密頓力學的等價性。

勒讓德變換與統計力學

熱力學的基本方程，是內能的全微分：

\[dU=-PdV+TdS \]

代入\(PdV=d(PV)-VdP\)做勒讓德變換得：

\[dU=VdP-d(PV)+TdS\\ dH=d(U+PV)=VdP+TdS \]

其中\(H=U+PV\)是熱力學焓。類似的方法，對內能全微分代入\(TdS=d(TS)-SdT\)做勒讓德變換得：

\[dU=-PdV+d(TS)-SdT\\ dF=d(U-TS)=-PdV-SdT \]

其中\(F=U-TS\)是亥姆赫茲自由能。接下來對焓的全微分代入\(TdS=d(TS)-SdT\)做勒讓德變換得：

\[dH=VdP+d(TS)-SdT\\ dG=d(H-TS)=VdP-SdT \]

其中\(G=H-TS=U+PV-TS\)是熱力學系統的吉布斯自由能。並且由上述的四個\(U,H,F,G\)的表達式，可以推導出麥克斯韋關系式：

\[dU=-PdV+TdS=\frac{\partial U}{\partial V}dV+\frac{\partial U}{\partial S}dS\\ T=\frac{\partial U}{\partial S},P=-\frac{\partial U}{\partial V}\\ \frac{\partial T}{\partial V}=\frac{\partial^2 U}{\partial S\partial V}=-\frac{\partial P}{\partial S} \]

同理可以計算得：

\[\frac{\partial T}{\partial P}=\frac{\partial V}{\partial S}\\ \frac{\partial S}{\partial V}=\frac{\partial P}{\partial T}\\ \frac{\partial S}{\partial P}=-\frac{\partial V}{\partial T} \]

這樣，就可以通過勒讓德變換，從熱力學基本方程推導到麥克斯韋關系式。

總結概要

為了通過一些實際問題來理解勒讓德變換，我們假定了這樣的一個場景：一個叫勒讓德的人在足球場邊上被不知來源的球砸中了腦袋，只能夠判斷足球砸到腦袋的一瞬間的速度方向。而通過勒讓德變換的函數值，結合足球旋轉的角速度，我們就可以得出足球的真實來源。同時，通過勒讓德變換，我們還可以從拉格朗日力學推導到哈密頓力學。而且勒讓德變換在熱力學系統也有非常重要的應用場景。

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參考鏈接

1. https://zhuanlan.zhihu.com/p/51903123
2. https://www.cnblogs.com/dechinphy/p/pingpong.html
3. https://www.wanweibaike.net/wiki-勒讓德變換
4. https://zhuanlan.zhihu.com/p/341207902