拉普拉斯特征映射（Laplacian Eigenmaps）

1 介紹

　　拉普拉斯特征映射（Laplacian Eigenmaps）是一種不太常見的降維算法，它看問題的角度和常見的降維算法不太相同，是從局部的角度去構建數據之間的關系。具體來講，拉普拉斯特征映射是一種基於圖的降維算法，它希望相互間有關系的點（在圖中相連的點）在降維后的空間中盡可能的靠近，從而在降維后仍能保持原有的數據結構。

2 推導

　　拉普拉斯特征映射通過構建鄰接矩陣為 $W$ 的圖來重構數據流形的局部結構特征。

　　其主要思想是：如果兩個數據實例 $i$ 和 $j$ 很相似，那么 $i$ 和 $j$ 在降維后目標子空間中應該盡量接近。設數據實例的數目為 $n$ ，目標子空間即最終的降維目標的維度為 $m$ 。 定義 $ n \times m$ 大小的矩陣 $Y$ ，其中每一個行向量 $y_{i}^{T}$ 是數據實例 $i$ 在目標 $m$ 維子空間中的向量表示（即降維后的數據實例 $i$ ）。我們的目的是讓相似的數據樣例 $i$ 和 $j$ 在降維后的目標子空間里仍舊盡量接近，故拉普拉斯特征映射優化的目標函數如下:

　　　　$\min \sum\limits _{i, j}\left\|y_{i}-y_{j}\right\|^{2} W_{i j}$

　　下面開始推導：

　　　　$ \begin{array}{l} \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n}&\left\|y_{i}-y_{j}\right\|^{2} W_{i j} \\ &=\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n}\left(y_{i}^{T} y_{i}-2 y_{i}^{T} y_{j}+y_{j}^{T} y_{j}\right) W_{i j} \\ &=\sum\limits_{i=1}^{n}\left(\sum\limits_{j=1}^{n} W_{i j}\right) y_{i}^{T} y_{i}+\sum\limits_{j=1}^{n}\left(\sum\limits_{i=1}^{n} W_{i j}\right) y_{j}^{T} y_{j}-2 \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} y_{i}^{T} y_{j} W_{i j} \\ &=2 \sum\limits_{i=1}^{n} D_{i i} y_{i}^{T} y_{i}-2 \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} y_{i}^{T} y_{j} W_{i j} \\ &=2 \sum\limits_{i=1}^{n}\left(\sqrt{D_{i i}} y_{i}\right)^{T}\left(\sqrt{D_{i i}} y_{i}\right)-2 \sum\limits_{i=1}^{n} y_{i}^{T}\left(\sum\limits_{j=1}^{n} y_{j} W i j\right) \\ &=2 \operatorname{trace}\left(Y^{T} D Y\right)-2 \sum\limits_{i=1}^{n} y_{i}^{T}(Y W)_{i} \\ &=2 \operatorname{trace}\left(Y^{T} D Y\right)-2 \operatorname{trace}\left(Y^{T} W Y\right) \\ &=2 \operatorname{trace}\left[Y^{T}(D-W) Y\right] \\ &=2 \operatorname{trace}\left(Y^{T} L Y\right) \end{array} $

　　其中 $W $ 是圖的鄰接矩陣，對角矩陣 $D$ 是圖的度矩陣 $\left(D_{i i}=\sum\limits_{j=1}^{n} W_{i j}\right)$ ，$ L=D-W$ 為圖的拉普拉斯矩陣。

　　變換后的拉普拉斯特征映射優化的目標函數如下:

　　　　$\begin{array}{l}\min \operatorname{trace}\left(Y^{T} L Y\right)\\ \text { s.t. } Y^{T} D Y=I \end{array}$

　　限制條件  $s . t . Y^{T} D Y=I$ 為了消除低維空間中的縮放因子，也為了保證 $D_{ii}$ 值較大的樣本點在低維空間中更為重要，下面用拉格朗日乘子法對目標函數求解:

　　　　$f(Y)=\operatorname{tr}\left(Y^{T} L Y\right)+\operatorname{tr}\left[\Lambda\left(Y^{T} D Y-I\right)\right]$

　　　　$\begin{array}{l} \frac{\partial f(Y)}{\partial Y}&=L Y+L^{T} Y+D^{T} Y \Lambda^{T}+D Y \Lambda \\ &=2 L Y+2 D Y \Lambda=0 \end{array}$

　　　　$\therefore L Y=-D Y \Lambda$

　　其中，$\Lambda$ 為一個對角矩陣，另外 $L$ 、 $D$ 均為實對稱矩陣，其轉置與自身相等。對於單獨的 $y$ 向量，上式可寫為: $L y=\lambda D y$，這是一個廣義特征值問題。通過求得 $m$ 個最小非零特征值所對應的特征向量，即可達到降維的目 的。

　　關於這里為什么要選擇 $m$ 個最小非零特征值所對應的特征向量。將 $L Y=-D Y \Lambda $ 帶回到 $\min \operatorname{trace}\left(Y^{T} L Y\right)$ 中，由於有着約束條件 $Y^{T} D Y=I$ 的限制，可以得到 $ \min \quad \operatorname{trace}\left(Y^{T} L Y\right)=\min \quad t r a c e(-\Lambda)$ 。即為特 征值之和。我們為了目標函數最小化，要選擇最小的 $m$ 個特征值所對應的特征向量。

3 步驟

　　使用時算法具體步驟為:

　　步驟1：構建圖

　　　　使用某一種方法來將所有的點構建成一個圖，例如使用KNN算法，將每個點最近的K個點連上邊。K是一個預先設定的值。

　　步驟2：確定權重

　　　　確定點與點之間的權重大小，例如選用熱核函數來確定，如果點 i 和點 j 相連，那么它們關系的權重設定為：

　　　　$W_{i j}=e^{-\frac{\left\|x_{i}-x_{j}\right\|^{2}}{t}}$

　　　　另外一種可選的簡化設定是 $W_{i j}=1$ 如果點 $i$ ，$ j$ 相連，否則 $W_{i j}=0 $ 。

　　步驟3：特征映射

　　　　計算拉普拉斯矩陣 $L$ 的特征向量與特征值: $L y=\lambda D y $

　　　　使用最小的 $m$ 個非零特征值對應的特征向量作為降維后的結果輸出。

 

Code:

# coding:utf-8

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from sklearn.datasets import load_digits from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D def make_swiss_roll(n_samples=100, noise=0.0, random_state=None): #Generate a swiss roll dataset.
    t = 1.5 * np.pi * (1 + 2 * np.random.rand(1, n_samples)) x = t * np.cos(t) y = 83 * np.random.rand(1, n_samples) z = t * np.sin(t) X = np.concatenate((x, y, z)) X += noise * np.random.randn(3, n_samples) X = X.T t = np.squeeze(t) return X, t def rbf(dist, t = 1.0): ''' rbf kernel function '''
    return np.exp(-(dist/t)) def cal_pairwise_dist(x): '''計算pairwise 距離, x是matrix (a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b ''' sum_x = np.sum(np.square(x), 1) dist = np.add(np.add(-2 * np.dot(x, x.T), sum_x).T, sum_x) #返回任意兩個點之間距離的平方
    return dist def cal_rbf_dist(data, n_neighbors = 10, t = 1): dist = cal_pairwise_dist(data) dist[dist < 0] = 0 n = dist.shape[0] rbf_dist = rbf(dist, t) W = np.zeros((n, n)) for i in range(n): index_ = np.argsort(dist[i])[1:1+n_neighbors] W[i, index_] = rbf_dist[i, index_] W[index_, i] = rbf_dist[index_, i] return W def le(data, n_dims = 2, n_neighbors = 5, t = 1.0): ''' :param data: (n_samples, n_features) :param n_dims: target dim :param n_neighbors: k nearest neighbors :param t: a param for rbf :return: ''' N = data.shape[0] W = cal_rbf_dist(data, n_neighbors, t) D = np.zeros_like(W) for i in range(N): D[i,i] = np.sum(W[i]) D_inv = np.linalg.inv(D) L = D - W eig_val, eig_vec = np.linalg.eig(np.dot(D_inv, L)) sort_index_ = np.argsort(eig_val) eig_val = eig_val[sort_index_] print("eig_val[:10]: ", eig_val[:10]) j = 0 while eig_val[j] < 1e-6: j+=1

    print("j: ", j) sort_index_ = sort_index_[j:j+n_dims] eig_val_picked = eig_val[j:j+n_dims] print(eig_val_picked) eig_vec_picked = eig_vec[:, sort_index_] # print("L: ")
    # print(np.dot(np.dot(eig_vec_picked.T, L), eig_vec_picked))
    # print("D: ")
    # D not equal I ???
    print(np.dot(np.dot(eig_vec_picked.T, D), eig_vec_picked)) X_ndim = eig_vec_picked return X_ndim if __name__ == '__main__': X, Y = make_swiss_roll(n_samples = 2000)  #生成瑞士卷數據集
    X_ndim = le(X, n_neighbors = 5, t = 20) fig = plt.figure(figsize=(12,6)) ax1 = fig.add_subplot(121, projection='3d') ax1.scatter(X[:, 0], X[:, 1], X[:, 2], c = Y) ax2 = fig.add_subplot(122) ax2.scatter(X_ndim[:, 0], X_ndim[:, 1], c = Y) plt.show() X = load_digits().data y = load_digits().target dist = cal_pairwise_dist(X) max_dist = np.max(dist) print("max_dist", max_dist) X_ndim = le(X, n_neighbors = 20, t = max_dist*0.1) plt.scatter(X_ndim[:, 0], X_ndim[:, 1], c = y) plt.savefig("LE2.png") plt.show()