【級聯失效】理解一種基於點攻擊的級聯失效模型

一、研究問題描述

本文基於別人的文章，省略多數基礎知識，簡單介紹一種基於拓撲穩健性的點攻擊級聯模型。

在研究復雜網絡穩健性時，很少考慮對節點的退出過程進行動力學建模，並以此了解一個社交系統是如何崩潰的。所以有必要引入退出機制，模擬蓄意攻擊摧毀網絡的級聯動力學過程。

本文中的模型不涉及演化過程和網絡博弈。只從破壞網絡拓撲結構本身出發。

關於復雜網絡

復雜網絡的系統性質大概包含如下指標：

聚類系數越大，網絡的整體連接緊密程度越大
平均度越大，在無標度網絡的性質下，Hub節點的重要性越高

比如以下BA無標度網絡 (Barabási Albert Scale-Free)
這是一個平均度 <k> = 3，節點數量 N = 100 的 BA Scale-Free 網絡示意圖：

級聯失效和退出機制

基於該文章的模型：

Yu, Y., Xiao, G., Zhou, J., Wang, Y., Wang, Z., Kurths, J., & Schellnhuber, H. J. (2016). System crash as dynamics of complex networks. Proceedings of the National Academy of Sciences, 113(42), 11726-11731. ^[1]

級聯失效 (Cascading Failure) 是一種常見於工業系統以及各種大型系統的災難性現象，簡而言之：在一個大型系統中，由於某些微小的參與元的失效，從而導致其他參與元的失效，進而導致整個系統的失效。具體定義見WIKI百科^[2]

這里有一些例子：

1. Blackout in Northeast America in 1965^[3]
2. Blackout in southeast South America in 2019^[4]

更多關於級聯的基本知識見隨筆：
【級聯失效】理解級聯動力學與拓撲穩健性

文章中的退出機制設計

當我們將級聯失效放在網格上研究時，需要特定的退出規則模擬個體在群體中的決策行為。文章中的點攻擊級聯的退出規則基於一種 KQ-Cascading 模型，分別對應K、Q兩種退出規則，大致描述如下：

（1）K-Core 模型：
用來描述個體在復雜網絡系統中所需要的最小利益。

記 \(k_s\) 為系統中任意一個節點至少需要連接的鄰居節點數量：

如果系統中節點 \(i\) 的連接鄰居數量 \(k_i < k_s\)，節點 \(i\) 就退出該系統，並且不再斷邊重連。

（2）Q-Core 模型：
用來描述個體在復雜網絡系統中的從眾行為。

記 \(q\) 為系統中任意一個節點損失鄰居節點的比例，如果:

\[\dfrac{k_i^{t} - k_i^{t+1}}{k_i^{t}} \geq q \]

節點 i 就退出該系統，並且不再斷邊重連。

將上述兩個模型的退出規則結合在一起，分兩步執行，就變成 KQ-Cascading 模型。作者這種模型隨着初始 \(k_s\) 和 \(q\) 的設置，不斷迭代下去，直到節點不再發生退出為止。通過作圖(Time step -- Fraction of nodes remaining)，作者觀察到KQ模型下的退出機制引起了二階相變，並且使用真實社會網絡進行推演后發現了多階相變。如圖：

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1. 退出機制參考文章 ↩︎

2. 級聯失效科普 ↩︎

3. 1965年北美大規模停電 ↩︎

4. 2019年北美大規模停電 ↩︎