【级联失效】理解一种基于点攻击的级联失效模型

一、研究问题描述

本文基于别人的文章，省略多数基础知识，简单介绍一种基于拓扑稳健性的点攻击级联模型。

在研究复杂网络稳健性时，很少考虑对节点的退出过程进行动力学建模，并以此了解一个社交系统是如何崩溃的。所以有必要引入退出机制，模拟蓄意攻击摧毁网络的级联动力学过程。

本文中的模型不涉及演化过程和网络博弈。只从破坏网络拓扑结构本身出发。

关于复杂网络

复杂网络的系统性质大概包含如下指标：

聚类系数越大，网络的整体连接紧密程度越大
平均度越大，在无标度网络的性质下，Hub节点的重要性越高

比如以下BA无标度网络 (Barabási Albert Scale-Free)
这是一个平均度 <k> = 3，节点数量 N = 100 的 BA Scale-Free 网络示意图：

级联失效和退出机制

基于该文章的模型：

Yu, Y., Xiao, G., Zhou, J., Wang, Y., Wang, Z., Kurths, J., & Schellnhuber, H. J. (2016). System crash as dynamics of complex networks. Proceedings of the National Academy of Sciences, 113(42), 11726-11731. ^[1]

级联失效 (Cascading Failure) 是一种常见于工业系统以及各种大型系统的灾难性现象，简而言之：在一个大型系统中，由于某些微小的参与元的失效，从而导致其他参与元的失效，进而导致整个系统的失效。具体定义见WIKI百科^[2]

这里有一些例子：

1. Blackout in Northeast America in 1965^[3]
2. Blackout in southeast South America in 2019^[4]

更多关于级联的基本知识见随笔：
【级联失效】理解级联动力学与拓扑稳健性

文章中的退出机制设计

当我们将级联失效放在网格上研究时，需要特定的退出规则模拟个体在群体中的决策行为。文章中的点攻击级联的退出规则基于一种 KQ-Cascading 模型，分别对应K、Q两种退出规则，大致描述如下：

（1）K-Core 模型：
用来描述个体在复杂网络系统中所需要的最小利益。

记 \(k_s\) 为系统中任意一个节点至少需要连接的邻居节点数量：

如果系统中节点 \(i\) 的连接邻居数量 \(k_i < k_s\)，节点 \(i\) 就退出该系统，并且不再断边重连。

（2）Q-Core 模型：
用来描述个体在复杂网络系统中的从众行为。

记 \(q\) 为系统中任意一个节点损失邻居节点的比例，如果:

\[\dfrac{k_i^{t} - k_i^{t+1}}{k_i^{t}} \geq q \]

节点 i 就退出该系统，并且不再断边重连。

将上述两个模型的退出规则结合在一起，分两步执行，就变成 KQ-Cascading 模型。作者这种模型随着初始 \(k_s\) 和 \(q\) 的设置，不断迭代下去，直到节点不再发生退出为止。通过作图(Time step -- Fraction of nodes remaining)，作者观察到KQ模型下的退出机制引起了二阶相变，并且使用真实社会网络进行推演后发现了多阶相变。如图：

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1. 退出机制参考文章 ↩︎

2. 级联失效科普 ↩︎

3. 1965年北美大规模停电 ↩︎

4. 2019年北美大规模停电 ↩︎