球可以相同也可以不同，盒子可以一樣也可以不一樣，盒子可以空也可以不能空，那么一共就有2x2x2=8種
n個小球放入m個盒子
1.球同，盒不同，不能空（隔板法） 一共有n-1個空隙(總共n+1個空隙，不能空要去掉頭尾=n-1) ，要插m-1個板，答案為 (n-1) / (m-1)
上圖就是7個小球3個盒子的一種情況
2.球同，盒不同，能空 如果給每個盒子一個球，就可以把問題轉化為不能空的情況了,就相當於n+m個小球放入m個盒子且不能空，答案就是 (n+m-1) / (m-1)
3.球不同，盒同，不能空（dp問題）
dp[n][m]代表n個小球放入m個不同的盒子且不能空的方法
當 i >= 0 時，dp[i][i]=1 (i個小球放入i個盒子，就只能1個盒子放1個)
當 i > 0 時,dp[i][0]=0(都沒有盒子了，肯定無解)
dp[i][j] = j 乘 dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1]
(第i個球可以放在已經有的j個盒子的一個，有j種方法,也就是j*dp[i-1][j],
也可以是放入一個新的盒子,就是dp[i-1][j-1]) 所以答案如下：
4.球不同，盒同，可以空（第二類斯特林數） 那就是3的情況(球不同，盒同，不允許為空)用1個盒子+用2個盒子+…+m個盒子
5.球不同，盒不同，不能空 那就是3的情況(球不同，盒同，不允許為空)對盒子進行全排列 答案就是 m!*dp[n][m] (dp[n][m]是第二類斯特林數)
6.球不同，盒不同，可以空 每一個小球都有m種方法，且相互獨立
答案就是m^n
7.球同，盒同，可以空（dp問題）
dp[i][j]代表球同，盒同，可以空的放法 當 i>=j 時，dp[i][j] = dp[i][j-1]+dp[i-j][j]
( 我們可以在所有的盒子上放一個球dp[i-j][j]，也可以不選擇這種操作，但是以后都不對其中一個盒子進行操作了，那就是dp[i][j-1] )
當 i<j 時，dp[i][i] (多余的盒子都沒有什么卵用了)
當 j=1 時,1(只有一個盒子了就只能放在那個盒子了，只有一種放法)
當 i=1 時，1(只有一個球了，放哪個盒子都一樣，只有一種放法)
當 i=0 時 1(沒有球了，也是1種方法)
答案是
8.球同，盒同，不能空
那就是7的情況(球同，盒同，可以空)每個盒子先放一個保證不空
所以答案是 dp[n-m][m]
(n>=m)
0 (n<m)
其中dp是情況7的dp
#include <iostream> int main() { const int N = 11; int dp[N][N] = {}, t, n, m; for(int i=0; i<N; ++i) for(int j=1; j<N; ++j) { if(i<=1 || j==1) dp[i][j] = 1; else if(i<j) dp[i][j] = dp[i][i]; else dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-j][j]; } scanf("%d", &t); while (t--) { scanf("%d%d", &n, &m); printf("%d\n", dp[n][m]); } return 0; }
練習題
2014 普及組 -21
把M個同樣的球放到N個同樣的袋子里，允許有的袋子空着不放，問共有多少種不同的放置方法？(用K表示)。 例如，M＝7，N＝3時，K＝8；在這里認為和是同一種放置方法。 問：M＝8，N＝5時，K＝___ 。
K=18
https://www.cnblogs.com/xzit-xiaxu/p/15676305.html
三角形表示
https://www.renrendoc.com/paper/181974145.html