球可以相同也可以不同，盒子可以一样也可以不一样，盒子可以空也可以不能空，那么一共就有2x2x2=8种
n个小球放入m个盒子
1.球同，盒不同，不能空（隔板法） 一共有n-1个空隙(总共n+1个空隙，不能空要去掉头尾=n-1) ，要插m-1个板，答案为 (n-1) / (m-1)
上图就是7个小球3个盒子的一种情况
2.球同，盒不同，能空 如果给每个盒子一个球，就可以把问题转化为不能空的情况了,就相当于n+m个小球放入m个盒子且不能空，答案就是 (n+m-1) / (m-1)
3.球不同，盒同，不能空（dp问题）
dp[n][m]代表n个小球放入m个不同的盒子且不能空的方法
当 i >= 0 时，dp[i][i]=1 (i个小球放入i个盒子，就只能1个盒子放1个)
当 i > 0 时,dp[i][0]=0(都没有盒子了，肯定无解)
dp[i][j] = j 乘 dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1]
(第i个球可以放在已经有的j个盒子的一个，有j种方法,也就是j*dp[i-1][j],
也可以是放入一个新的盒子,就是dp[i-1][j-1]) 所以答案如下：
4.球不同，盒同，可以空（第二类斯特林数） 那就是3的情况(球不同，盒同，不允许为空)用1个盒子+用2个盒子+…+m个盒子
5.球不同，盒不同，不能空 那就是3的情况(球不同，盒同，不允许为空)对盒子进行全排列 答案就是 m!*dp[n][m] (dp[n][m]是第二类斯特林数)
6.球不同，盒不同，可以空 每一个小球都有m种方法，且相互独立
答案就是m^n
7.球同，盒同，可以空（dp问题）
dp[i][j]代表球同，盒同，可以空的放法 当 i>=j 时，dp[i][j] = dp[i][j-1]+dp[i-j][j]
( 我们可以在所有的盒子上放一个球dp[i-j][j]，也可以不选择这种操作，但是以后都不对其中一个盒子进行操作了，那就是dp[i][j-1] )
当 i<j 时，dp[i][i] (多余的盒子都没有什么卵用了)
当 j=1 时,1(只有一个盒子了就只能放在那个盒子了，只有一种放法)
当 i=1 时，1(只有一个球了，放哪个盒子都一样，只有一种放法)
当 i=0 时 1(没有球了，也是1种方法)
答案是
8.球同，盒同，不能空
那就是7的情况(球同，盒同，可以空)每个盒子先放一个保证不空
所以答案是 dp[n-m][m]
(n>=m)
0 (n<m)
其中dp是情况7的dp
#include <iostream> int main() { const int N = 11; int dp[N][N] = {}, t, n, m; for(int i=0; i<N; ++i) for(int j=1; j<N; ++j) { if(i<=1 || j==1) dp[i][j] = 1; else if(i<j) dp[i][j] = dp[i][i]; else dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-j][j]; } scanf("%d", &t); while (t--) { scanf("%d%d", &n, &m); printf("%d\n", dp[n][m]); } return 0; }
练习题
2014 普及组 -21
把M个同样的球放到N个同样的袋子里，允许有的袋子空着不放，问共有多少种不同的放置方法？(用K表示)。 例如，M＝7，N＝3时，K＝8；在这里认为和是同一种放置方法。 问：M＝8，N＝5时，K＝___ 。
K=18
https://www.cnblogs.com/xzit-xiaxu/p/15676305.html
三角形表示
https://www.renrendoc.com/paper/181974145.html