m個蘋果放入n個盤子問題

　　這個問題，看似是一個簡單的排列組合問題，但是加上不同的限制條件，會演變成不同的問題，感覺很奇妙，就總結一下列舉下來

問題一

　　問題描述：把m個同樣的蘋果放在n個同樣的盤子里，允許有的盤子空着不放，問有多少種不同的分法？(注：5,1,1和1,1,5是同一種分法)

解題分析：

　　設f(m,n)為m個蘋果，n個盤子的放法數目，則先對n作討論，

• 當n>m：則必定有n-m個盤子永遠空着，去掉它們對擺放蘋果方法數目不產生影響。即 if(n>m) f(m,n) = f(m,m)
• 當n <= m:不同的放法可以分成兩類：含有0的方案數，不含有0的方案數

1. 含有0的方案數，即有至少一個盤子空着，即相當於 f(m,n)=f(m,n-1);
2. 不含有0的方案數，即所有的盤子都有蘋果，相當於可以從每個盤子中拿掉一個蘋果，不影響不同放法的數目，即 f(m,n)=f(m-n,n).而總的放蘋果的放法數目等於兩者的和，即 f(m,n)=f(m,n-1)+f(m-n,n)

遞歸出口條件說明：

• 當n=1時，所有蘋果都必須放在一個盤子里，所以返回1；
• 當m==0(沒有蘋果可放)時，定義為1種放法；

用遞歸解法

 

int fun(int m, int n) {//m個蘋果放在n個盤子中共有幾種方法
    if(m==0 || n==1)
        return 1;
    if(n>m)
        return fun(m,m);
    else
        return fun(m,n-1)+fun(m-n,n);
}

 

 用動態規划解法：

                        int[][] mat=new int[m+1][n+1];
			for(int i = 0; i <=m; i++) {
				mat[i][0]=0;
				mat[i][1]=1;
			}
			for(int i = 0; i <=n; i++) {
				mat[0][i]=1;
			}
			for (int i = 1; i <=m; i++) {
				for(int j = 1; j <=n; j++) {
					if(i<j)
						mat[i][j]=mat[i][i];
					else
						mat[i][j]=mat[i][j-1]+mat[i-j][j];
						
				}
			}
			return mat[m][n];        

問題二

　　問題描述：將整數N分成K個整數的和且每個數大於等於A小於等於B，求有多少種分法

int Dynamics(int n, int k, int min){ //將n分為k個整數，最小的大於等於min,最大的不超過B
    if(n < min) return 0;  //當剩下的比min小，則不符合要求，返回0
    if(k == 1) return 1;
    int sum = 0;
    for(int t = min; t <= B; t++)
    {
        sum += Dynamics(n-t, k-1, t);
    }
    return sum;
} 

問題三

　　m---->相同， n---->相同， 不能為空。將m個蘋果放進n個盤子中，有多少種方法。同時注意例如1、2和2、1這兩種方案是一種方案。

　　思路，先把每個盤子都放一個蘋果，這樣問題就轉化為：m-n個蘋果放進n個盤子里，盤子允許空，即問題1