應用隨機過程06：布朗運動

目錄

• 第六講 布朗運動
  • 一、布朗運動的基本概念
    • Part 1：布朗運動的定義
    • Part 2：布朗運動的數字特征
    • Part 3：布朗運動的性質
  • 二、與布朗運動相關的隨機過程
    • Part 1：反射布朗運動
    • Part 2：幾何布朗運動
    • Part 3：布朗橋過程
  • 三、最大值與首中時的分布
    • Part 1：首中時的分布
    • Part 2：最大值的分布

第六講 布朗運動

一、布朗運動的基本概念

Part 1：布朗運動的定義

這里我們主要以課程需求為導向。布朗運動的數學模型是通過直線上的簡單對稱隨機游動模型引入的，其正態性由中心極限定理所保證，具體內容可以參考教材。這里我們直接給出布朗運動的定義。

布朗運動也稱為維納過程，隨機過程 \(\{X(t):t\geq0\}\) 稱為布朗運動，如果滿足以下條件：

1. \(X(0)=0\) ；
2. \(\{X(t):t\geq0\}\) 是獨立增量過程；
3. 對任意的 \(0\leq s<t\) ，有 \(X(t)-X(s)\sim N\left(0,\sigma^2(t-s)\right)\) 。

當 \(\sigma=1\) 時，將過程 \(\{X(t):t\geq0\}\) 稱為標准布朗運動。對於任意的布朗運動，我們可以通過標准化變換 \(B(t)=X(t)/\sigma\) ，將其轉化為標准布朗運動。在這一講的后續內容中我們都討論標准布朗運動，並將其記為 \(\{B(t):t\geq0\}\) 。

Part 2：布朗運動的數字特征

設 \(\{B(t):t\geq0\}\) 是標准布朗運動，則有 \(B(t)\sim N(0,t)\) 。類似於泊松過程的數字特征，布朗運動的數字特征可以由正態分布的數字特征給出。

1. 均值函數：\(\mu_B(t)={\rm E}(B(t))=0\) ；
2. 方差函數：\(\sigma^2_B(t)={\rm Var}(B(t))=t\) ；
3. 自協方差函數：\(C_B(s,t)=\min\{s,t\}=s\wedge t\) ；
4. 自相關函數：\(r_B(s,t)=\min\{s,t\}=s\wedge t\) 。

由於布朗運動是一個零均值的隨機過程，所以其自相關函數和自協方差函數相等。

我們在第一講曾經介紹過正態過程的概念，利用正態過程我們可以給出一個布朗運動的等價性定理。

定理：設 \(\{B(t):t\geq0\}\) 是一個樣本軌道連續的隨機過程，則 \(\{B(t):t\geq0\}\) 是標准布朗運動當且僅當它是正態過程且 \(\mu_B(t)=0,\,r_B(s,t)=\min\{s,t\}\) 。

必要性：只需證 \(\{B(t):t\geq0\}\) 是正態過程即可。對任意的 \(n\geq1\) 和 \(0=t_0<t_1<t_2<\cdots<t_n\) ，由獨立增量性和正態性可知

\[B(t_1)-B(t_0),B(t_2)-B(t_1),\,\cdots,B(t_n)-B(t_{n-1}) \]

相互獨立，且都服從正態分布。由於對任意的 \(1\leq k\leq n\) 都有 \(B(t_k)=\displaystyle\sum_{i=1}^k\left[B(t_i)-B(t_{i-1})\right]\) ，換句話說，\(B(t_k)\) 可以表示為 \(B(t_1)-B(t_0),B(t_2)-B(t_1),\,\cdots,B(t_n)-B(t_{n-1})\) 的線性組合。

下面考慮 \(\{B(t):t\geq0\}\) 有限維分布。對於隨機向量 \(\left(B(t_1),B(t_2),\cdots,B(t_n)\right)\) 來說，其分量的任意線性組合，一定也可以表示為 \(B(t_1)-B(t_0),B(t_2)-B(t_1),\,\cdots,B(t_n)-B(t_{n-1})\) 的線性組合，所以這個線性組合服從正態分布。根據正態分布的性質知，隨機向量 \(\left(B(t_1),B(t_2),\cdots,B(t_n)\right)\) 服從聯合正態分布，所以 \(\{B(t):t\geq0\}\) 任意有限維分布都是正態分布，即 \(\{B(t):t\geq0\}\) 是正態過程。

充分性：首先由 \({\rm E}(B(0))=\mu_B(0)=0,\,{\rm Var}(B(0))=r_B(0,0)=0\) 可知 \(B(0)=0\) 。接下來考慮獨立增量性，對任意的 \(s_1<t_1\leq s_2<t_2\) ，我們有

\[\begin{aligned} {\rm E}\left[\left(B(t_1)-B(s_1)\right)\left(B(t_2)-B(s_2)\right)\right]&=r_B(t_1,t_2)-r_B(s_1,t_2)-r_B(t_1,s_2)+r_B(s_1,s_2) \\ &=t_1-s_1-t_1+s_1 \\ &=0 \ . \end{aligned} \]

即任意兩個不重合時間段內的增量不相關，又因為 \(\{B(t):t\geq0\}\) 是正態過程，所以任意兩個不重合時間段內的增量獨立，即 \(\{B(t):t\geq0\}\) 有獨立增量性。

最后證明對任意的 \(0\leq s<t\) 有 \(B(t)-B(s)\sim N\left(0,t-s\right)\) 。由正態過程知有 \((B(s),B(t))\) 服從聯合正態分布，所以其線性組合 \(B(t)-B(s)\) 服從正態分布。又因為

\[\begin{aligned} {\rm E}(B(t)-B(s))&={\rm E}(B(t))-{\rm E}(B(s))=0 \ , \\ \\ {\rm Var}(B(t)-B(s))&={\rm Var}(B(t))+{\rm Var}(B(s))-2{\rm E}(B(s)B(t)) \\ &=t+s-2\times\min\{s,t\} \\ &=t-s \ . \end{aligned} \]

所以 \(B(t)-B(s)\sim N\left(0,t-s\right)\) 。

綜上所述，\(\{B(t):t\geq0\}\) 是標准布朗運動。

Part 3：布朗運動的性質

為了區別於“與布朗運動相關的隨機過程”，這里我們介紹的性質，指的是通過對標准布朗運動進行衍生變換，得到新的隨機過程仍然是標准布朗運動的若干性質。設 \(\{B(t):t\geq0\}\) 是標准布朗運動。

馬爾可夫性：對任意的 \(\tau>0\) ，\(\{B(t+\tau)-B(\tau):t\geq0\}\) 也是標准布朗運動。

自相似性：對任意常數 \(c\neq0\) ，\(\left\{\dfrac1cB\left(c^2t\right):t\geq0\right\}\) 也是標准布朗運動。

\(0\) 與 \(\infty\) 對稱性：定義 \(\tilde{B}(t)=\left\{\begin{array}{ll}tB\left(\dfrac1t\right) \ , & t>0 \\ 0 \ , & t=0 \end{array}\right.\) ，則 \(\left\{\tilde{B}(t):t\geq0\right\}\) 也是標准布朗運動。

特別指出 \(0\) 與 \(\infty\) 對稱性可以看做一個時間逆流的過程。

我們用等價性定理證明，顯然上述的三個隨機過程都是零均值的正態過程，可以由線性變換的方式證明，這里我們只需驗證自相關函數滿足條件。

(1) 對任意的 \(s,t\geq0\) ，有

\[\begin{aligned} \ &{\rm E}[(B(s+\tau)-B(\tau))(B(t+\tau)-B(\tau))] \\ =\ &r_B(s+\tau,t+\tau)-r_B(s+\tau,\tau)-r_B(\tau,t+\tau)+r_B(\tau,\tau) \\ =\ &s\wedge t+\tau-\tau-\tau+\tau \\ =\ &s\wedge t \ . \end{aligned} \]

(2) 對任意的 \(s,t\geq0\) ，有

\[\begin{aligned} {\rm E}\left[\left(\frac1cB\left(c^2t\right)\right)\left(\frac1cB\left(c^2s\right)\right)\right]&=\frac{1}{c^2}{\rm E}\left[B(c^2t)B(c^2s)\right] \\ &=\frac1{c^2}\cdot c^2(t\wedge s) \\ &=t\wedge s \ . \end{aligned} \]

(3) 對任意的 \(s,t\geq0\) ，有

\[\begin{aligned} {\rm E}\left[\left(tB\left(\frac1t\right)\right)\left(sB\left(\frac1s\right)\right)\right]&=ts{\rm E}\left[B\left(\frac1t\right)B\left(\frac1s\right)\right] \\ &=ts\cdot\min\left\{\frac1t,\frac1s\right\} \\ &=\min\left\{\frac{ts}t,\frac{ts}s\right\} \\ &=t\wedge s \ . \end{aligned} \]

所以上述三個隨機過程都是標准布朗運動。

二、與布朗運動相關的隨機過程

Part 1：反射布朗運動

設 \(\{B_t:t\geq0\}\) 是標准布朗運動，令 \(X_t=|B_t|\) ，過程 \(\{X_t:t\geq0\}\) 稱為反射布朗運動。

關於反射布朗運動，顯然 \(X_t\) 是一個非負隨機變量，所以我們首先要知道它不是一個正態過程。在這里我們主要討論其均值函數、方差函數和一維概率分布，當然這需要一些簡單的計算：

\[\begin{aligned} &{\rm E}(X_t)={\rm E}|B_t|=\int_{-\infty}^{+\infty}|x|\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{x^2}{2t}}{\rm d}x=2\int_0^{+\infty}\frac{x}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{x^2}{2t}}{\rm d}x=\sqrt{\frac{2t}{\pi}} \ . \\ \\ &{\rm E}(X_t^2)={\rm E}(B_t^2)={\rm Var}(B_t)=t \ . \\ \\ &{\rm Var}(X_t)={\rm E}(X_t^2)-\left[{\rm E}(X_t)\right]^2=\frac{\pi-2}{\pi}t \ . \end{aligned} \]

接着我們來計算 \(X_t\) 的分布函數，由 \(X_t\) 的非負性可知，當 \(x<0\) 時，\(P(X_t<x)=0\) 。所以我們只需要考慮 \(x\geq0\) 的情況，給定 \(t>0\) 我們有

\[\begin{aligned} P(X_t\leq x)&=P(|B_t|\leq x) =P(-x\leq B_t\leq x) =2P(B_t\leq x)-1\\ \\ &=2P\left(\frac{B_t}{\sqrt{t}}\leq\frac{x}{\sqrt{t}}\right)-1 =2\Phi\left(\frac{x}{\sqrt{t}}\right)-1 \ . \end{aligned} \]

進一步我們可以計算得到 \(X_t\) 的密度函數為

\[f_{X_t}(x)=2\phi\left(\frac{x}{\sqrt{t}}\right)\frac{1}{\sqrt{t}}=\sqrt{\frac{2}{\pi t}}e^{-\frac{x^2}{2t}} \ , \quad x\geq0 \ . \]

反射布朗運動我們在后面討論最大值和首中時的分布時會被再次提及，需要注意區別。

Part 2：幾何布朗運動

設 \(\{B_t:t\geq0\}\) 是標准布朗運動，給定 \(\alpha\in\mathbb{R}\) 為非零常數 ，定義

\[X_t=e^{\alpha B_t} \ , \quad t\geq0 \ , \]

稱隨機過程 \(\{X_t:t\geq0\}\) 為幾何布朗運動。

同樣由於 \(X_t\) 是一個非負隨機變量，所以幾何布朗運動也不是一個正態過程。它的數字特征為：

\[\begin{aligned} &{\rm E}(X_t)={\rm E}\left(e^{\alpha B_t}\right)=\int_{-\infty}^\infty e^{\alpha x}\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{x^2}{2t}}{\rm d}x=e^{\frac{\alpha^2t}{2}} \ . \\ \\ &{\rm E}(X_t^2)={\rm E}\left(e^{2\alpha B_t}\right)=\int_{-\infty}^\infty e^{2\alpha x}\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{x^2}{2t}}{\rm d}x=e^{2\alpha^2t} \ . \\ \\ &{\rm Var}(X_t)= {\rm E}(X_t^2)-\left[{\rm E}(X_t)\right]^2=e^{2\alpha^2t}-e^{\alpha^2t} \ . \end{aligned} \]

下面我們考慮 \(X_t\) 的分布函數。注意到 \(\ln X_t=\alpha B_t\) 服從正態分布，所以 \(X_t\) 服從對數正態分布。由於 \(\alpha B_t\) 與 \(-\alpha B_t\) 同分布，所以我們只需要考慮 \(\alpha>0\) 的情況。當 \(x>0\) 時，我們有

\[\begin{aligned} P(X_t\leq x)&=P\left(e^{\alpha B_t}\leq x\right) =P(\alpha B_t\leq\ln x) =P\left(B_t\leq\frac{\ln x}{\alpha}\right)=\Phi\left(\frac{\ln x}{\alpha\sqrt{t}}\right) \ . \end{aligned} \]

進一步我們可以計算得到 \(X_t\) 的密度函數為

\[f_{X_t}(x)=\phi\left(\frac{\ln x}{\alpha\sqrt{t}}\right)\frac{1}{\alpha\sqrt{t}x}=\frac{1}{\alpha\sqrt{2\pi t}x}e^{-\frac{(\ln x)^2}{2\alpha^2t}} \ , \quad x\geq0 \ . \]

幾何布朗運動常常應用於金融市場的研究，可以用來擬合股票的價格走勢。

Part 3：布朗橋過程

設 \(\{B_t:t\geq0\}\) 是標准布朗運動，令 \(X_t=B_t-tB_1\) ，過程 \(\{X_t:0\leq t\leq1\}\) 稱為布朗橋過程。

關於布朗橋運動，我們主要關注其數字特征和等價定義。

1. 均值函數：\({\rm E}(X_t)=0\) 。
2. 方差函數：\({\rm Var}(X_t)=t(1-t)\) 。
3. 自協方差函數：對任意的 \(0\leq s\leq t\leq1\) ，有

\[\begin{aligned} {\rm E}(X_sX_t)&={\rm E}\left[(B_s-sB_1)(B_t-tB_1)\right] \\ &={\rm E}(B_sB_t)-s{\rm E}(B_1B_t)-t{\rm E}(B_sB_1)+st{\rm E}(B_1^2) \\ &=s-st-st+st \\ &=s(1-t) \ , \quad 0\leq s\leq t\leq1 \ . \end{aligned} \]

由布朗橋過程的定義可知 \(X_0=0,\,X_1=0\) ，這是在隨機過程起點和終點狀態給定的條件下，討論其中間過程的一類問題。可以證明布朗橋過程是一個正態過程，通過均值函數和方差函數可以確定 \(X_t\) 的概率分布為：\(X_t\sim N(0,t(1-t))\) 。

布朗橋過程的等價定義：對於標准布朗運動 \(\{B_t:t\geq0\}\) ，有條件隨機過程 \(\{B_t:0\leq t\leq1|B_1=0\}\) 是一個布朗橋過程。

證明這兩個隨機過程等價，只需證 \(X_t\xlongequal{d}(B_t|B_1=0)\) 。這里我們需要計算在 \(B_1=0\) 的條件下 \(B_t\) 的條件分布函數，注意這里 \(0\leq t\leq1\) ，於是

\[\begin{aligned} P\left(B_t\leq x|B_1=0\right)&=P(t\tilde{B}_{1/t}\leq x|\tilde{B}_1=0)=P\left(\tilde{B}_{1/t}-\tilde{B}_1\leq\frac{x}{t}\right) =P\left(t\left(\tilde{B}_{1/t}-\tilde{B}_1\right)\leq x\right) \ . \\ \end{aligned} \]

所以 \((B_t|B_1=0)\xlongequal{d}t\left(\tilde{B}_{1/t}-\tilde{B}_1\right)\) 。

由於 \(\tilde{B}_{1/t}-\tilde{B}_1\sim N\left(0,\dfrac{1-t}{t}\right)\) ，所以 \(t\left(\tilde{B}_{1/t}-\tilde{B}_1\right)\sim N(0,t(1-t))\) ，即 \(X_t\xlongequal{d}t\left(\tilde{B}_{1/t}-\tilde{B}_1\right)\) 。

所以 \((B_t|B_1=0)\xlongequal{d}t\left(\tilde{B}_{1/t}-\tilde{B}_1\right)\xlongequal{d} X_t\) ，即 \(\{B_t:0\leq t\leq1|B_1=0\}\) 是一個布朗橋過程。

三、最大值與首中時的分布

Part 1：首中時的分布

設 \(\{B(t):t\geq0\}\) 是標准布朗運動，常數 \(a\neq0\) ，令 \(T_a=\inf\{t>0:B(t)=a\}\) ，表示布朗運動首次擊中 \(a\) 的時刻，稱為 \(a\) 的首中時。

定理：對於 \(t>0\) ，有 \(T_a\) 的分布函數和密度函數

\[\begin{aligned} &F_{T_a}(t)=2\left(1-\Phi\left(\frac{|a|}{\sqrt{t}}\right)\right) \ , \quad f_{T_a}=\frac{|a|}{\sqrt{2\pi t^3}}e^{-\frac{a^2}{2t}} \ , \quad t>0 \ . \end{aligned} \]

下面我們來求 \(T_a\) 的分布函數和密度函數，由於布朗運動具有對稱性，所以我們只考慮 \(a>0\) 的情況。對於 \(t>0\) ，由全概率公式知

\[P(B(t)\geq a)=P(B(t)\geq a|T_a\leq t)P(T_a\leq t)+P(B(t)\geq a|T_a>t)P(T_a>t) \ . \]

注意到在 \(T_a>t\) 的條件下，說明在 \(t\) 時刻之前不曾擊中 \(a\) ，所以 \(P(B(t)\geq a|T_a>t)=0\) 。另一方面在 \(T_a\leq t\) 的條件下，說明在 \(t\) 時刻之前曾出現過 \(B(T_a)=a\) ，此時由於布朗運動的對稱性以及樣本曲線的連續性，所以事件 \(\{B(t)\geq a\}\) 和 \(\{B(t)<a\}\) 發生的概率相等，即

\[P(B(t)\geq a|T_a\leq t)=P(B(t)< a|T_a\leq t)=\frac12 \ . \]

將以上結果代入全概率公式可得 \(P(T_a\leq t)=2P(B(t)\geq a)\) ，所以有 \(T_a\) 的分布函數

\[F_{T_a}(t)=P(T_a\leq t)=2P(B(t)\geq a)=2\left(1-\Phi\left(\frac{a}{\sqrt{t}}\right)\right) \ , \quad t\geq0 \ . \]

對 \(t\) 求導可得 \(T_a\) 的密度函數

\[f_{T_a}(t)=2\phi\left(\frac{a}{\sqrt{t}}\right)\cdot \frac{a}{2\sqrt{t^3}}=\frac{a}{\sqrt{2\pi t^3}}e^{-\frac{a^2}{2t}} \ , \quad t>0 \ . \]

關於布朗運動的首中時還有兩個重要的結論。

定理：給定 \(a\in\mathbb{R}\) ，則有

\[P(T_a<\infty)=1 \ , \quad {\rm E}(T_a)=\infty \ . \]

仍然不妨設 \(a>0\) ，證明這個結論只需要計算即可

\[\begin{aligned} &P(T_a<\infty)=\lim_{t\to\infty}P(T_a<t)=\lim_{t\to\infty}2\left(1-\Phi\left(\frac{a}{\sqrt{t}}\right)\right)=1 \ . \\ \\ &{\rm E}(T_a)=\int_0^\infty t\frac{1}{\sqrt{2\pi t^3}}e^{-\frac{a^2}{2t}}{\rm d}t=\int_0^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{a^2}{2t}}{\rm d}t=\infty \ . \end{aligned} \]

上述結論可以解釋為：無論 \(|a|\) 多大，從 \(0\) 點出發的布朗運動總會在有限時間內到達；另一方面，無論 \(|a|\) 多么接近 \(0\) ，該布朗運動到達 \(a\) 所需要的平均時間都是 \(\infty\) 。

Part 2：最大值的分布

設 \(\{B(t):t\geq0\}\) 是標准布朗運動，令 \(M_t=\max\{B(s):0\leq s\leq t\}\) ，表示布朗運動在 \([0,t]\) 的時間段內所達到的最大值。

定理：給定 \(t>0\) ，有 \(M_t\xlongequal{d}|B(t)|\) 。

由 \(M_t\) 的定義知其樣本曲線從 \(0\) 出發且單調不減，故 \(M_t\) 是一個非負隨機變量。對任意的 \(x\geq0\) ，這里我們先計算 \(P(M_t>x)\) 。

考慮這樣一個等價事件：

\[M_t \geq x \quad \iff \quad T_x \leq t \ . \]

其解釋為：如果布朗運動在 \([0,t]\) 的時間段內所達到的最大值大於 \(x\) ，由於布朗運動具有連續的樣本曲線，所以至少存在某個時刻 \(0<s<t\) ，使得 \(B(s)=x\) ，所以 \(T_x<t\) 。反之，如果布朗運動在 \(t\) 時刻之前便首次擊中 \(x\) ，那么到 \(t\) 時刻為止，布朗運動所達到的最大值一定不小於 \(x\) ，即 \(M_t\geq x\) 。

由於 \(M_t\) 和 \(T_x\) 都是連續型隨機變量，所以是否保留等號不影響結果，故

\[P(M_t>x)=P(T_x<t)=2P(B(t)>x)=2\left(1-\Phi\left(\frac{x}{\sqrt{t}}\right)\right) \ , \quad x>0 \ . \]

所以 \(M_t\) 的分布函數為

\[P(M_t\leq x)=1-P(M_t>x)=2P(B(t)\leq x)-1=2\Phi\left(\frac{x}{\sqrt{t}}\right)-1 \ , \quad x>0 \ . \]

通過分布函數就可以說明 \(M_t\xlongequal{d}|B(t)|\) 成立。

需要強調一點，這里的同分布指的是給定 \(t>0\) 之后的隨機變量 \(M_t\) 和隨機變量 \(|B(t)|\) 是同分布的，並非隨機過程 \(\{M_t:t\geq0\}\) 和隨機過程 \(\{|B(t)|:t\geq0\}\) 是同分布的隨機過程。顯然 \(\{M_t:t\geq0\}\) 是單調不減的隨機過程，與 \(\{|B(t)|:t\geq0\}\) 並不是一回事。事實上，兩者只是一維分布相同，而其他的有限維分布是不同的。