讀完本文，你不僅學會了算法套路，還可以順便去 LeetCode 上拿下如下題目：
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一直都有很多讀者說，想讓我用 框架思維 講一講基本的排序算法，我覺得確實得講講，畢竟學習任何東西都講求一個融會貫通，只有對其本質進行比較深刻的理解，才能運用自如。
本文就先講歸並排序，給一套代碼模板，然后講講它在算法問題中的應用。閱讀本文前我希望你讀過前文 手把手刷二叉樹（綱領篇）。
我在 手把手刷二叉樹（第一期） 講二叉樹的時候，提了一嘴歸並排序，說歸並排序就是二叉樹的后序遍歷，當時就有很多讀者留言說醍醐灌頂。
知道為什么很多讀者遇到遞歸相關的算法就覺得燒腦嗎？因為還處在「看山是山，看水是水」的階段。
就說歸並排序吧，如果給你看代碼，讓你腦補一下歸並排序的過程，你腦子里會出現什么場景？
這是一個數組排序算法，所以你腦補一個數組的 GIF，在那一個個交換元素？如果是這樣的話，那格局就低了。
但如果你腦海中浮現出的是一棵二叉樹，甚至浮現出二叉樹后序遍歷的場景，那格局就高了，大概率掌握了我經常強調的 框架思維，用這種抽象能力學習算法就省勁多了。
那么，歸並排序明明就是一個數組算法，和二叉樹有什么關系？接下來我就具體講講。
算法思路
就這么說吧，所有遞歸的算法，你甭管它是干什么的，本質上都是在遍歷一棵（遞歸）樹，然后在節點（前中后序位置）上執行代碼，你要寫遞歸算法，本質上就是要告訴每個節點需要做什么。
你看歸並排序的代碼框架：
// 定義：排序 nums[lo..hi]
void sort(int[] nums, int lo, int hi) {
if (lo == hi) {
return;
}
int mid = (lo + hi) / 2;
// 利用定義，排序 nums[lo..mid]
sort(nums, lo, mid);
// 利用定義，排序 nums[mid+1..hi]
sort(nums, mid + 1, hi);
/****** 后序位置 ******/
// 此時兩部分子數組已經被排好序
// 合並兩個有序數組，使 nums[lo..hi] 有序
merge(nums, lo, mid, hi);
/*********************/
}
// 將有序數組 nums[lo..mid] 和有序數組 nums[mid+1..hi]
// 合並為有序數組 nums[lo..hi]
void merge(int[] nums, int lo, int mid, int hi);
看這個框架，也就明白那句經典的總結：歸並排序就是先把左半邊數組排好序，再把右半邊數組排好序，然后把兩半數組合並。
上述代碼和二叉樹的后序遍歷很像：
/* 二叉樹遍歷框架 */
void traverse(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
traverse(root.left);
traverse(root.right);
/****** 后序位置 ******/
print(root.val);
/*********************/
}
再進一步，你聯想一下求二叉樹的最大深度的算法代碼：
// 定義：輸入根節點，返回這棵二叉樹的最大深度
int maxDepth(TreeNode root) {
if (root == null) {
return 0;
}
// 利用定義，計算左右子樹的最大深度
int leftMax = maxDepth(root.left);
int rightMax = maxDepth(root.right);
// 整棵樹的最大深度等於左右子樹的最大深度取最大值，
// 然后再加上根節點自己
int res = Math.max(leftMax, rightMax) + 1;
return res;
}
是不是更像了？
前文 手把手刷二叉樹（綱領篇） 說二叉樹問題可以分為兩類思路，一類是遍歷一遍二叉樹的思路，另一類是分解問題的思路，根據上述類比，顯然歸並排序利用的是分解問題的思路（分治算法）。
歸並排序的過程可以在邏輯上抽象成一棵二叉樹，樹上的每個節點的值可以認為是 nums[lo..hi]，葉子節點的值就是數組中的單個元素：
然后，在每個節點的后序位置（左右子節點已經被排好序）的時候執行 merge 函數，合並兩個子節點上的子數組：
這個 merge 操作會在二叉樹的每個節點上都執行一遍，執行順序是二叉樹后序遍歷的順序。
后序遍歷二叉樹大家應該已經爛熟於心了，就是下圖這個遍歷順序：
結合上述基本分析，我們把 nums[lo..hi] 理解成二叉樹的節點，srot 函數理解成二叉樹的遍歷函數，整個歸並排序的執行過程就是以下 GIF 描述的這樣：
這樣，歸並排序的核心思路就分析完了，接下來只要把思路翻譯成代碼就行。
代碼實現及分析
只要擁有了正確的思維方式，理解算法思路是不困難的，但把思路實現成代碼，也很考驗一個人的編程能力。
畢竟算法的時間復雜度只是一個理論上的衡量標准，而算法的實際運行效率要考慮的因素更多，比如應該避免內存的頻繁分配釋放，代碼邏輯應盡可能簡潔等等。
經過對比，《算法 4》中給出的歸並排序代碼兼具了簡潔和高效的特點，所以我們可以參考書中給出的代碼作為歸並算法模板：
class Merge {
// 用於輔助合並有序數組
private static int[] temp;
public static void sort(int[] nums) {
// 先給輔助數組開辟內存空間
temp = new int[nums.length];
// 排序整個數組（原地修改）
sort(nums, 0, nums.length - 1);
}
// 定義：將子數組 nums[lo..hi] 進行排序
private static void sort(int[] nums, int lo, int hi) {
if (lo == hi) {
// 單個元素不用排序
return;
}
// 這樣寫是為了防止溢出，效果等同於 (hi + lo) / 2
int mid = lo + (hi - lo) / 2;
// 先對左半部分數組 nums[lo..mid] 排序
sort(nums, lo, mid);
// 再對右半部分數組 nums[mid+1..hi] 排序
sort(nums, mid + 1, hi);
// 將兩部分有序數組合並成一個有序數組
merge(nums, lo, mid, hi);
}
// 將 nums[lo..mid] 和 nums[mid+1..hi] 這兩個有序數組合並成一個有序數組
private static void merge(int[] nums, int lo, int mid, int hi) {
// 先把 nums[lo..hi] 復制到輔助數組中
// 以便合並后的結果能夠直接存入 nums
for (int i = lo; i <= hi; i++) {
temp[i] = nums[i];
}
// 數組雙指針技巧，合並兩個有序數組
int i = lo, j = mid + 1;
for (int p = lo; p <= hi; p++) {
if (i == mid + 1) {
// 左半邊數組已全部被合並
nums[p] = temp[j++];
} else if (j == hi + 1) {
// 右半邊數組已全部被合並
nums[p] = temp[i++];
} else if (temp[i] > temp[j]) {
nums[p] = temp[j++];
} else {
nums[p] = temp[i++];
}
}
}
}
有了之前的鋪墊，這里只需要着重講一下這個 merge 函數。
sort 函數對 nums[lo..mid] 和 nums[mid+1..hi] 遞歸排序完成之后，我們沒有辦法原地把它倆合並，所以需要 copy 到 temp 數組里面，然后通過類似於前文 單鏈表的六大技巧 中合並有序鏈表的雙指針技巧將 nums[lo..hi] 合並成一個有序數組：
注意我們不是在 merge 函數執行的時候 new 輔助數組，而是提前把 temp 輔助數組 new 出來了，這樣就避免了在遞歸中頻繁分配和釋放內存可能產生的性能問題。
再說一下歸並排序的時間復雜度，雖然大伙兒應該都知道是 O(NlogN)，但不見得所有人都知道這個復雜度怎么算出來的。
前文 動態規划詳解 說過遞歸算法的復雜度計算，就是子問題個數 x 解決一個子問題的復雜度。對於歸並排序來說，時間復雜度顯然集中在 merge 函數遍歷 nums[lo..hi] 的過程，但每次 merge 輸入的 lo 和 hi 都不同，所以不容易直觀地看出時間復雜度。
merge 函數到底執行了多少次？每次執行的時間復雜度是多少？總的時間復雜度是多少？這就要結合之前畫的這幅圖來看：
執行的次數是二叉樹節點的個數，每次執行的復雜度就是每個節點代表的子數組的長度，所以總的時間復雜度就是整棵樹中「數組元素」的個數。
所以從整體上看，這個二叉樹的高度是 logN，其中每一層的元素個數就是原數組的長度 N，所以總的時間復雜度就是 O(NlogN)。
力扣第 912 題「排序數組」就是讓你對數組進行排序，我們可以直接套用歸並排序代碼模板：
class Solution {
public int[] sortArray(int[] nums) {
// 歸並排序對數組進行原地排序
Merge.sort(nums);
return nums;
}
}
class Merge {
// 見上文
}
其他應用
除了最基本的排序問題，歸並排序還可以用來解決力扣第 315 題「計算右側小於當前元素的個數」：
拍腦袋的暴力解法就不說了，嵌套 for 循環，平方級別的復雜度。
這題和歸並排序什么關系呢，主要在 merge 函數，我們在合並兩個有序數組的時候，其實是可以知道一個數字 x 后邊有多少個數字比 x 小的。
具體來說，比如這個場景：
這時候我們應該把 temp[i] 放到 nums[p] 上，因為 temp[i] < temp[j]。
但就在這個場景下，我們還可以知道一個信息：5 后面比 5 小的元素個數就是 j 和 mid + 1 之間的元素個數，即 2 個。
換句話說，在對 nuns[lo..hi] 合並的過程中，每當執行 nums[p] = temp[i] 時，就可以確定 temp[i] 這個元素后面比它小的元素個數為 j - mid - 1。
當然，nums[lo..hi] 本身也只是一個子數組，這個子數組之后還會被執行 merge，其中元素的位置還是會改變。但這是其他遞歸節點需要考慮的問題，我們只要在 merge 函數中做一些手腳，疊加每次 merge 時記錄的結果即可。
發現了這個規律后，我們只要在 merge 中添加兩行代碼即可解決這個問題，看解法代碼：
class Solution {
private class Pair {
int val, id;
Pair(int val, int id) {
// 記錄數組的元素值
this.val = val;
// 記錄元素在數組中的原始索引
this.id = id;
}
}
// 歸並排序所用的輔助數組
private Pair[] temp;
// 記錄每個元素后面比自己小的元素個數
private int[] count;
// 主函數
public List<Integer> countSmaller(int[] nums) {
int n = nums.length;
count = new int[n];
temp = new Pair[n];
Pair[] arr = new Pair[n];
// 記錄元素原始的索引位置，以便在 count 數組中更新結果
for (int i = 0; i < n; i++)
arr[i] = new Pair(nums[i], i);
// 執行歸並排序，本題結果被記錄在 count 數組中
sort(arr, 0, n - 1);
List<Integer> res = new LinkedList<>();
for (int c : count) res.add(c);
return res;
}
// 歸並排序
private void sort(Pair[] arr, int lo, int hi) {
if (lo == hi) return;
int mid = lo + (hi - lo) / 2;
sort(arr, lo, mid);
sort(arr, mid + 1, hi);
merge(arr, lo, mid, hi);
}
// 合並兩個有序數組
private void merge(Pair[] arr, int lo, int mid, int hi) {
for (int i = lo; i <= hi; i++) {
temp[i] = arr[i];
}
int i = lo, j = mid + 1;
for (int p = lo; p <= hi; p++) {
if (i == mid + 1) {
arr[p] = temp[j++];
} else if (j == hi + 1) {
arr[p] = temp[i++];
// 更新 count 數組
count[arr[p].id] += j - mid - 1;
} else if (temp[i].val > temp[j].val) {
arr[p] = temp[j++];
} else {
arr[p] = temp[i++];
// 更新 count 數組
count[arr[p].id] += j - mid - 1;
}
}
}
}
因為在排序過程中，每個元素的索引位置會不斷改變，所以我們用一個 Pair 類封裝每個元素及其在原始數組 nums 中的索引，以便 count 數組記錄每個元素之后小於它的元素個數。
你現在回頭體會下我在本文開頭說那句話：
所有遞歸的算法，本質上都是在遍歷一棵（遞歸）樹，然后在節點（前中后序位置）上執行代碼。你要寫遞歸算法，本質上就是要告訴每個節點需要做什么。
有沒有品出點味道？
最后總結一下吧，本文從二叉樹的角度講了歸並排序的核心思路和代碼實現，同時講了一道歸並排序相關的算法題。這道算法題其實就是歸並排序算法邏輯中夾雜一點私貨，但仍然屬於比較難的，你可能需要親自做一遍才能理解。
那我最后留一個思考題吧，下一篇文章我會講快速排序，你是否能夠嘗試着從二叉樹的角度去理解快速排序？如果讓你用一句話總結快速排序的邏輯，你怎么描述？
好了，答案下篇文章揭曉。
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