定點數和浮點數

　　任何一個數均可以表示為：(N)_R=±S×R^±e　　

 

　　R：基值。計算機中常用的R可取2、8、10、16等。

　　S：尾數。代表數N的有效數字。計算機中一般表示為純小數。

　　e：階碼（指數）。代表數N的小數點的實際位置。一般表示為純整數。

 

一、定點數

　　定點數：約定計算機中所有數據的小數點位置均是相同的，而且是固定不變的，即階碼e的取值固定不變的機器數表示。

　　定點數的兩種表示方法：

　　　　定點小數：e=0，表示純小數，小數點在符號位與最高數值位之間。　　定點整數：e=n，表示純整數，小數點在最低有效數值位之后，在最低位的右邊，不占位

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

 　　【例】

　　　　(123.45)₁₀ = 0.12345×10³ = 12345×10^-2

　　　　(11011.101)2 = 0.11011101×10⁵ = 11011101×2^-3

 

二、浮點數

　　 浮點數用類似(N)_R=±S×R^±e科學計數法來表達，比如1001.101的規范浮點數表達為1.001101×2³

 　　浮點數的小數點位置不是固定，而是可以浮動的，即e的取值可變。利用改變e值達到了浮動小數點的效果，從而靈活地表達更大范圍地實數。因此在機器中必須將e表示出來。　　 　 

　　　　浮點數的表示如圖

　　　　　　

 

 　　　   尾數的位數決定了數據表示的精度，為帶符號的純小數。

　　　　階碼的位數決定了數據表示的范圍，為帶符號的純整數。

 

三、浮點數的規格化

　　（1）如何盡可能多地保留有效數字？

　　（2）如何保證浮點表示地唯一？

　　　規格化思想：盡可能去掉尾數中的前置“0”，盡量使小數點后第一位為“1”。對於二進制數，就是要滿足：1/2≤|S|<1

　　【例】0.001001×2⁵的規格化

　　　　　0.001001×2⁵規格化表示為：0.100100×2³

 

四、原碼規格化

 　　若[S]_原=Sf.S1S2..Sn，規格化標志是：S1=1，即：[S]_原=0.1xx...x 或 [S]_原=1.1xx...x。

　　【例】

　　　　[S]_原=0.1101101 → [S]_原=1.1101101  是規格化數

　　　　[S]_原=0.0101101 → [S]_原=1.0101101  不是規格化數

五、補碼規格化

　　 若[S]_補=Sf.S1S2..Sn，規格化標志是：Sf⊙S1=1，即：[S]_補=0.1xx...x 或 [S]_補=1.0xx...x。⊙指異或運算 

　　【例】

　　　　[S]_補=0.1101101 → [S]_補=1.0101101  是規格化數

　　　　[S]_原=0.0101101 → [S]_原=1.1101101  不是規格化數

 

 六、IEEE 754浮點數標准

　　IEEE 754標准在表示浮點數時，每個浮點數均由三部分組成：符號位S，指數部分E和尾數部分M。

　　　　32位單精度浮點數表示格式如圖

　　　　

 

 　　　　S：數符，0表示“+”，1表示“-”。

　　　　 E：指數，即階碼部分。其中包括1位階符和7位數值。采用移127碼表示，移碼值為127。即 階碼=127+實際指數值

　　　　 M：共23位。由於尾數采用規格化表示，所以IEEE 754 標准約定在小數點左部有一位隱含位為1，從而使尾數的實際有效位為24位，即尾數的有效值為1.M。

 　　【例】利用IEEE 754標准將數176.0625表示為單精度浮點數

　　　    解析： ①將十進制轉換二進制數：(176.0625)₁₀=(10110000.0001)₂

　　　　　　　 ②對二進制數進行規格化處理：10110000.0001=1.01100000001×2⁷

 　　　　　　　③將小數部分擴展為單精度浮點數所規定的23位尾數為0110,0000,0010,0000,0000,000

　　　　　　　 ④求階碼，指數為7位數值，偏移量為127。E=7+127=134=(10000110)_移

　　　　　　　 最后176.0625的單精度浮點數表示為：0 10000110 0110,0000,0010,0000,0000,000