愛因斯坦求和約定
愛因斯坦求和約定(Einstein summation convention)是一種標記的約定, 又稱為愛因斯坦標記法(Einstein notation), 可以讓表達式更加簡潔明了. 里面主要涉及兩個概念: 啞指標(dummy index), 自由指標(free index)
定義
啞指標: 在表達式的某項中, 若某指標重復出現兩次, 則表示要把該項指標在取值范圍內遍歷求和. 該重復指標稱為啞指標或簡稱啞標. (未被求和的指標稱為自由指標)
自由指標: 在表達式的某項中, 若某指標只出現一次, 若在取值范圍內輪流取該指標的任一值時, 關系式恆成立. 該指標稱為自由指標.
舉例說明
- 設 \(\bf a,b\) 為兩個矢量, 其分量分別記為 \(a_i,b_i(i=1,2,3)\), 則
\[\textbf{a}\cdot \textbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = \sum\limits_{i=1}^3 a_ib_i = a_ib_i \]
- 由於啞指標只是表明求和, 所以它使用什么符號是無關重要的. 於是, 上式中 \(a_ib_i\) 可以用 \(a_jb_j\) 代替.
\[a_ib_i = a_jb_j = a_kb_k \]
- 對於如下一個線性變換的例子
\[x'_1 = a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3\\ x'_2 = a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3\\ x'_3 = a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 \]
用愛因斯坦求和表示為
\[x'_i = a_{ij}x_j \]
其中, \(i\) 為自由指標, \(j\) 為啞指標.
補充說明
- 自由指標換標時必須整個表達式換標
- 同項中出現兩對(或多對)不同啞標表示多重求和. 如: \(a_{ij}x_ix_j = \sum\limits_{i=1}^3\sum\limits_{j=1}^3a_{ij}x_ix_j\)
- 啞標只能成對出現, 否則要加上求和號或特別指出. 如: \(\sum\limits_{i=1}^3a_ib_ic_i\) 不能寫成 \(a_ib_ic_i\)
- 由 \(a_ib_i = a_ic_i\) 不能得出 \(b_i=c_i\)
- 若重復出現的標號不求和, 應特別聲明
- 通常情況下, 默認英文字母標號 \(i,j,k\cdots\) 取值范圍是 \(1,2,3\), 拉丁文字母標號 \(\alpha,\beta,\gamma\cdots\) 取值范圍是 \(1,2\)