爱因斯坦求和约定
爱因斯坦求和约定(Einstein summation convention)是一种标记的约定, 又称为爱因斯坦标记法(Einstein notation), 可以让表达式更加简洁明了. 里面主要涉及两个概念: 哑指标(dummy index), 自由指标(free index)
定义
哑指标: 在表达式的某项中, 若某指标重复出现两次, 则表示要把该项指标在取值范围内遍历求和. 该重复指标称为哑指标或简称哑标. (未被求和的指标称为自由指标)
自由指标: 在表达式的某项中, 若某指标只出现一次, 若在取值范围内轮流取该指标的任一值时, 关系式恒成立. 该指标称为自由指标.
举例说明
- 设 \(\bf a,b\) 为两个矢量, 其分量分别记为 \(a_i,b_i(i=1,2,3)\), 则
\[\textbf{a}\cdot \textbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = \sum\limits_{i=1}^3 a_ib_i = a_ib_i \]
- 由于哑指标只是表明求和, 所以它使用什么符号是无关重要的. 于是, 上式中 \(a_ib_i\) 可以用 \(a_jb_j\) 代替.
\[a_ib_i = a_jb_j = a_kb_k \]
- 对于如下一个线性变换的例子
\[x'_1 = a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3\\ x'_2 = a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3\\ x'_3 = a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 \]
用爱因斯坦求和表示为
\[x'_i = a_{ij}x_j \]
其中, \(i\) 为自由指标, \(j\) 为哑指标.
补充说明
- 自由指标换标时必须整个表达式换标
- 同项中出现两对(或多对)不同哑标表示多重求和. 如: \(a_{ij}x_ix_j = \sum\limits_{i=1}^3\sum\limits_{j=1}^3a_{ij}x_ix_j\)
- 哑标只能成对出现, 否则要加上求和号或特别指出. 如: \(\sum\limits_{i=1}^3a_ib_ic_i\) 不能写成 \(a_ib_ic_i\)
- 由 \(a_ib_i = a_ic_i\) 不能得出 \(b_i=c_i\)
- 若重复出现的标号不求和, 应特别声明
- 通常情况下, 默认英文字母标号 \(i,j,k\cdots\) 取值范围是 \(1,2,3\), 拉丁文字母标号 \(\alpha,\beta,\gamma\cdots\) 取值范围是 \(1,2\)