MATLAB實現多目標粒子群算法

• 以下源代碼為MOPSO的雙目標規划，目標函數使用ZDT1來測試

• 多目標粒子群（MOPSO）

• 起源：1995年，受到鳥群覓食行為的規律性啟發，James Kennedy和Russell Eberhart建立了一個簡化算法模型，經過多年改進最終形成了粒子群優化算法(Particle Swarm Optimization, PSO) ，也可稱為粒子群算法。粒子群算法的思想源於對鳥群覓食行為的研究，鳥群通過集體的信息共享使群體找到最優的目的地。
  

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MATLAB程序：

 clc;
 clear;
 close all;
 CostFunction = @(x) evaluate_objective(x);  %目標函數ZDT1
 nVar = 30;                                     %變量個數
 VarSize = [1 nVar];                            %變量矩陣大小
 VarMin = 0;                                    %變量值定義域
 VarMax = 1;                                    %注意: 該函數變量不能出現負值
 MaxIt = 200;                                   %最大迭代次數
 N = 40;                                        %種群規模
 nRep = 50;                                     %檔案庫大小
 w = 0.9;                                       %慣性權重系數
 wdamp = 0.99;                                  %慣性權重衰減率
 c1 = 1.7;                                      %個體學習因子
 c2 = 1.8;                                      %全局學習因子
 nGrid = 5;                                     %每一維的分格數
 alpha = 0.1;                                   %膨脹率
 beta = 2;                                      %最佳選擇壓
 gamma = 2;                                     %刪除選擇壓
 mu = 0.1;                                      %變異概率
 empty_particle.Position = [];                  %粒子位置向量
 empty_particle.Velocity = [];                  %粒子速度向量
 empty_particle.Cost = [];                      %粒子目標值向量
 empty_particle.Best.Position = [];             %粒子最佳位置向量
 empty_particle.Best.Cost = [];                 %粒子最佳目標值向量
 empty_particle.IsDominated = [];               %粒子被支配個體向量
 empty_particle.GridIndex = [];                 %粒子柵格索引向量
 empty_particle.GridSubIndex = [];              %粒子柵格子索引向量
 pop = repmat(empty_particle,N,1);              %粒子初始空矩陣
 ​
 for i = 1:N  %初始化N個個體
     % 產生服從均勻分布, VarSize大小的位置矩陣
     pop(i).Position = unifrnd(VarMin,VarMax,VarSize);
     pop(i).Velocity = zeros(VarSize);
     pop(i).Cost = CostFunction(pop(i).Position);
     pop(i).Best.Position = pop(i).Position;
     pop(i).Best.Cost = pop(i).Cost;
 end
 ​
 pop = DetermineDomination(pop);
 rep = pop(~[pop.IsDominated]);
 Grid = CreateGrid(rep,nGrid,alpha);
 for i = 1:numel(rep)
     rep(i) = FindGridIndex(rep(i),Grid);
     % GridIndex = 絕對位置，.GridSubIndex = 坐標位置
 end
 ​
 %MOPSO主循環
 for it = 1:MaxIt
     for i = 1:N %逐一個體更新速度和位置，0.5的概率發生變異
         leader = SelectLeader(rep,beta);   %從支配個體輪盤賭選出全局最佳個體
         rep = [rep;pop(~[pop.IsDominated])];   %添加新的最佳柵格位置到庫
         pop(i).Velocity = w*pop(i).Velocity + ...
             c1*rand(VarSize).*(pop(i).Best.Position-pop(i).Position)+ ...
             c2*rand(VarSize).*(leader.Position-pop(i).Position);    %速度更新
         pop(i).Position = pop(i).Position+pop(i).Velocity;   %位置更新
         pop(i).Position = limitToPosition(pop(i).Position,VarMin,VarMax);   %限制變量變化范圍
         pop(i).Cost = CostFunction(pop(i).Position);   %計算目標函數值
         %應用變異策略
         pm = (1-(it-1)/(MaxIt-1)^(1/mu));  % 變異概率逐漸變小
         NewSol.Position = Mutate(pop(i).Position,pm,VarMin,VarMax);
         NewSol.Cost = CostFunction(NewSol.Position);   % 計算變異后的目標值
         if Dominates(NewSol,pop(i))
             pop(i).Position = NewSol.Position;
             pop(i).Cost = NewSol.Cost;
         else %以0.5的概率決定是否接受變異
             if rand < 0.5
                 pop(i).Position = NewSol.Position;
                 pop(i).Cost = NewSol.Cost;
             end
         end
         if Dominates(pop(i),pop(i).Best)   % 如果當前個體優於先前最佳個體,則替換之
             pop(i).Best.Position = pop(i).Position;
             pop(i).Best.Cost = pop(i).Cost;
         else %以0.5的概率替換個體最佳
             if rand <0.5
                 pop(i).Best.Position = pop(i).Position;
                 pop(i).Best.Cost = pop(i).Cost;
             end
         end
     end   %每個個體
     
     rep =  DetermineDomination(rep);
     rep = rep(~[rep.IsDominated]);
     Grid = CreateGrid(rep,nGrid,alpha); 
    for i =1:numel(rep) 
        rep(i) = FindGridIndex(rep(i),Grid); 
    end 
    if numel(rep) > nRep 
        Extra = numel(rep)-nRep; 
        for e = 1:Extra 
            rep = DeleteOneRepMemebr(rep,gamma); 
        end 
    end 
     
    disp(['迭代次數 =',num2str(it)]); 
    w = w*wdamp; 
end 
​ 
figure(1); 
location = [rep.Cost];   %取最優結果 
​ 
scatter(location(1,:),location(2,:),'filled','b'); 
xlabel('f1');ylabel('f2'); 
title('Pareto 最優邊界圖'); 
box on; 
%============================= 
%計算目標函數值 
%============================= 
function f =evaluate_objective(x) 
        f = []; 
        f(1) = x(1); 
        g = 1; 
        sum = 0; 
        V = size(x,2); 
        for i = 2:V 
            sum = sum + x(i); 
        end 
        sum = 9*(sum/(V-1)); 
        g = g+sum; 
        f(2) = g*(1-sqrt(x(1)/g)); 
        f = [f(1);f(2)]; 
end 
%============================= 
%判斷全局支配狀況,返回0 = 非支配解 
%============================= 
function pop =DetermineDomination(pop) 
        nPop = numel(pop); 
        for i =1:nPop 
            pop(i).IsDominated = false;   %初始化為互不支配 
        end 
        for i = 1:nPop-1 
            for j = i+1:nPop 
                if Dominates(pop(i),pop(j)) 
                    pop(j).IsDominated = true; 
                end 
                    if Dominates(pop(j),pop(i)) 
                        pop(i).IsDominated = true; 
                    end 
            end 
        end 
end 
%============================= 
%判斷兩個目標值x,y的支配狀態 
% x支配y,返回1;y支配x,返回0 
%============================= 
function b = Dominates(x,y) 
        if isstruct(x) 
            x=x.Cost; 
        end 
        if isstruct(y) 
            y=y.Cost; 
        end 
        b=all(x<=y) && any(x<y); 
end 
%============================= 
%創建柵格矩陣 
%============================= 
function Grid = CreateGrid(pop,nGrid,alpha) 
        c = [pop.Cost]; 
        cmin = min(c,[],2); 
        cmax = max(c,[],2); 
        dc = cmax-cmin; 
        cmin = cmin-alpha*dc; 
        cmax = cmax+alpha*dc; 
        nObj = size(c,1); 
        empty_grid.LB = []; 
        empty_grid.UB = []; 
        Grid = repmat(empty_grid,nObj,1); 
         
        for j = 1:nObj 
            cj = linspace(cmin(j),cmax(j),nGrid+1); 
            Grid(j).LB = [-inf cj]; 
            Grid(j).UB = [cj +inf]; 
        end 
end 
%============================= 
%柵格索引定位 
%============================= 
function particle = FindGridIndex(particle,Grid) 
        nObj = numel(particle.Cost); 
        nGrid = numel(Grid(1).LB); 
        particle.GridSubIndex = zeros(1,nGrid); 
        for j = 1:nObj 
            particle.GridSubIndex(j) = find(particle.Cost(j)<=Grid(j).UB,1,'first'); 
            %從左到右找到第一個目標值小於柵格值的位置 
        end 
        particle.GridIndex = particle.GridSubIndex(1); 
        for j = 2:nObj   % 左上角開始數到右下角，先數行再換行繼續數 
            particle.GridIndex = particle.GridIndex-1; 
            particle.GridIndex = nGrid*particle.GridIndex; 
            particle.GridIndex = particle.GridIndex + particle.GridSubIndex(j); 
        end 
end 
%============================= 
%從全局支配個體中找出一個最佳個體 
%============================= 
function leader = SelectLeader(rep,beta) 
        GI = [rep.GridIndex]; 
        OC = unique(GI); 
        %一個柵格可能被多個支配解占用 
        N = zeros(size(OC)); 
        for k =1:numel(OC) 
            N(k) = numel(find(GI == OC(k))); 
        end 
        % 計算選擇概率,為了增加多樣性,盡量不選多次出現的個體 
        % 如果N大P就小, 即多次出現的柵格點被選中的概率小 
        P = exp(-beta*N); 
        P = P/sum(P);  
        sci = RouletteWheelSelection(P);   %輪盤賭策略選擇 
        sc = OC(sci);   % 輪盤賭選擇的柵格點 
        SCM = find(GI==sc); 
        smi = randi([1 numel(SCM)]); 
        sm = SCM(smi); 
        leader = rep(sm);   %當前全局最佳位置點 
end 
%============================= 
%輪盤賭選擇一個較好的支配個體 
%============================= 
function i = RouletteWheelSelection(P) 
        r = rand; 
        C = cumsum(P); 
        i = find(r<=C,1,'first'); 
end 
%============================= 
%限制變量變化范圍在定義域內 
%============================= 
function Position = limitToPosition(Position,VarMin,VarMax)     
        for i =1:size(Position,2) 
            if Position(i)<VarMin 
                Position(i) = VarMin; 
            elseif Position(i) > VarMax 
                Position(i) = VarMax; 
            end 
        end 
end 
%============================= 
%刪除檔案庫中的一個個體 
%============================= 
function rep = DeleteOneRepMemebr(rep,gamma) 
        GI = [rep.GridIndex]; 
        OC = unique(GI); 
        N = zeros(size(OC)); 
        for k = 1:numel(OC) 
            N(k) = numel(find(GI == OC(k))); 
        end 
        P = exp(gamma*N); 
        P = P/sum(P); 
        sci = RouletteWheelSelection(P); 
        sc = OC(sci); 
        SCM = find(GI == sc); 
        smi = randi([1 numel(SCM)]); 
        sm = SCM(smi); 
        rep(sm) = []; 
end 
%============================= 
%使用變異策略 
%============================= 
function xnew = Mutate(x,pm,VarMin,VarMax) 
        nVar = numel(x); 
        j = randi([1 nVar]); 
        dx = pm*(VarMax-VarMin); 
        lb = x(j)-dx; 
        if lb<VarMin 
            lb=VarMin; 
        end 
        ub = x(j)+dx; 
        if ub > VarMax 
            ub = VarMax; 
        end 
        xnew = x; 
        xnew(j) = unifrnd(lb,ub); 
end

帕累托最優邊界：