\(\mathbf{{\large {\color{Red} {歡迎到學科網下載資料學習}} } }\)【高分突破系列】 高二數學上學期同步知識點剖析精品講義！
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模塊導圖
知識剖析
1兩直線的位置關系
\({\color{Red}{解釋}}\)
對於兩條不重合的直線\(l_1\),\(l_2\)，其斜率存在時分別為\(k_1\),\(k_2\)，
則有\(l_1 // l_2 ⇔k_1=k_2\)或\(l_1\),\(l_2\)的斜率都不存在.
有\(l_1⊥ l_2⇔k_1⋅ k_2=-1\)或\(k_1=0\)且\(l_2\)的斜率不存在或\(k_2=0\)且\(l_1\)的斜率不存在.
2 線段的中點坐標公式
若點\(P_1\),\(P_2\)的坐標分別是\((x_1 ,y_1)\),\((x_2 ,y_2)\), 則線段\(P_1 P_2\)中點坐標為\(M\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}, \dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\).
3 常見的直線系方程
平行於直線\(Ax+By+C=0\)的直線系方程\(Ax+By+C_0=0(C≠C_0)\)；
垂直於於直線\(Ax+By+C=0\)的直線系方程\(Bx-Ay+C_0=0\)；
過兩條已知直線\(l_1:A_1 x+B_1 y+C_1=0\)和\(l_2:A_2 x+B_2 y+C_2=0\)交點的直線系方程
\(A_1 x+B_1 y+C_1+λ(A_2 x+B_2 y+C_2 )=0\)；
(\(λ∈R\), 這個直線系下不包括直線\(l_2:A_2 x+B_2 y+C_2=0\)，解題時注意檢驗\(l_2\)是否滿足題意)
4 對稱性問題
(1)點關於點的對稱
點\(P(x_0 ,y_0)\)關於\(A(a ,b)\)的對稱點為\(P'(2a-x_0 ,2b-y_0)\)；
(2)點關於直線的對稱
設點\(P(x_0 ,y_0)\)關於直線\(l：y=kx+b\)的對稱點為\(P'(x' ,y')\)
則有\(\left\{\begin{array}{c} \dfrac{y^{\prime}-y_{0}}{x^{\prime}-x_{0}} \cdot k=-1 \\ \dfrac{y^{\prime}+y_{0}}{2}=k \cdot \dfrac{x^{\prime}+x_{0}}{2}+b \end{array}\right.\)可求出\(x'\),\(y'\)，從而得到點\(P'\).
(直線\(l\)是線段\(PP'\)的垂直平分線，則\(k_{P P^{\prime}} \cdot k=-1\)，\(PP'\)的中點\(\left(\dfrac{x^{\prime}+x_{0}}{2}, \dfrac{y^{\prime}+y_{0}}{2}\right)\)在直線\(l\)上)
(3)直線關於直線的對稱
\((i)\)若已知直線\(l_1\)與對稱軸\(l\)相交於點\(P\)，則與\(l_1\)對稱的直線\(l_2\)過點\(P\)，再求出直線\(l_1\)上一點\(P_1\)關於對稱軸\(l\)的對稱點\(P_2\)，則由點\(P\)與\(P_2\)可求出直線\(l_2\)的方程；
\((ii)\)若已知直線\(l_1\)與對稱軸\(l\)平行，求與已知直線\(l_1\)關於對稱軸\(l\)對稱的直線\(l_2\)，利用直線\(l_1\)、\(l_2\)到直線\(l\)的距離相等便可求.(方法其實多樣，大致均可轉化為點關於直線對稱問題)
經典例題
【題型一】 直線的位置關系的判斷
【典題1】已知\(l_1：x+my+6=0\)，\(l_2：(m-2)x+3y+2m=0\)，分別求\(m\)的值，使得\(l_1\)和\(l_2\)：\((1)\)垂直；\((2)\)平行；\((3)\)重合；\((4)\)相交．
【解析】(1)若\(l_1\)和\(l_2\)垂直，
\({\color{Red}{方法1 }}\)把直線化為斜截式，由斜率\(k_1\cdot k_2=-1\)求解
當\(m=0\)時，\(l_1:x=-6\)，\(l_2:-2x+3y=0\)，顯然不滿足題意；
\({\color{Red}{ (注意斜率不存在的情況)}}\)
當\(m≠0\)時，\(k_{1}=-\dfrac{1}{m}\)，\(k_{2}=\dfrac{m-2}{3}\)，則\(-\dfrac{1}{m} \cdot \dfrac{m-2}{3}=-1\)，解得\(m=\dfrac{1}{2}\)；
\({\color{Red}{方法2 }}\)從一般式來看，可得\(1\cdot (m-2)+3\cdot m=0\)，\(\therefore m=\dfrac{1}{2}\)；
(2)若\(l_1\)和\(l_2\)平行，則\(\dfrac{m-2}{1}=\dfrac{3}{m} \neq \dfrac{2 m}{6}\)， \({\color{Red}{ (也可如(1)化為斜截式求解)}}\)
\(\therefore\left\{\begin{array}{l} m^{2}-2 m-3=0 \\ m \neq \pm 3 \end{array}\right.\)解得\(m=-1\)，
(3)若\(l_1\)和\(l_2\)重合，則\(\dfrac{m-2}{1}=\dfrac{3}{m}=\dfrac{2 m}{6}\)，\(∴m=3\)，
(4)若\(l_1\)和\(l_2\)相交，則由(2)(3)可知\(m≠3\)且\(m≠-1\).
【點撥】 判定直線的位置，有斜截式和一般式兩種角度；由斜截式判定時，要注意直線斜率是否存在；由一般式判定時，切記不要死記結論.
【典題2】順次連接\(A(-4 ,3)\)、\(B(2 ,5)\)、\(C(6 ,3)\)、\(D(-3 ,0)\)，所組成的圖形是( )
A．平行四邊形 \(\qquad \qquad\) B．直角梯形 \(\qquad \qquad\) C．等腰梯形 \(\qquad \qquad\) D．以上都不對
【解析】\({\color{Red}{(要判斷四邊形形狀，需要判斷各邊的位置關系，可從直線斜率入手) }}\)
\(AB\)的斜率為\(\dfrac{5-3}{2+4}=\dfrac{1}{3}\)，\(CD\)的斜率為\(\dfrac{3-0}{6+3}=\dfrac{1}{3}\)，
則\(k_{A B}=k_{C D}\)，故\(AB||CD\)；
由\(AD\)的斜率為\(\dfrac{3-0}{-4+3}=-3\)得\(k_{A D} \cdot k_{A B}=-1\)，則\(AB⊥AD\)；
由\(BC\)的斜率為\(\dfrac{5-3}{2-6}=-\dfrac{1}{2}\)得\(k_{A D} \neq k_{B C}\)，則\(AD\)與\(BC\)不平行，
故四邊形為直角梯形，故選\(B\)．
【典題3】已知\(|m|<1\)，直線\(l_1：y=mx+1\)，\(l_2：x=-my+1\)，\(l_1\)與\(l_2\)相交於點\(P\)，\(l_1\)交\(y\)軸於點\(A\)，\(l_2\)交\(x\)軸於點\(B\)
(1)證明：\(l_1⊥l_2\)；
(2)用\(m\)表示四邊形\(OAPB\)的面積\(S\)，並求出\(S\)的最大值.
【解析】(1)當\(m=0\)時，直線\(l_1：y=1\)，\(l_2：x=1\)，顯然有\(l_1⊥l_2\)；
\({\color{Red}{ (確定l_2是否一定存在斜率) }}\)
當\(m≠0\)時，\(l_1\)與\(l_2\)的斜率分別為\(m\)，\(\dfrac{1}{-m}\)，斜率之積\(m \cdot \dfrac{1}{-m}=-1\)，故\(l_1⊥l_2\)．
綜上，\(l_1⊥l_2\).
(2)由題意知，\(A(0 ,1)\)，\(B(1 ,0)\)，
由\(l_1\)與\(l_2\)相的方程聯立方程組\(\left\{\begin{array}{c} y=m x+1 \\ x=-m y+1 \end{array}\right.\)，
解得點\(P\left(\dfrac{1-m}{1+m^{2}}, \dfrac{1+m}{1+m^{2}}\right)\)，
因\(|m|<1\)，故點\(P\)在第一象限，
\({\color{Red}{ (注意這點，否則圖不准確，導致四邊形OAPB判斷出錯) }}\)
則\(|P A|=\sqrt{\left(\dfrac{1-m}{1+m^{2}}\right)^{2}+\left(\dfrac{1+m}{1+m^{2}}-1\right)^{2}}=\dfrac{1-m}{\sqrt{1+m^{2}}}\)，
\(|P B|=\sqrt{\left(\dfrac{1-m}{1+m^{2}}-1\right)^{2}+\left(\dfrac{1+m}{1+m^{2}}\right)^{2}}=\dfrac{1+m}{\sqrt{1+m^{2}}}\)，
由(1)可知\(PA⊥PB\)，
\(\therefore S_{\triangle A P B}=\dfrac{1}{2}|P A| \cdot|P B|=\dfrac{1-m^{2}}{2\left(1+m^{2}\right)}\)，
\(\therefore S_{\text {四邊形 } O A P B}=S_{O A B}+S_{\triangle A P B}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1-m^{2}}{2\left(1+m^{2}\right)}=\dfrac{1}{1+m^{2}}\)，
故\(m=0\)時，\(S\)有最大值為\(1\)．
【點撥】 謹記\(l_1 // l_2 ⇔k_1=k_2\)，\(l_1⊥ l_2⇔k_1⋅ k_2=-1\)成立的前提是直線斜率\(k_1\),\(k_2\)存在，若不確定要分類討論.
鞏固練習
1(★)若\(l_1\)與\(l_2\)為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別為\(a_1\),\(a_2\)，斜率分別為\(k_1\),\(k_2\)，則下列命題
(1)若\(l_1∥l_2\)，則斜率\(k_1=k_2\)；
(2)若斜率\(k_1=k_2\)，則\(l_1∥l_2\)；
(3)若\(l_1∥l_2\)，則傾斜角\(a_1=a_2\)；
(4)若傾斜角\(a_1=a_2\)，則\(l_1∥l_2\)；
其中正確命題的個數是 \(\underline{\quad \quad}\) .
2(★)已知直線\(l_1：x+2ay-1=0\)，與\(l_2：(2a-1)x-ay-1=0\)平行，則\(a\)的值是\(\underline{\quad \quad}\) .
3(★)三條直線\(l_1：x-y=0\),\(l_2：x+y-2=0\)，\(l_3：5x-ky-15=0\)構成一個三角形，則\(k\)的取值范圍是\(\underline{\quad \quad}\) .
4(★)已知直線\(l_1：mx+4y-2=0\)與\(l_2：2x-5y+n=0\)互相垂直，其垂足為\((1 ,p)\)，則\(m+n-p\)的值為\(\underline{\quad \quad}\) .
5(★)直線\(l\)過點\(A(3 ,4)\)且與點\(B(-3 ,2)\)的距離最遠，那么\(l\)的方程為\(\underline{\quad \quad}\) .
6(★★)[多選題] 已知等腰直角三角形\(ABC\)的直角頂點為\(C(3 ,3)\)，點\(A\)的坐標為\((0 ,4)\)，則點\(B\)的坐標為( )
A．\((2 ,0)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\((6 ,4)\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\((4 ,6)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\((0 ,2)\)
7(★★★)在\(△ABC\)中，已知\(M(1 ,6)\)是\(BC\)邊上一點，邊\(AB\),\(AC\)所在直線的方程分別為\(2x-y+7=0\),\(x-y+6=0\)．
(1)若\(AM⊥BC\)，求直線\(BC\)的方程；
(2)若\(|BM|=|CM|\)，求直線\(BC\)在\(x\)軸上的截距．
參考答案
1.\(4\)
2.\(0\)或\(\dfrac{1}{4}\)
3.\(k∈R\)且\(k≠±5\),\(k≠-10\)
4.\(0\)
5.\(3x+y-13=0\)
6.\(AC\)
7.\((1) 2x+y-8=0\)\(\text { (2) } \dfrac{19}{5}\)
【題型二】對稱問題
【典題1】已知直線\(y=2x\)是\(△ABC\)中\(∠C\)的平分線所在的直線，若點\(A\)、\(B\)的坐標分別是\((-4 ,2)\)，\((3 ,1)\)，則點\(C\)的坐標為\(\underline{\quad \quad}\) .
【解析】
\({\color{Red}{(直線y=2x是角平分線，意味直線AC與BC關於y=2x對稱) }}\)
設\(A(-4 ,2)\)關於直線\(y=2x\)的對稱點為\(A'(x ,y)\)，
則\(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{y-2}{x+4} \times 2=-1 \\ \dfrac{y+2}{2}=2 \times \dfrac{-4+x}{2} \end{array}\right.\)\((*)\)，解得\(\left\{\begin{array}{l} x=4 \\ y=-2 \end{array}\right.\)，即\(A'(4 ,-2)\)．
\({\color{Red}{(這是點關於直線對稱的問題，理解到直線y=2x是AA'的垂直平分線易得(*)式)}}\)
\(∴\)直線\(BA'\)方程為\(y-1=\dfrac{-2-1}{4-3}(x-3)=-3(x-3)\)，
化為\(3x+y-10=0\)． \({\color{Red}{(點A'在直線BC上) }}\)
聯立\(\left\{\begin{array}{l} 3 x+y-10=0 \\ y=2 x \end{array}\right.\)，解得\(\left\{\begin{array}{l} x=2 \\ y=4 \end{array}\right.\)，可得\(C(2 ,4)\)．
(對稱軸\(y=2x\)與直線\(BC\)的交點就是點\(C\))
【點撥】 建議通過畫圖去理解它們之間的關系，在圖中你能更容易發現一些隱含信息.
【典題2】如圖已知\(A(4 ,0)\)、\(B(0 ,4)\)、\(O(0 ,0)\)，若光線\(L\)從點\(P(2 ,0)\)射出，直線\(AB\)反射后到直線\(OB\)上，在經直線\(OB\)反射回原點\(P\)，則光線\(L\)所在的直線方程為\(\underline{\quad \quad}\) .
【解析】由題意知直線\(AB\)的方程為\(y=-x+4\)，
設光線分別射在\(AB\)、\(OB\)上的\(M、N\)處，
\({\color{Red}{ (本題就是求直線PM方程，只要求出點M便可)}}\)
由於光線從點\(P\)經兩次反射后又回到\(P\)點，
根據反射規律，則\(∠PMA=∠BMN\)，\(∠PNO=∠BNM\)．
\({\color{Red}{(反射問題，當然想到入射角相等，數學上是對稱問題) }}\)
作出點\(P\)關於\(OB\)的對稱點\(P_1\)，作出點\(P\)關於\(AB\)的對稱點\(P_2\)，
則\(∠P_2 MA=∠PMA=∠BMN\)，\(∠P_1 NO=∠PNO=∠BNM\)，
\(∴P_1\),\(N\),\(M\),\(P_2\)共線， \({\color{Red}{(通過平幾知識得到四點共線) }}\)
易得點\(P\)關於\(y\)軸的對稱點\(P_1 (-2 ,0)\)，
\(∵OA=OB=4\),\(∴∠P_2 AB=∠PAB=45°\)，
\(∴P_2 A⊥OA\)，\(∴P_2\)的橫坐標為\(4\)，
由對稱性可知\(P_2 A=PA=2\)，可得\(P_2\)的縱坐標為\(2\)，
\(∴P_2 (4 ,2)\)，
\({\color{Red}{ (求P_2的坐標常規方法是點關於直線對稱的套路，但有時通過細致的觀察，不走尋常路更容易得到你想要的，}}\)
\({\color{Red}{ 要善於思考、觀察)}}\)
\(∴\)直線\(PP_2\)方程\(\dfrac{y}{x+2}=\dfrac{2}{4+2}\)，即\(x-3y+2=0\)，
聯立\(\left\{\begin{array}{l} x-3 y+2=0 \\ x+y-4=0 \end{array}\right.\)，得\(x=\dfrac{5}{2}\)，\(y=\dfrac{3}{2}\)，則\(M\left(\dfrac{5}{2}, \dfrac{3}{2}\right)\)，
\(∴\)直線\(P M: \dfrac{y}{x-2}=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{5}{2}-2}\)，
即光線\(L\)所在的直線方程為\(y=3x-6\)．
【點撥】 反射問題的本質還是對稱問題，平時處理一類問題中在掌握通法的同時也要注意“巧法”，根據題目的特殊性多思考與觀察！
【典題3】已知\(O\)為坐標原點，傾斜角為\(\dfrac{2 \pi}{3}\)的直線\(l\)與\(x\),\(y\)軸的正半軸分別相交於點\(A\),\(B\)，\(△AOB\)的面積為\(8 \sqrt{3}\)．
(1)求直線\(l\)的方程；
(2)直線\(l^{\prime}: y=-\dfrac{\sqrt{3}}{3} x\)，點\(P\)在\(l'\)上，求\(|PA|+|PB|\)的最小值．
【解析】(1)由題意可得：直線\(l\)的斜率\(k=\tan \dfrac{2 \pi}{3}=-\sqrt{3}\)，
設直線\(l\)的方程為\(y=-\sqrt{3} x+b\)．
可得直線\(l\)與坐標軸的正半軸交點為\(A\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3} b, 0\right)\),\(B(0 ,b)\)，其中\(b>0\)．
\(\therefore S_{\triangle O A B}=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{\sqrt{3}}{3} b \times b=8 \sqrt{3}\)，解得\(b=4 \sqrt{3}\)，
\(∴\)直線\(l\)的方程為\(y=-\sqrt{3} x+4 \sqrt{3}\)．
(2)由(1)可得\(A(4 ,0)\)，\(B(0,4 \sqrt{3})\)，
\({\color{Red}{ (求|PA|+|PB|的最小值是“將軍飲馬”問題，則要求點A或B關於直線l'的對稱點)}}\)
設點\(A\)關於直線\(l'\)的對稱點\(A'(m ,n)\)，
則\(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{n-0}{m-4}=\sqrt{3} \\ \dfrac{n}{2}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \cdot \dfrac{m+4}{2} \end{array}\right.\)，解得\(\left\{\begin{array}{l} m=2 \\ n=2 \sqrt{3}-4 \end{array}\right.\)，
\(\therefore A^{\prime}(2,2 \sqrt{3}-4)\)．
\(∵|PA|+|PB|=|PA'|+|PB'|\)，
\(∴\)當\(A'\),\(B\),\(P\)三點共線時，\(|PA|+|PB|\)取得最小值．
\(\therefore(|P A|+|P B|)_{\min }=\left|A^{\prime} B\right|=4 \sqrt{2+\sqrt{3}}\)
\(=2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{4+2 \sqrt{3}}=2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{(\sqrt{3}+1)^{2}}=2(\sqrt{2}+\sqrt{6})\)．
\({\color{Red}{(對於形如\sqrt{a+b \sqrt{c}}式子的化簡也是運算基本功) }}\)
【點撥】 在解析幾何中最值問題也是常見的題型，你試試設點\(P(m,n)\)用函數的方法求解，感受下與本題的幾何法比較.我們最好熟悉更多的模型，比如“將軍飲馬”，它在本題利用點關於直線對稱處理了！后面我們在圓的方程、圓錐曲線中也會有.
鞏固練習
1(★)原點關於\(x-2y+1=0\)的對稱點的坐標為\(\underline{\quad \quad}\) ．
2(★)已知點\(A(1 ,2)\)、\(B(3 ,1)\)，則線段\(AB\)的垂直平分線的方程是\(\underline{\quad \quad}\) ．
3(★)入射光線沿直線\(x－2y+3=0\)射向直線\(l：y=x\)，被\(l\)反射后的光線所在直線的方程是\(\underline{\quad \quad}\) ．
4(★)已知\(△ABC\)的頂點\(A(1 ,2)\)，\(AB\)邊上的中線\(CM\)所在的直線方程為\(x+2y-1=0\)，\(∠ABC\)的平分線\(BH\)所在直線方程為\(y=x\)，則直線\(BC\)的方程為\(\underline{\quad \quad}\) ．
5(★★)已知\(A(3 ,0)\),\(B(0 ,3)\)，從點\(P(0 ,2)\)射出的光線經\(x\)軸反射到時直線\(AB\)上，又經過直線\(AB\)反射回到時P點，則光線所經過的路程為\(\underline{\quad \quad}\) ．
6(★★)已知直線\(l\)經過點\(P(6 ,4)\)，斜率為\(k\)
(1)若\(l\)的縱截距是橫截距的兩倍，求直線\(l\)的方程；
(2)若\(k=-1\)，一條光線從點\(M(6 ,0)\)出發，遇到直線\(l\)反射，反射光線遇到\(y\)軸再次放射回點\(M\)，求光線所經過的路程．
7(★★)在直線\(l：3x-y-1=0\)上求一點\(P\)，使得：
(1)\(P\)到\(A(4 ,1)\)和\(B(0 ,4)\)的距離之差最大；
(2)\(P\)到\(A(4 ,1)\)和\(C(3 ,4)\)的距離之和最小．
參考答案
1.\(\left(-\dfrac{2}{5}, \dfrac{4}{5}\right)\)
2.\(4x-2y-5=0\)
3.\(2x-y-3=0\)
4.\(2x-3y-1=0\)
5.\(\sqrt{26}\)
6.\((1) 2x-3y=0\)或\(2x+y-16=0\)\(\text { (2) } 4 \sqrt{17}\)
7.\((1) (2,5) \quad (2) \left(\dfrac{11}{7}, \dfrac{26}{7}\right)\)