希爾伯特的五組幾何公理，描述了一個與歐幾里得空間等價的幾何空間，然而這套公理的價值遠非如此。它的目的更在於分離出幾何空間中最本質的內涵，對其精簡分類，以突出每一個內涵的價值。所以到此為止，幾何系統的討論非但沒有結束，而是才剛剛開始。在前幾篇的定理討論中，我們明確了這樣一個事實：每個定理的成立都有其依賴的最小公理集。解析每個定理背后的公理，而不是在整個系統中討論，更能洞察出定理的本質是什么。
1. 比例論
1.1 帕斯卡定理
上篇的最后我們提到過，公理\(V\)（連續公理）更多地是為了向歐幾里得空間收斂，它在一般幾何空間的討論中是經常被忽略的。本篇就試圖在公理\(V\)缺席的情況下（非阿基米德幾何），繼續討論線段的比例和圖形的面積，以展示：這兩個概念是幾何空間的內在屬性，而非一定要依賴於實數系統。由於討論范圍限定在一個平面之中（平面幾何），這里暫時也可以先拿掉空間公理\(I_{3\sim 6}\)，也就是說本篇的討論僅基於公理\(I_{1\sim 2},II\sim IV\)。其實公理\(II_3\)包含了空間公理中的\(I_3,I_5\)，所以真正去除的只是宣稱空間維度的\(I_4,I_6\)。
不論是線段比例還是圖形面積，都避不開線段“乘法”的定義，為了不使用實數系統，這里先要用線段定義出“線段乘法”。而合適的定義要基於一個眾所周知的定理：帕斯卡定理（教材譯作巴斯噶），它的內容如下：有兩條相交直線，記\(A,B,C\)和\(A',B',C'\)分別是兩條線上的點，它們都不是交點且有\(AB'\mathop{//}A'B,\,AC'\mathop{//}A'C\)，則一定有\(BC'\mathop{//}B'C\)。注意，該定理並不要求三點在交點的同一側，你可以畫出完全不同於以下左圖的情況。
在歐幾里得空間，由平行關系得到有向線段積\(OA\cdot OA'=OB\cdot OB'\)和\(OA\cdot OA'=OC\cdot OC'\)，再有\(OB\cdot OB'=OC\cdot OC'\)並得到\(BC'\mathop{//}B'C\)。教材上使用了類似的思路，但是為了避開比例計算，借助全等判定定理定義了邊角的“乘法關系”，具體細節這里就不展開了。有意思的是，書中還提到，帕斯卡定理可以只依賴公理\(I\sim III\)便得以證明，也即加入空間公理、去除平行公理。希爾伯特的證明中，使用到四點共圓的性質，而這依賴於平行公理（對三點在交點一側的簡化證明，更是反復使用了四點共圓）。
1.2 乘法和比例
現在來定義由線段組成的“代數系統”，以在沒有實數系統的情況下定義比例和面積。首先把線段合同定義為元素的“相等”，線段的拼接定義為元素的“加法”，線段的大小定義為元素的“大小”。不難證明這些元素（線段）滿足交換律和結合律，任何單點線段就是零元（記作0）。定義乘法時，先要規定好單位線段（記作1），然后把\(1,a,b\)如上右圖遷移到一個直角上，平行線在一邊截取的線段定義為乘法\(ab\)。這個定義同樣啟發於歐幾里得幾何的相似比例，定義方法非常自然，1顯然也符合單位元的性質（\(1a=a1=a\)）。
接下來要小心求證乘法的交換律和結合律，它們並不是天然成立的，但證明過程並不復雜。先是如下左圖，根據帕斯卡定理證得紅線平行，從而\(ab\)的端點就是\(ba\)的端點，即\(ab=ba\)。然后考察以下右圖，根據交換律和帕斯卡定理證得紅線平行，從而\((ab)c=a(bc)\)。最后還有乘法加法分配律，通過線段的遷移和圖形相等定理可以輕松得到（請自行畫圖作證）。有了乘法，反向也可以定義除法，\(a/b\)定義為滿足\(a=bc\)的唯一線段\(c\)。
如果\(a/b=a'/b'\)，也稱它們是成比例的，記作\(a:b=a':b'\)。假設比值為\(e\)，則有\(a=eb,a'=eb'\)，不難得到\(ab'=a'b\)。反之由\(ab'=a'b\)也可證\(a:b=a':b'\)和\(a:a'=b:b'\)，總結為式（1）。有了成比例的概念，就可以討論三角形相似了，一般把三個角都相等（合同）的兩個三角形稱為相似的。由於乘法是在直角上定義的，只能先討論相似直角三角形，如下左圖，不難證明兩條直角邊是成比例的\(a:b=a':b'\)。對於一般三角形，先如下右圖作出角平分線和垂線，分成的6個直角三角形都對應相似，從而容易有三角形三邊成比例\(a:a'=b:b'=c:c'\)。
\[a:b=a':b'\;\Leftrightarrow\;ab'=a'b\tag{1}\]
這時我們再看乘法的定義，那個直角的要求是必需的，因為當時無法得知任意角上得到的“乘積”線段都是合同的。然而現在根據相似三角形的成比例性質可知，平行線在任意角上截下的線段都是是成比例的。也就是說，構造乘積線段時，再也不必須在直角上了。平行線截成比例線段的結論，還說明成比例並不依賴線段1的選取，它是圖形的內在性質。為此教材的補篇II中，直接用平行線截直角的方法定義成比例，也能完整獲得相似三角形的性質。
最后，如果想在這樣的幾何空間中定義笛卡爾坐標，就要對直線區分“正負”方向，也就是規定正負線段。這時線段的代數系統才能成為一個完整的“域”，並進行加減乘除的運算。建立平面坐標的方法也符合直觀，指定兩條垂直的有向直線（坐標軸），平面上任意一點的坐標定義為：點到坐標軸的垂線段\((Ox,Oy)\)（有向線段）。過原點\(O\)的直線上\(l\)任意一點滿足\(x:y=a:b\)（下圖），也即\(bx-ay=0\)，它便是直線的方程。當然也容易有任意直線\l'\)的方程：\(bx-ay-c=0\)，注意這里都還是線段運算，而非實數方程。
2. 圖形面積
2.1 剖分相等、拼補相等
有了相似和比例的概念，自然就有了圖形“大小”的概念，也就是這里要討論的面積。但僅通過相似能得到的面積關系十分有限，這里以三角形為基本圖形，通過合同的組合（簡單加減法）討論多邊形的面積。當然這里的“多邊形“”和“圖形分割”也是需要嚴謹定義，請參考課本討論，這里略去不述。還有在給出“面積相等”的定義時，在表述上一定要嚴謹，不能把直覺看作當然。首先因為用到三角形合同，就一定要合同公理在場，即使最終面積寫成了線段乘法（乘法不一定要合同）。其次因為沒有連續公理，做三角形的拆分、拼接時都只討論有限個三角形的情況。
拆分和拼接看上去只是簡單的加減法，但定義“面積相等”時，還不能天然地將它們混用。先定義單純一些的拆分相等，即如果兩個多邊形可以拆分為有限個相互合同的三角形，那它們稱為剖分相等的。這個定義十分自然，但要注意相等的傳遞性並不顯然，需要展開討論。假定多邊形\(P_3\)分別和\(P_1,P_2\)剖分相等，也即\(P_3\)有兩種三角形分割集\(\mathbf{T_1},\mathbf{T_2}\)，它們分別可以組合成\(P_1,P_2\)。把\(\mathbf{T_1},\mathbf{T_2}\)都疊放在\(P_3\)中，將得到更碎小的多邊形，可以把它們全部分割成三角形，得到分割集\(\mathbf{T_3}\)。顯然\(\mathbf{T_3}\)就是\(P_1,P_2\)的一個共同分解，所以\(P_1,P_2\)剖分相等，剖分相等的傳遞性成立。
一個比較簡單的剖分相等的例子是如下左圖的\(\triangle ABC\)和平行四邊形\(ABFD\)，由此三角形和平行四邊形可以在剖分相等的意義上相互替代。然而在試圖分割一些簡單的圖形時，就會發現剖分相等非常局限，很難發揮作用。書上舉了一個有趣的例子（如下右圖）,看似兩個同底等高的平行四邊形總可以剖分相等，但這個直覺論證中卻引入了阿基米德公理。該公理不成立時（本篇不使用連續公理），可以成功舉出反例。
反例來自下圖兩個同底等高的三角形（等價於對應平行四邊形的討論），其中\(\angle CAB,\angle DEB\)都為直角，線段\(AE=a\)總有\(a>ne\)（非阿基米德幾何）。如果\(\triangle ABC\)和\(\triangle ABD\)剖分相等，考察所有分解三角形的周長之和\(S\)。放在\(\triangle ABC\)里看，\(S\)不會超過\(e\)的有限倍（要用到三角形兩邊之和大於第三邊，以及三角形內部線段不大於三角形最長邊，請自行論證）。然而放在\(\triangle ABD\)里看，\(S\)一定大於\(AD\)，繼而\(S>a>ne\)，導出矛盾。
現在把剖分相等的概念拓展一下，如果兩個多邊形拼接上有限個相互合同的三角形后是剖分相等的，那么它們稱為拼補相等的。拼補相等也需要證明傳遞性，過程略顯繁瑣，但基本原理和剖分相等類似。顯然拼補相等包含了剖分相等（補上0個三角形），然而反直覺的是，拼補相等並不一定剖分相等。比如從下圖可知，同底等高的平行四邊形總是拼補相等的，從而同底等高的三角形也拼補相等，然而上圖的反例則說明它們可能不剖分相等。以下面積討論，一般都基於更寬泛的拼補相等。
在繼續討論多邊形面積的度量（量化和比較）之前，先來看一個基礎結論。首先對於任意三角形，它總可以和一個直角三角形拼補相等；以下左圖說明，任何直角\(\triangle ABC\)都與某個“股1”的直角\(\triangle ABD\)拼補相等。從而任意三角形都與某個“股1”的直角三角形拼補相等，繼而也有任意多邊形都與某個“股1”的直角三角形拼補相等。但要特別注意，這個結論只是說相等存在，並沒有說明唯一性和排它性，所以我們還不能把圖形面積的比較轉化為線段的比較。具體來說，還需要回答：底邊相同的兩個拼補相等的三角形，它們的高一定相等嗎？
2.2 面積的度量
為此我們要找到多邊形面積的唯一“度量”。考察\(\triangle ABC\)及其兩個高\(AD,BE\)（以上右圖），易證\(\triangle ADC\sim\triangle BEC\)，從而有\(AC\cdot BE=BC\cdot AD\)。也就是我們所熟知的結論：三角形任意底邊和其上的高的乘積是固定的，按照習慣可以把底高乘積的一半（線段）作為三角形面積的度量。對於一般多邊形（包括三角形），可以分解為若干三角形，多邊形面積的度量自然應當是這些小三角形面積的度量之和。但請注意，這里出現了線段的代數運算，而且需要證明：不同分割方法下得到的面積度量是一致的。
為了解決以上問題，需要給面積度量定好“方向”，直觀地說就是給圖形或平面規定正反面。我們知道一條直線把平面分成了兩部分，如果要區分這兩部分，需要給直線規定方向，以及從人的角度規定左側和右側，這樣的規定在直覺上就是給平面規定了正反面。而且在這樣的規定下，其它任何有向直線的左右測也可以被唯一指出，而不會出現矛盾（不協調），請自行證明。當人“俯瞰”正平面時（直線方向和左右側符合人體方向），逆時針描述的面積度量\(s=[ABC]\)（內點在有向線段\(AB,BC,CA\)左側），稱為正周向面積度量，反之\(-s=[ACB]\)稱為負周向面積度量。
下面看有向面積度量的性質。首先如下左圖，根據乘積的定義和分配率有\([ABC]=[ABD]+[ADC]\)，由此不難證明對\(\triangle ABC\)外任意點\(O\)（以下右圖），恆有式（1）成立。我們據此來考察任意\(\triangle ABC\)分割成的小三角形的正周向面積度量之和，取多邊形外一點\(O\)，度量之和又被分解為若干\([OXY]\)之和。如果\(XY\)在三角形邊上，它只被使用一次；而如果\(XY\)在三角形內部，它會被使用兩次且一定方向相反，所以和值相互抵消。也就是說最終的面積度量之和，總還是\([ABC]\)。對於多邊形的面積度量，自然是用分割后的三角形面積度量之和，如果有多種分割方法，類似剖分相等傳遞性的證明，也可知多邊形面積度量的唯一性。
\[[ABC]=[OAB]+[OBC]+[OCA]\tag{1}\]
最后，根據多邊形面積度量的唯一性，不難推斷出拼補相等（包含剖分相等）的兩個多邊形，其面積度量也是相等的。這時回到上面的問題，兩個同底\(a\)且拼補相等的三角形，由於面積度量相等\(ah/2=ah'/2\)，自然得到高相等\(h=h'\)。這就是說，任何多邊形對應的“股1”直角三角形（拼補相等）都是唯一的。如果兩個多邊形的面積度量相等，它們對應的“股1”直角三角形就一樣，所以這兩個多邊形又是拼補相等的。歐幾里得幾何中的直觀描述是：面積相等的兩個多邊形一定可以分成若干全等的三角形。