我們規定長方形的面積是長乘上寬，其它圖形的面積都必須有一個統一的度量方法，這樣才有辦法進行面積的比較，這個度量標准
就是矩形的面積。比如三角形的面積，相當於它所在的矩形的面積的一半，如圖
所以三角形的面積自然就是：底乘上高的面積的一半。
再比如平行四邊形的面積，如圖
它的面積都會等於一個矩形面積的一半，所以平行四邊形的面積自然就是：底乘上高。
對於規則圖形的周長就是各邊的長度相加，那圓的周長呢？圓的面積怎么用矩形來度量呢？
1）圓的周長
想要知道圓的周長，可以直接通過測量的方式，找幾個圓形的物體，分別量出它們的周長和直徑，並計算出周長和直徑的比值。通過試驗和統計，
我們可以知道，圓的周長總是直徑的三倍多一些，這個比值就是 $\pi$。
經過統計可以發現圓的周長和半徑的比值是確定的，但這個數值卻無法被精確得到，普通的測量方法，得到的比值精度是有限的，到目前為止，科學家
們還在致力於圓周率的計算。圓的周長計算公式為
$$l = 2\pi r$$
這個比值是通過不斷地統計和測量發現的，一般取 $3.14$，這樣就可以通過測量圓的半徑來直接計算得到圓的周長，而不用去測量圓的周長。
2）圓的面積
圓的周長已經知道，那圓的面積如何計算呢？或者說，圓的面積如何也采用統一的度量方式來得到？
已經知道三角形的面積計算公式，我們可以由三角形的面積得到圓的面積，將圓按直徑進行 $n$ 等分，每一份是一個相同的扇形，如下
當 $n\rightarrow +\infty$ 時，每一個小扇形就逼近於一個等腰三角形，如圖
所以，這個近似的小三角形的面積為
$$\Delta S = \frac{\pi r^{2}}{n^{2}}\sqrt{n^{2} - \pi^{2}}$$
所以圓的面積為
$$S = \lim_{n\rightarrow +\infty}n \Delta S = \lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{\pi r^{2}}{n}\sqrt{n^{2} - \pi^{2}} = \pi r^{2}$$
圓的面積本質也是用矩形的面積衡量的，需要用到逼近和極限的思想。
進一步得，我們可以得到一個扇形的面積計算公式，設一個扇形半徑為 $r$，弧長為 $l$，則
$$S = \pi r^{2} \cdot \frac{l}{2\pi r} = \frac{1}{2}rl$$
看起來很像三角形面積的計算公式。