為什么圓的面積 \( S = \pi r^2 \)? 怎么證？
證法可以有很多，但是那些廣為人知的「證法」多多少少都有問題。
小學的證法
切西瓜片？太不嚴密，不能令人信服：
人家圓弧明明是彎的，你憑什么說人家是直的？無論你分成多少份，那圓弧始終都是彎的，拼起來永遠都不可能成為平行四邊形。逼近也得講道理，不然對了也是碰巧對了。
要說逼近都是對的的話，用類似的邏輯，也可以證明 \(\pi=4\):
難道這也是對的？
大學的證法
積分？這就陷入了循環論證：
（上圖中有點小錯誤，懶得改了，反正意思大家都明白）
積分就要換元，換元就要回到導數，導數又要回到極限。要證極限 \(\lim_\limits{x \to 0}\frac{\ sin{x}}{x}=1\) 的值為 1, 就要利用不等式 \(\sin{x}<x<\tan{x}\) (\(x\) 是銳角) 導出不等式 \( \cos{x}<\frac{\sin{x}}{x}<1 \). 那么問題來了：為什么不等式 \(\sin{x}<x<\tan{x}\) 在銳角范圍內成立？教材說，你畫個圓，再畫個角，由面積關系可知，該不等式 顯~然~ 成立。
問題是，扇形 \(OPA\) 的面積為什么是 \(\frac{1}{2}x\)? 根據圓完美的對稱性可知，圓心角為 x 的扇形，其面積為整個圓的面積的 \(\frac{x}{2\pi}\) 倍，……
等等，整個圓的面積是多少來着？我現在在求的不就是這個嗎？這不又繞回來了？
避免循環論證
那么現在問題來了：循環論證？為什么會這樣？到底怎樣才能令人信服地推導出圓的面積公式？
要解決這個問題，先想一想，圓的面積公式到底反映了什么。從表面上看其實無非就兩點：
一、圓的面積和半徑的平方成正比
二、比例系數是圓周率 \(\pi\)
那么圓周率又是什么？圓周率就是直徑為單位長度的圓的周長。注意並不是我們算出了這個長度等於圓周率，而是定義了這個長度等於圓周率。所以說，圓的面積公式換個角度可以說反映的是圓的面積和周長（弧長）與半徑的關系，即：
\(S=\frac{1}{2}CR\)
知道了這一點，再來想一想極限 \(\lim_\limits{x \to 0}\frac{\sin{x}}{x}=1\) 的幾何意義是什么。這可以有兩種理解：
一、當角足夠小時，三角形的面積趨近於扇形的面積
二、當角足夠小時，弦長趨近於弧長
（那個不等式同理，也可以有面積和弧長兩種解釋）
之所以上面的方法出現了循環論證，就是因為使用了第一種和面積有關的解釋，而此時圓的面積是多少還不知道呢。由此看來，使用第二種解釋比較合適。
上面兩點都說明了弧長的地位（它是最基本的，因為 \(\pi\) 是用弧長直接定義的）。所以不妨從弧長的角度出發重新考慮一下怎么推出極限 \(\lim_\limits{x \to 0}\frac{sin{x}}{x}=1\).
如圖，作 \(\angle POA=x \in (0, \frac{\pi}{2})\), 則有 \(MA=\sin{x}\), \(\overset{\frown}{PA}=x\), \(TA=\tan{x}\). 延長 \(AM\) 交圓於 \(B\), 連接 \(OB\), \(BT\) 得到一個對稱的風箏形。
如果能證明原來那個不等式 \(\sin{x}<x<\tan{x}\), 即 \(MA<\overset{\frown}{PA}<TA\), 就可以推出所求極限。
又因為 \(MA<\overset{\frown}{PA}<TA \Leftrightarrow 2MA<2\overset{\frown}{PA}<2TA \),
所以只需證 \(AB<\overset{\frown}{AB}<TA+TB\).
\( AB<\overset{\frown}{AB} \) 這一點非常直觀，兩點之間線段最短；\( \overset{\frown}{AB}<TA+TB \) 這一點也不難看出，畢竟相對於弦 \(AB\), 弧 \(AB\) 和折線 \(A-T-B\) 都是凸的，而折線又在弧的外面，所以折線比弧要長。如果承認這兩點，極限就得證了。極限得證了，算出面積就不是問題了。
可能第二點（折線比弧長）有點牽強，但是承認這一點總比陷入循環論證要好得多。事實上古希臘的阿基米德就是靠這兩點嚴格證出的圓的面積公式：
（引自歐陽順湘翻譯的 Bill Casselman 的論文《阿基米德論圓的周長與面積》，以下貼上該文中對這兩個引理的說明）
定義弧長
那要是不承認這兩個關於曲線長度的引理呢？
如果不承認的話，那就無法在幾何直觀上比較曲線的長度（弧長）了。如果長度都不能比較，那么長度又有什么意義呢？
所以，如果不承認的話，就必須定義誰長誰短，換句話說，就必須嚴格定義曲線的長度。如果使用微積分中的曲線長度定義（折線長度的極限），那么再由此定義弧度后極限 \(\lim_\limits{x \to 0}\frac{sin{x}}{x}=1\) 就不證自明，推出圓的面積公式也就不能成為問題。而且如果這樣定義曲線的長度，不需要 \(\lim_\limits{x \to 0}\frac{sin{x}}{x}=1\) 這一結論即可證明圓的面積公式：
根據微積分中對曲線長度的定義，可得出光滑曲線的長度等於下面的定積分：
\( \int_{a}^{b}\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\mathrm{d}t \)
由此可得圓的周長為
\( c = 4\int_{0}^{r}\sqrt{1+(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\sqrt{r^2-x^2})^2}\;\mathrm{d}x \)
\( = 4\int_{0}^{r}\frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}\mathrm{d}x \)
由此可得，圓的周長與半徑成正比（符合幾何直觀），並定義單位圓的周長為 \(2\pi\). 由此得 \( c = 2\pi r \)
又因為圓的面積為 \( s = 4\int_{0}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\;\mathrm{d}x \)
所以要證的圓的面積公式等價於
\( 2s = rc \)
\( \Leftrightarrow 2\int_{0}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\;\mathrm{d}x=r\int_{0}^{r}\frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}\;\mathrm{d}x \)
\( \Leftrightarrow 2\int_{0}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\;\mathrm{d}x=\int_{0}^{r}\frac{r^2}{\sqrt{r^2-x^2}}\;\mathrm{d}x \)
\( \Leftrightarrow 2\int_{0}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\;\mathrm{d}x=\int_{0}^{r}\frac{(r^2-x^2)+x^2}{\sqrt{r^2-x^2}}\;\mathrm{d}x \)
\( \Leftrightarrow 2\int_{0}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\;\mathrm{d}x=\int_{0}^{r}\frac{r^2-x^2}{\sqrt{r^2-x^2}}\;\mathrm{d}x+\int_{0}^{r}\frac{x^2}{\sqrt{r^2-x^2}}\;\mathrm{d}x \)
\( \Leftrightarrow 2\int_{0}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\;\mathrm{d}x=\int_{0}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\;\mathrm{d}x-\int_{0}^{r}x\cdot\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}\;\mathrm{d}x \)
\( \Leftrightarrow \int_{0}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\;\mathrm{d}x=-\int_{0}^{r}x\cdot\;\mathrm{d}(\sqrt{r^2-x^2}) \)
\( \Leftrightarrow \int_{0}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\;\mathrm{d}x=-\left [(x\sqrt{r^2-x^2})\bigg\rvert _{0}^{r}-\int_{0}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\;\mathrm{d}x\right ] \)
\( \Leftrightarrow \int_{0}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\;\mathrm{d}x=-\left [0-\int_{0}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\;\mathrm{d}x\right ] \)
\( \Leftrightarrow \int_{0}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\;\mathrm{d}x=\int_{0}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\;\mathrm{d}x \)
得證。
不用積分
說來說去都是積分，能不能不用積分？能不能不用繁瑣的曲線長度定義？
當然可以。退而求其次，我們可以只定義圓弧的長度，並使這個定義能放到一般曲線長度定義的框架之內。而且上文提到，阿基米德就沒用積分（那個時代根本就沒有積分這種東西）。但他的方法有點麻煩（見上文提到的那篇論文）。這里結合劉徽的方法，給出一個更簡單的證明。雖然沒用積分，但也用到了極限的概念和性質。
（圖片來自 Wikipedia, 實在懶得畫圖了）
先定義圓弧長，求出周長。
作出圓的內接正 \( 6\cdot 2^n \) 邊形。易知該多邊形的周長隨 \(n\) 嚴格單增（圖中紅色和藍色的三角形的兩腰之和大於底邊長）。又因為內接正多邊形的周長一定小於任何一個外接正多邊形的周長（對折線應用阿基米德引理），所以由單調有界收斂定理知，\(n\) 趨近於無窮時，內接正多邊形的周長必收斂。定義內接正多邊形周長的極限為圓的周長。由此得圓的周長和半徑成正比。定義半徑為 \(\frac{1}{2}\) 的圓的周長為 \(\pi\).
再證圓內接正多邊形的面積收斂於圓的面積，然后利用已求出的周長和極限的惟一性求出圓的面積。
設半徑為 \(r\) 的圓的面積為 \(S\), 內接正 \( 6\cdot 2^n \) 邊形的邊長為 \(L_n\), 面積為 \(S_n\). 由定義知 \(\lim_\limits{n\to\infty}L_n=2\pi r\). 設 \(\Delta_n = S_n - S\). 作出該圓的內接正 \( 6\cdot 2^n \) 邊形和內接正 \( 6\cdot 2^{n+1} \) 邊形。考察 \(\Delta_{n+1} \) 和 \( \Delta_n \) 的關系。不妨設圖中綠色部分為圓內接正 \( 6\cdot 2^n \) 邊形。觀察圖中長方形 \(ABCD\) 可知
\( 6 \cdot 2^n \cdot S_{ABCD} > \Delta_n \)
\( 6 \cdot 2^n \cdot \frac{1}{2}S_{ABCD} > \frac{1}{2}\Delta_n \)
\( S_{n+1}-S_n > \frac{1}{2}\Delta_n \)
\( \Delta_n - \Delta_{n+1} > \frac{1}{2}\Delta_n \)
\( \Delta_{n+1} < \frac{1}{2}\Delta_n \)
由此得
\( \Delta_{m+p} < \frac{1}{2^p}\Delta_m \)
\( \Delta_{n+1} < \frac{1}{2^{n}}\Delta_1 \)
\( \Delta_n < \frac{1}{2^{n-1}}\Delta_1 \;\; (n \geqslant 2) \)
因為 \( \frac{1}{2^{n-1}}\Delta_1 \) 當 \(n\) 足夠大時可以任意小，所以 \( \Delta_n \) 可以任意小，所以 \( \lim_\limits{n\to\infty}S_n = S \).
又因為 \( S_n=\frac{1}{2}h\cdot L_n = \frac{1}{2}r(\cos{\frac{180^{\circ}}{2^n}})\cdot L_n \)
所以 \( \lim_\limits{n->\infty}S_n = \frac{1}{2}r\cdot 2\pi r = \pi r^2 \)
又由極限的惟一性知 \( S = \pi r^2 \).
證畢。
結論
圓的面積公式反映的是圓的面積與周長的關系，因此圓上的弧長不能是模糊不清的概念。
滿足以下兩個條件之一，便可嚴格證明圓的面積公式：
一、承認幾何直觀上比較弧長和直線與折線長度的兩個結論
二、嚴格定義弧長
最后扯淡
第一次發現教材里有這個循環論證並得到確認后我還是很震驚的。數學教材怎么會出這么大一個漏洞？雖然涉及幾何直觀的地方，因為幾何本身就不嚴謹，所以有一點不嚴格也無傷大雅，但是這么一個大問題在那里，教材一句話也不說就默認沒問題了，總有種蒙混過關的感覺。好歹加個注說明一下。
后來我一直在想，出現這種問題的根本原因是什么。我覺得主要有以下兩點：
一、這群編書的人根本就不重視幾何
二、基礎定理的證明都是抄來抄去，沒有人考慮其他的證明方法
其實 \(\lim_\limits{x \to 0}\frac{\sin{x}}{x}=1\) 這個式子說了一件什么事？無非就是「弦長趨近於弧長」。但是很多人不是這樣想的。他們去用定義推導正弦函數的導函數，然后發現需要求這個極限，就去（用代數的方法）求了，完全沒有去考慮這個極限的幾何意義是什么。結果推導的時候發現代數上需要那個不等式，不得不又回到幾何，再然后就出了循環論證這檔子事。不僅如此，他們從一開始求導的時候就把幾何給放到一邊去了。講真，從幾何的觀點來看，\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \sin x = \cos x \) 和 \( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \cos x = - \sin x \) 簡直不能再顯然了：
如圖，假設有一質點在單位圓上以 1 rad/s 做勻速圓周運動，座標（位置矢量）是 \( (\cos t, \sin t) \), 那么顯然，它的速度就是 \( (\cos (t+90^{\circ}), \sin (t+90^{\circ})) = (-\sin t, \cos t) \), 把 \(x\) 軸和 \(y\) 軸的分運動拿出來就得到了正弦和余弦的導數。
所以說幾何的東西就應該從幾何的角度來思考，傻傻地去硬算就容易走入歧途。