眾所周知，樹上背包如果上下界都卡緊了復雜度會是 \(O(nm)\)，下面來進行這一點的證明。
以下設節點總數為 \(n\)，背包容量最大是 \(m\)。
合並兩個泛化背包的復雜度為 \(O(s_1s_2)\)，其中 \(s_1\) 是第一個泛化背包的容量，\(s_2\) 是第二個背包的容量，但這個復雜度是在背包容量不設上限的情況下。
而在樹上背包中，容量是有上限的。做樹上背包的過程，實際上就是把 \(n\) 個節點合並到一個背包的過程，顯然，合並的總次數是 \(O(n)\) 的。
合並過程的時間復雜度顯然只跟 \(s_1,s_2,m\) 有關系，其中 \(s_1,s_2\le m\)，代表的含義是兩個背包分別的容量。不難發現，合並這兩個背包的復雜度應該是 \(O(\min(s_1+s_2,m)\times \min(s_1,s_2))\)，之所以有這兩個式子是因為我們首先枚舉最終的背包的容量是多大，然后枚舉較小背包放多少個。
在實際操作中，我們不需要比較哪個背包較小，我們只需要給下界設置一個合適的值，設 \(i\) 為枚舉的最終背包容量，\(j\) 是當前背包放多少個，只需要設置一個下界讓 \(i-j\) 滿足不超過另一個背包的值即可。不難發現這和直接枚舉較小背包容量是等價的。
我們對 \(s_1\) 和 \(s_2\) 的大小進行分類討論。
設 \(s_1=m,s_2=m\) 容易發現這樣的合並不會超過 \(\frac{n}{m}\) 次，這是因為兩邊背包容量都等於 \(m\)，說明有很多超過 \(m\) 個點被考慮進的背包內，因為我們的最終目標是把所有點合並成一個背包，而合並超過 \(m\) 個點的背包不超過 \(\frac{n}{m}\) 個，原命題得證。由此，這里的復雜度是 \(O(nm)\) 的。
設 \(s_1<m,s_2<m\) 設 \(s_1+s_2\ge m\) 這種情況下的合並次數不會超過 \(\frac{n}{m}\)，因為這相當於把大小小於 \(m\) 的子樹全部合並，最壞情況是合並到不存在大小小於 \(m\) 的子樹，由大小大於等於 \(m\) 的子樹個數不會超過 \(\frac{n}{m}\) 可以知道合並次數不會超過 \(\frac{n}{m}\) 由此可知復雜度不會超過 \(O(nm)\)。
設 \(s_1<m,s_2<m\) 設 \(s_1+s_2< m\) 我們考慮一下 \(m\) 個點合並成為一棵大小為 \(m\) 的樹，總的復雜度應該為 \(m^2\)，總共這樣的樹的個數不會超過 \(\frac{n}{m}\) 個，故最終的復雜度也應該為 \(O(nm)\)。由這段證明我們也可以得到所謂背包大小為 \(m\)，實際上是一個限制，其標明整個樹形背包的復雜度不會超過 \(O(n^2)\)，當然大多數情況下我們認為 \(m<n\)。
由此可以得出，樹上背包的復雜度為 \(O(nm)\)。