關於 min_25 篩的入門以及復雜度證明

min_25 篩是由 min_25 大佬使用后普遍推廣的一種新型算法，這個算法能在 \(O({n^{3\over 4}\over log~ n})\) 的復雜度內解決所有的積性函數前綴和求解問題（個人感覺套上素數定理證明的復雜度的話應該要把下面的 log 改成 ln ，不過也差不多啦~）

其實 min_25 篩的入門TXC 大佬的 blog 已經寫的非常棒了QVQ

所以搬博客的話鑒於博主太懶了就不干了...直接幫 TXC 大佬安利博客完事

這篇博客主要的目的是證明網上大多沒有的 min_25 篩的復雜度

所以你首先得學會 min_25 篩...

前置芝士

Min_25 篩

素數定理

proof

首先我們知道 min_25 篩做了兩件事：

1. 篩出一個所求函數的質數前綴和

2. 遞歸/循環 得到所求函數的前綴和

對於第一個部分和第二個部分我們發現都有一個枚舉質數的過程，那么我們需要先知道 n 范圍內的質數個數

這就需要素數定理了，素數定理指：在 n 以內的素數個數是 \(O({n\over ln~ n})\) 的（下面為了方便起見就用 \(log ~n\) 代替這里的 \(ln~n\) 了 ）

至於具體證明就不是本博客的任務了 QVQ

我們可以根據這一點結合埃氏篩法的復雜度得知：

我們在進行 min_25 中處理的 \(2\sqrt n\) 個數的函數前綴和時，一個數 x 被篩到過 \(O({\sqrt x\over log~ \sqrt x})\) 次

並且，無論是篩出所求函數關於 x 的質數前綴和還是全部的前綴和，都是這個次數（如果你寫過循環代替遞歸版的 min_25 的話，就更加清楚這是為什么了）

這里可以貼出我寫的一種 min_25 篩的版本（以篩 mu 的前綴和為例）：

inline int ID(Rg int x){
	return x<=sq?id1[x]:id2[n/x];
}
inline int calc(Rg int k,int j){
	return w[k]>=p[j]?h[k]-j+1:0;
}
inline void Min_25(ll n){
	sq=sqrt(n),m=0; int tot=0;
	for(tot=1;1ll*p[tot]*p[tot]<=n;++tot);
	
	for(Rg ll l=1;l<=n;l=w[m]+1){
		w[++m]=n/(n/l),
		h[m]=w[m]-1,Mu[m]=0,
		//這里的 h 指質數個數的前綴和  , Mu 指莫比烏斯函數的前綴和 
		if(w[m]<=sq) id1[w[m]]=m;
		else id2[w[m]]=m;
	}
	for(Rg int j=1;j<=tot;++j){
		for(Rg int i=m;i&&1ll*p[j]*p[j]<=w[i];--i)
			h[i]-=h[ID(w[i]/p[j])]-j+1;
	}
	for(Rg int j=tot;j;--j){
		for(Rg int i=m,k;i&&1ll*p[j]*p[j]<=w[i];--i)
			Mu[i]-=Mu[k]-calc(k,j+1);
	}
	for(Rg int i=m;i;--i) Mu[i]-=h[i]; 
}

不壓行真的好難受嚶嚶嚶...

我們發現上面篩出 mu 前綴和的時候兩個處理部分都是用了極其類似的雙重循環，（並且保證了答案是對的...），那么也就可以證明上面的說法了

所以我們就可以列出復雜度的式子：

\[O(Min\_25)=\sum_{x=1} ^{\sqrt n} O({\sqrt x\over log~ \sqrt x}) + \sum_{x=1} ^{\sqrt n} O({\sqrt {n\over x}\over log~ \sqrt {n\over x}}) \]

主定理一波就是：

\[\sum_{x=1} ^{\sqrt n} O({\sqrt {n\over x}\over log~ \sqrt {n\over x}}) \]

然后開始積分：

\[O\Big( \int_1^{\sqrt n} {\sqrt {n\over x}dx\over log~ \sqrt {n\over x}} \Big) \]

然后正常做法就難搞了，那么我們假一點，反正求的是大致復雜度，那么我們讓下面的表達式直接變為 \(log~ n\)（這里把常數直接略去） 這樣我們的任務就只剩下求上面表達式的積分了

至於這樣為什么可行？ 我們發現下面的表達式中有一個 log ，雖然我們讓下面的表達式都變大了，但在 log 后，不過是少個常數的問題

如果這里有疑問的話，我們也可以把下面的表達式改成最小的 \(log~\sqrt{n}={1\over2}log~\sqrt{n}\)，然后我們再把 \(1\over 2\) 忽略，這樣的結果和上面是一樣的...

於是乎原來的式子就變成了：

\[O\Big( {\int_1^{\sqrt n} \sqrt {n\over x}dx\over log~ n} \Big) \]

\[O\Big( {\sqrt n \int_1^{\sqrt n} x^{-{1\over2}} dx\over\ log~ n} \Big) \]

上面的那個積分已經是個多項式了：

\[O\Big( {\sqrt n ·( 2{\sqrt n}^{1\over2} )\over\ log~ n} \Big) \]

\[O\Big( { n^{1\over 2} · n^{1\over 4} \over\ log~ n} \Big) \]

\[O\Big( {n^{3\over 4} \over\ log~ n} \Big) \]

這樣整個 min_25 篩的復雜度就證明完畢啦~