這兒只是一個簡單說明/概括/總結。
原理見這：
https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/9185093.html
https://www.cnblogs.com/zhoushuyu/p/9187319.html
首先計算$$g(n,j)=\sum_if(i),\quad i是質數\ 或\ i的最小質因子嚴格大於P_j\g(n,j)=\begin{cases}g(n,j-1)&P_j^2\gt n\ g(n,j-1)-f(P_j)\left[g(\frac{n}{P_j},j-1)-\sum_{i=1}^{j-1}f(P_i)\right]&P_j^2\le n\end{cases}$$
類似埃氏篩法，\(P(n,j)\)就是篩\(j\)次后剩下的數的\(f\)和，再加上所有質數\(p\)的\(f(p)\)之和。
\(P_j^2>n\)時，這一次篩不會篩掉任何數，所以就是\(g(n,j-1)\)。
\(P_j^2\leq n\)時，考慮第\(j\)次篩掉了哪些數，也就是最小質因子是\(P_j\)的那些數。因為是積性函數，所以我們直接提出一個\(P_j\)（來保證它含\(P_j\)）。
要被篩掉的數在除掉一個\(P_j\)后的最小質因子一定仍大於等於\(P_j\)（否則在之前就被篩掉了），這符合\(g(\frac{n}{P_j},j-1)\)的定義。所以減掉一個\(f(P_j)g(\frac{n}{P_j},j-1)\)。但是\(g(\frac{n}{P_j},j-1)\)還包含所有質數的\(f(p)\)之和，所以再加上\(\sum_{i=1}^{j-1}f(P_i)\)。
那初值呢？先把所有合數的\(f\)的計算方式看做和質數一樣，以便對所有數的\(f\)值快速求個和，用它作為\(g(n,0)\)（注意這里不考慮\(1\)）。這樣雖然合數的\(f\)值是假的，但是\(g(n,|P|)\)還是能正確的表示所有質數\(p\)的\(f(p)\)之和。
現在考慮算上合數的\(f\)值求和。令$$S(n,j)=\sum_if(i),\quad i是質數\ 或\ i的最小質因子大於等於P_j$$
我們把\(S(n,j)\)分兩部分計算，一是所有質數的貢獻，二是所有合數的貢獻。對於\(f(1)\)最后單獨算下。
那么所有質數的貢獻可以用\(g\)表示，也就是\(g(n,j)-\sum_{i=1}^{j-1}f(P_i)\)（因為最小質因子要大於等於\(P_j\)，所以把那些減掉）。
對於合數，枚舉這個合數的最小質因子及其次數，用\(f\)是積性函數的性質直接算：$$S(n,j)=g(n,j)-\sum_{i=1}^{j-1}f(P_i)+\sum_{k=j}^{P_k^2\leq n}\sum_{e=1}^{P_k^{e+1}\leq n}\left[f(P_k^e)\times S(\frac{n}{P_k^e},k+1)+f(P_k^{e+1})\right]$$
\(f(P_k^{e+1})\)是\(S\)沒有考慮的那部分（就是\(P_k^{e+1}\)，質數的若干次冪這樣的合數，而\(S(..,k+1)\)就把這些數忽略掉了）。
答案就是\(S(n,1)+f(1)\)。
流程：
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把所有合數看做質數，求一遍和，得到初值\(g(n,0)\)。同時預處理一個\(f(P_i)\)的前綴和。
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用$$g(n,j)=\begin{cases}g(n,j-1)&P_j^2\gt n\ g(n,j-1)-f(P_j)\left[g(\frac{n}{P_j},j-1)-\sum_{i=1}^{j-1}f(P_i)\right]&P_j^2\le n\end{cases}$$
計算\(g(x,|P|)\)（把第二維滾動掉）。 -
用$$S(n,j)=g(n,j)-\sum_{i=1}^{j-1}f(P_i)+\sum_{k=j}^{P_k^2\leq n}\sum_{e=1}^{P_k^{e+1}\leq n}\left[f(P_k^e)\times S(\frac{n}{P_k^e},k+1)+f(P_k^{e+1})\right]$$
計算\(S(n,1)+f(1)\)。
計算\(S,g\)的復雜度都是\(O(\frac{n^{\frac34}}{\log n})\)。
對於其它積性函數，同\(g\)一樣計算。
實現上，篩\(sqrt(n)\)內的質數這一步往往可以省略，見這里。
例題：
LOJ6235 區間素數個數
BZOJ3944 Sum
LOJ6053 簡單的函數
以后要做的題：
https://cmxrynp.github.io/2018/12/03/Min-25篩學習筆記/
https://blog.csdn.net/koishi_514/article/details/79485534
https://blog.csdn.net/HOWARLI/article/details/80339931