【LOJ#6682】夢中的數論（min_25篩）

題面

LOJ

題解

注意題意是\(j|i\)並且\((j+k)|i\)，
不難發現\(j\)和\((j+k)\)可以任意取\(i\)的任意因數，且\(j\lt j+k\)，所以答案就是：

\[Ans=\sum_{i=1}^n {\sigma(i)\choose 2} \]

所以要做的就是篩\(\sigma^2(i)\)和\(\sigma(i)\)的前綴和。
\(\sigma(i)\)這個東西就是\(\displaystyle \sum_{i=1}^n \lfloor\frac{n}{i} \rfloor\)，可以用數論分塊在\(O(\sqrt n)\)的時間內求解。
然后這兩個東西都是積性函數，所以算\(\sigma^2\)可以直接\(min\_25\)篩，本質上是篩質數個數。
然后討論一下邊界：\(f(1)=1,f(p^k)=(k+1)^2\)。
轉移啥的就很顯然了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define ll long long
#define MAX 200200
#define MOD 998244353
ll n;int ans;
ll id1[MAX],id2[MAX],w[MAX],m,f[MAX];
int ID(ll x){return x<MAX?id1[x]:id2[n/x];}
bool zs[MAX];
int pri[MAX],tot;
void Sieve(int n)
{
	for(int i=2;i<=n;++i)
	{
		if(!zs[i])pri[++tot]=i;
		for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=n;++j)
		{
			zs[i*pri[j]]=true;
			if(i%pri[j]==0)break;
		}
	}
}
int Sqr(int x){return 1ll*x*x%MOD;}
int S(ll x,int y)
{
	if(x<=1||pri[y]>x)return 0;
	int k=ID(x),ret=4ll*(f[k]-y+1)%MOD;
	for(int i=y;i<=tot&&1ll*pri[i]*pri[i]<=x;++i)
	{
		ll t1=pri[i],t2=1ll*pri[i]*pri[i];
		for(int e=1;t2<=x;++e,t1=t2,t2*=pri[i])
			ret=(ret+1ll*Sqr(e+1)*S(x/t1,i+1)+Sqr(e+2))%MOD;
	}
	return ret;
}
int main()
{
	cin>>n;Sieve(sqrt(n));
	for(ll i=1,j;i<=n;i=j+1)
	{
		j=n/(n/i);ans=(ans+MOD-1ll*(n/i)%MOD*((j-i+1)%MOD)%MOD)%MOD;
		w[++m]=n/i;f[m]=(w[m]-1+MOD)%MOD;
		if(w[m]<MAX)id1[w[m]]=m;
		else id2[j]=m;
	}
	for(int j=1;j<=tot;++j)
		for(int i=1;i<=m&&1ll*pri[j]*pri[j]<=w[i];++i)
		{
			int k=ID(w[i]/pri[j]);
			f[i]=(f[i]+MOD-(f[k]+MOD-(j-1)%MOD)%MOD)%MOD;
		}
	ans=1ll*(ans+S(n,1)+1)*(MOD+1)/2%MOD;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}