問題rt，有很多解決方法。
先說結論，銳角三角形的概率是 \(\frac{1}{4}\)，鈍角三角形的概率是 \(\frac{3}{4}\) ，直角三角形的概率是 \(0\).
1. 微積分
如下圖所示：
取單位圓上任意兩點點A和B，若ABC三點要夠成銳角三角形，則點C必須在DE之間。
設弧AB對應的圓心角為\(\theta\)，易知\(\theta\)的概率密度為\(\frac{1}{\pi}\)，C點在AB對應的DE段間的概率是\(\frac{\theta}{2\pi}\)，因此三個點組成一個銳角三角形的概率為
\[\int_0^\pi \frac{1}{\pi}\cdot\frac{\theta}{2\pi}\mathrm{d}\theta = \frac{\theta ^ 2}{4\pi ^ 2}\bigg|_0^\pi = \frac{1}{4} \]
2. 幾何概型
易知，問題等價於將 \(2\pi\) 分成 \(\alpha, \beta, \gamma\)，且都小於\(\pi\)。即
\[\begin{eqnarray} \alpha + \beta + \gamma & = & 2\pi \\ \alpha & < & \pi \\ \beta & < & \pi \\ \gamma & < & \pi \\ \end{eqnarray} \]
而樣本空間是 \(0 < \alpha < 2\pi , 0 < \beta < 2\pi, 0 < \gamma < 2\pi, \alpha+\beta+\gamma = 2\pi\)，
計算一下面積比可得\(\frac{1}{4}\)