\(\mathbf{{\large {\color{Red} {歡迎到學科網下載資料學習}} } }\)【高分突破系列】 高二數學上學期同步知識點剖析精品講義！
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模塊導圖
知識剖析
定義
平面內與兩個定點\(F _ { 1 } , F _ { 2 }\)的距離之和等於常數(大於\(F _ { 1 }F _ { 2 }\))的點的軌跡稱為橢圓．這兩個定點稱為橢圓的焦點，兩焦點的距離稱為橢圓的焦距.
如圖：\(P\)是橢圓上一點，\(PF_{ 1 } + PF_{ 2 } = 2 a \gt F _ { 1 } F _ { 2 }\).
\({\color{Red}{解釋}}\)
\(P F _ { 1 } + P F _ { 2 } = 2 a \gt F _ { 1 } F _ { 2 } \Rightarrow\)點\(P\)的軌跡是以\(F _ { 1 } , F _ { 2 }\)為焦點的橢圓；
\(P F _ { 1 } + P F _ { 2 } = 2 a= F _ { 1 } F _ { 2 } \Rightarrow\)點\(P\)的軌跡是線段；
\(P F _ { 1 } + P F _ { 2 } = 2 a < F _ { 1 } F _ { 2 } \Rightarrow\)點\(P\)的軌跡是無軌跡.
幾何性質
一些常見結論
①通徑：過焦點且垂直於長軸的弦，其長度為\(\dfrac{2b^2}{a}\)；
②最大角，\(P\)是橢圓上一點，當運動到短軸端點時，\(∠F_1 PF_2\)為最大角；
③焦點三角形面積\(S_{∆PF_1 F_2 }=b^2 \tan\dfrac{∠F_1 PF_2}{2}\)；
④焦半徑\(PF_1=a+ex_0，PF_2=a-ex_0\)；
⑤橢圓\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} =1(a>b>0)\)的參數方程\(\begin{cases} { x = a \cos \theta } \\ { y = b \sin \theta } \end{cases} (θ為參數)\).
經典例題
【題型一】橢圓的定義
【典題1】設定點\(F _ { 1 } ( 0 , - 3 ) , F _ { 2 } ( 0 , 3 )\)動點\(P\)滿足條件\(| P F _ { 1 } | - a = \dfrac { 9 } { a } - | P F _ { 2 } | ( a \gt 0 )\)則點的軌跡是 ( )
A．橢圓 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．線段 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．不存在 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．橢圓或線段
【解析】由題意得\(| P F _ { 1 } | - a = \dfrac { 9 } { a } - | P F _ { 2 } | ( a \gt 0 )\)
所以\(| P F _ { 1 } | + | P F _ { 2 } | = a + \dfrac { 9 } { a } \geq 2 \sqrt { a \cdot \dfrac { 9 } { a } } = 6\)
當且僅當\(a = \dfrac { 9 } { a }\)時取等號，此時\(a=3\)，則\(| P F _ { 1 } | + | P F _ { 2 } | \geq 6\)
因為定點\(F _ { 1 } ( 0 , - 3 ) , F _ { 2 } ( 0 , 3 )\)，所以\(| F _ { 1 } F _ { 2 } | = 6\)
當\(| P F _ { 1 } | + | P F _ { 2 } | = 6\)時，點\(P\)的軌跡是線段\(F _ { 1 } F _ { 2 }\)；
當\(| P F _ { 1 } | + | P F _ { 2 } | > 6\)時，點\(P\)的軌跡是以\(F _ { 1 } ,F _ { 2 }\)為焦點的橢圓;
故選：D．
【點撥】
\(P F _ { 1 } + P F _ { 2 } = 2 a \gt F _ { 1 } F _ { 2 } \Rightarrow\)點\(P\)的軌跡是以\(F _ { 1 } , F _ { 2 }\)為焦點的橢圓；
\(P F _ { 1 } + P F _ { 2 } = 2 a= F _ { 1 } F _ { 2 } \Rightarrow\)點\(P\)的軌跡是線段；
\(P F _ { 1 } + P F _ { 2 } = 2 a < F _ { 1 } F _ { 2 } \Rightarrow\)點\(P\)的軌跡是無軌跡.
【典題2】如圖，點\(A\)是平面\(\alpha\)外一定點，過\(A\)作平面\(\alpha\)的斜線\(l\)，斜線\(l\)與平面\(\alpha\)所成角為\(50 ^ { \circ }\)．若點\(P\)在平面\(\alpha\)內運動，並使直線\(AP\)與\(l\)所成角為\(35 ^ { \circ }\)，則動點\(P\)的軌跡是( )
A．圓 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．橢圓 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．拋物線 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．雙曲線的一支
【解析】用垂直於錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當平面和圓錐的一條母線平行時，得到拋物線；當平面再傾斜一些就可以得到雙曲線．
故可知動點\(P\)的軌跡是橢圓的一部分．
故選：B．
鞏固練習
1 (★) 設為定點\(F _ { 1 } ( - 4 , 0 ) , F _ { 2 } ( 4 , 0 )\)，動點\(M\)滿足\(| M F _ { 1 } | + | M F _ { 2 } | = 8\)，則動點\(M\)的軌跡是( )
A．橢圓 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．直線 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．圓 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．線段
2 (★★) 在棱長為\(1\)的正方體\(A B C D - A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime } D ^ { \prime }\)中，若點\(P\)是棱上一點，則滿足\(| P A | + | P C ^ { \prime } | = 2\)的點\(P\)的個數為( )
A．\(4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(6\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(8\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(12\)
答案
1.\(B\)
2.\(B\)
【題型二】橢圓方程
【典題1】已知方程\(4 x ^ { 2 } + k y ^ { 2 } = 1\)的曲線是焦點在\(y\)軸上的橢圓，則實數\(k\)的取值范圍為\(\underline{\quad \quad }\) ．
【解析】橢圓方程\(4 x ^ { 2 } + k y ^ { 2 } = 1\)化為\(\dfrac { x ^ { 2 } } { \dfrac { 1 } { 4 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { \dfrac { 1 } { k } } = 1\), \({\color{Red}{(化為標准式)}}\)
由於橢圓的焦點在\(y\)軸上，則\(\dfrac { 1 } { k } \gt \dfrac { 1 } { 4 }\)，即\(0 \lt k \lt 4\)，
故答案為：\((0 ,4)\).
【點撥】
曲線方程\(C : \dfrac { x ^ { 2 } } { m } + \dfrac { y ^ { 2 } } { n } = 1\)
當\(m \gt 0 , n \gt 0\)且\(m \neq n\)時為橢圓(若\(m=n\)那就是圓了)；
當\(m \gt n \gt 0\)時，\(C\)為焦點在\(x\)軸上的橢圓且\(a ^ { 2 } = m\)；
當\(n\gt m \gt 0\)時，\(C\)為焦點在\(y\)軸上的橢圓且\(a ^ { 2 } = n\).
簡而言之：看分母大小.
【典題2】經過兩點\(A ( 0 , 2 ) , B ( \dfrac { 1 } { 2 } , \sqrt { 3 } )\)的橢圓的標准方程為\(\underline{\quad \quad }\).
【解析】由題意，設橢圓的方程為\(\dfrac { x ^ { 2 } } { m } + \dfrac { y ^ { 2 } } { n } = 1\)，\({\color{Red}{（待定系數法）}}\)
則\(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{4}{n}=1 \\ \dfrac{1}{4 m}+\dfrac{3}{n}=1 \end{array}\right.\)，解得\(\{ \begin{array} { l } { m = 1 } \\ { n = 4 } \end{array}\)．
所以橢圓的標准方程為\(x ^ { 2 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1\)．
【點撥】過兩個點的橢圓設為\(\dfrac { x ^ { 2 } } { m } + \dfrac { y ^ { 2 } } { n } = 1\)可避免對焦點在軸還是軸的分類討論.
【典題3】已知\(F ( \sqrt { 2 } , 0 )\)是橢圓\(E : \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的右焦點，且\(E\)過點\(( \sqrt { 2 } , 1 )\)，則橢圓\(E\)的標准方程為\(\underline{\quad \quad }\) ．
【解析】 \({\color{Red}{ 方法一}}\) 已知\(F ( \sqrt { 2 } , 0 )\)是橢圓\(E : \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的右焦點，且\(E\)過點\(( \sqrt { 2 } , 1 )\)，，
可得解得\(\left\{\begin{array}{l} a^{2}-b^{2}=c^{2}=2 \\ \dfrac{2}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}}=1 \end{array}\right.\)，解得\(a= 2 , b = \sqrt { 2 }\)，
\({\color{Red}{(這里求a,b可“猜”，由 \dfrac { 2 } { a ^ { 2 } } + \dfrac { 1 } { b ^ { 2 } } = 1可猜a^2 =3或4等，若解方程計算量較大)}}\)
所以所求橢圓方程為：\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1\)．
\({\color{Red}{方法二}}\) 依題意可知，橢圓的兩個焦點分別為\(F _ { 1 } ( - \sqrt { 2 } , 0 ) , F _ { 2 } ( \sqrt { 2 } , 0 )\)，
由橢圓的定義，可知\(2 a = E F _ { 1 } + E F _ { 2 } = \sqrt { ( \sqrt { 2 } + \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } + ( 1 - 0 ) ^ { 2 } + 1 } = 4 \Rightarrow a = 2\)，
又\(c = \sqrt { 2 }\)，所以\(b = \sqrt { a ^ { 2 } - c ^ { 2 } } = \sqrt { 2 }\);
所以所求橢圓方程為：\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1\)．
【點撥】方法二利用橢圓的定義求解，計算量較小.
鞏固練習
1 (★)已知方程\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 - k } + \dfrac { y ^ { 2 } } { k - 1 } = 1\)表示焦點在軸上的橢圓，則\(k\)的取值范圍是\(\underline{\quad \quad }\)．
2 (★)已知\(B,C\)是兩個定點，\(BC=6\)，且\(\triangle A B C\)的周長等於\(16\)，則頂點\(A\)的軌跡方程為 \(\underline{\quad \quad }\) ．
3 (★)焦點在\(x\)軸上，焦距等於\(4\)，且經過點\(P ( 3 , - 2 \sqrt { 6 } )\)的橢圓標准方程是\(\underline{\quad \quad }\) ．
參考答案
- \(( 1 , \dfrac { 5 } { 2 } )\)
- \(\dfrac { x ^ { 2 } } { 25 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 16 } = 1 ( y \neq 0 )\)或\(\dfrac { y ^ { 2 } } { 25 } + \dfrac { x ^ { 2 } } { 16 } = 1 ( x \neq 0 )\)
- \(\dfrac { x ^ { 2 } } { 36 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 32 } = 1\)
【題型三】橢圓的圖像及其性質
【典題1】(多選題)如圖，橢圓Ⅰ與Ⅱ有公共的左頂點和左焦點，且橢圓Ⅱ的右頂點為橢圓Ⅰ的中心．設橢圓Ⅰ與Ⅱ的長半軸長分別為\(a_1\)和\(a_2\)，半焦距分別為\(c_1\)和\(c_2\)，離心率分別為\(e_1\)和\(e_2\)，則下列結論正確的是( )
A．\(a_{ 1 } + c_{ 1 } \gt 2 ( a _ { 2 } + c _ { 2 } )\) \(\qquad \qquad\) B．\(a _ { 1 } - c _ { 1 } = a _ { 2 } - c _ { 2 }\) \(\qquad \qquad\) C．\(a _ { 1 } c _ { 2 } \gt a _ { 2 } c _ { 1 }\) \(\qquad \qquad\) D．\(e _ { 1 } = \dfrac { e _ { 2 } + 1 } { 2 }\)
E．橢圓Ⅱ比橢圓更扁
【解析】由題圖知\(a _ { 1 } = 2 a _ { 2 } , c _ { 1 } \gt 2 c _ { 2 }\)，
對於\(A\)，\(a _ { 1 } + c _ { 1 } \gt 2 ( a _ { 2 } + c _ { 2 } )\)正確；故\(A\)正確；
對於\(B\)，由圖可知\(a _ { 1 } - c _ { 1 } = a _ { 2 } - c _ { 2 }\)；故\(B\)正確；
對於\(C\)，\(c _ { 1 } \gt 2 c _ { 2 } \Rightarrow a _ { 2 } c _ { 1 } \gt 2 a _ { 2 } c _ { 2 } \Rightarrow a _ { 2 } c _ { 1 } \gt a _ { 1 } c_ { 2 }\)，
故\(C\)不正確；
對於\(D\)，由圖知\(c _ { 1 } = a _ { 2 } + c _ { 2 }\)，所以\(e _ { 1 } = \dfrac { c _ { 1 } } { a _ { 1 } } = \dfrac { a _ { 2 } + c _ { 2 } } { 2 a _ { 2 } }\)；\(\dfrac { e _ { 2 } + 1 } { 2 } = \dfrac { \dfrac { c _ { 2 } } { a _ { 2 } } + 1 } { 2 } = \dfrac { a _ { 2 } + c _ { 2 } } { 2 a _ { 2 } }\)；
所以\(e _ { 1 } = \dfrac { e _ { 2 } + 1 } { 2 }\)；故\(D\)正確；
對於\(E\)，\(e _ { 1 } = \dfrac { c _ { 1 } } { a _ { 1 } } \gt \dfrac { 2 c _ { 2 } } { 2 a _ { 2 } } = e _ { 2 }\)；
∴橢圓Ⅰ比橢圓Ⅱ更扁；故\(E\)不正確；
故正確的為\(ABD\)．
【點撥】橢圓的離心率越大就越扁.
【典題2】如圖，已知橢圓\(C\)的中心為原點為\(O\)，\(F ( - 2 \sqrt { 5 } , 0 )\)為\(C\)的左焦點，\(P\)為\(C\)上一點，滿足\(| O P | = | O F |\)，且\(| P F | = 4\)，則橢圓\(C\)的方程為\(\underline{\quad \quad }\) .
【解析】由題意可得\(c = 2 \sqrt { 5 }\)，設右焦點為\(F ^ { \prime }\)
由\(| O P | = | O F | = | O F ^ { \prime } |\)，易得\(P F\perp P F ^ { \prime }\)．
\({\color{Red}{(P在∆PFF'三角形外接圓上)}}\)
由勾股定理，得\(| P F ^ { \prime } | = \sqrt { F F ^ { \prime 2 } - P F ^ { 2 } } = \sqrt { ( 4 \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } - 4 ^ { 2 } } = 8\)，
由橢圓定義，得\(| P F | + | P F ^ { \prime } | = 2 a = 4 + 8 = 12\)，
從而得\(a=6\)，
於是\(b ^ { 2 } = a ^ { 2 } - c ^ { 2 } = 36 - ( 2 \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } = 16\)，
所以橢圓的方程為\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 36 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 16 } = 1\)．
【點撥】注意焦點三角形\(\triangle P F F ^ { \prime }\)的運用，常用到橢圓定義\(|PF_1 |+|PF_2 |=2a\).
【典題3】橢圓的離心率為\(\dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 }\)，\(F\)為橢圓的一個焦點，若橢圓上存在一點與\(F\)關於直線\(y=x+4\)對稱，則橢圓方程為\(\underline{\quad \quad }\).
【解析】由橢圓的離心率\(e = \dfrac { c } { a } = \dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 }\)，則\(a = \sqrt { 2 } c\)，
由\(b ^ { 2 } = a ^ { 2 } - c ^ { 2 } = c ^ { 2 }\)，則\(b=c\)，
不妨設橢圓方程為\(x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } = 2 b ^ { 2 }\)，
所以右焦點\(( - b , 0 )\)關於\(l : y = x + 4\)的對稱點設為\(( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } )\)，
則\(\begin{cases} { \dfrac { y ^ { \prime } } { x y + b } = - 1 } \\ { \dfrac { y ^ { \prime } } { 2 } = \dfrac { x - b } { 2 } + 4 } \end{cases}\)，解得\(\begin{cases} { x ^ { \prime } = - 4 } \\ { y ^ { \prime } = 4 - b } \end{cases} \)
由點\(( - 4 , 4 - b )\)在橢圓上，得\(16 + 2 ( 4 - b ) ^ { 2 } = 2 b ^ { 2 }\)，\(b=3\)，\(a = 3 \sqrt { 2 }\)，
由橢圓的對稱性可知橢圓的焦點坐標也可以在\(y\)軸上，
所以橢圓的標准方程為：\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 18 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1\)或\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 9 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 18 } = 1\)．
\({\color{Red}{(注意焦點的位置)}}\)
【點撥】點\(A ( x _ { 1 } , y _ { 1 } )\)與點\(A ^ { \prime } ( x _ { 2 } , y _ { 2 } )\)關於直線\(l\)對稱
\(\Rightarrow\)\(A A ^ { \prime }\)的中點\(( \dfrac { x _ { 1 } + x _ { 2 } } { 2 } , \dfrac { y _ { 1 } + y _ { 2 } } { 2 } )\)在直線\(l\)上，\(k _ { A A ^ { \prime } } \cdot k _ { I } = - 1\).
【典題4】已知橢圓\(C : \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的左右焦點分別為\(F _ { 1 } , F _ { 2 }\)，點\(A\)是橢圓上一點，線段\(A F _ { 1 }\)的垂直平分線與橢圓的一個交點為\(B\)，若\(\overrightarrow{AB} =3\overrightarrow{F_2B}\)，則橢圓\(C\)的離心率為( )
A．\(\dfrac { 1 } { 3 }\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(\dfrac { \sqrt{3} } { 3 }\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(\dfrac{2}{3}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(\dfrac { \sqrt { 6 } } { 3 }\)
【解析】如圖所示，
線段段\(A F _ { 1 }\)的垂直平分線與橢圓的一個交點為\(B\)，連接\(B F _ { 1 }\),
則\(| A B | = | B F _ { 1 } |\)．
因為\(\overrightarrow{AB} =3\overrightarrow{F_2B}\)，\(| B F _ { 1 } | + | B F _ { 2 } | = 2 a\)，
所以\(| B F _ { 2 } | = \dfrac { a } { 2 }\)，\(| A F _ { 2 } | = a\)
所以點\(A\)是橢圓短軸的一個端點，不妨設為上端點．
作\(B C \perp x\)軸，垂足為點\(C\)，則\(\triangle A O F _ { 2 } \sim \triangle B C F _ { 2 }\)，
所以\(\dfrac { | B C | } { | A O | } = \dfrac { | C F _ { 2 } | } { | O F _ { 2 } | } = \dfrac { | B F _ { 2 } | } { | A F _ { 2 } | } = \dfrac { 1 } { 2 }\)．
\({\color{Red}{(對\overrightarrow{AB} =3\overrightarrow{F_2B}用向量坐標法也可求出點B坐標) }}\)
所以\(y _ { B } = - \dfrac { 1 } { 2 } b\)，\(| C F _ { 2 } | = \dfrac { 1 } { 2 } c\)，所以\(B ( \dfrac { 3 c } { 2 } , - \dfrac { b } { 2 } )\)．
代入橢圓方程可得：\(\dfrac { 9 c ^ { 2 } } { 4 a ^ { 2 } } + \dfrac { 1 } { 4 } = 1\)，解得\(\dfrac { c ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } = \dfrac { 1 } { 3 }\)．
所以\(e = \dfrac { c } { a } = \dfrac { \sqrt { 3 } } { 3 }\)．
故選：\(B\)．
【點撥】處理類似\(\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{F_2 B}\)這樣的向量共線條件，可以用坐標法或相似三角形的方法處理.
【典題5】已知橢圓\(\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的左、右焦點分別為\(F _ { 1 } , F _ { 2 }\)，\(B,C\)分別為橢圓的上、下頂點，直線\(B F _ { 2 }\)與橢圓的另一個交點為\(D\)，若\(\cos \angle F _ { 1 } B F _ { 2 } = \dfrac { 7 } { 25 }\)，則直線\(CD\)的斜率為\(\underline{\quad \quad }\) .
【解析】在三角形\(\triangle F _ { 1 } B F _ { 2 }\)中，
由余弦定理可得\(\cos \angle F _ { 1 } B F _ { 2 } = \dfrac { 7 } { 25 }\Rightarrow \dfrac { a ^ { 2 } + a ^ { 2 } - 4 c ^ { 2 } } { 2 a ^ { 2 } } = \dfrac { 7 } { 25 }\)，解得\(\dfrac { c } { a } = \dfrac { 3 } { 5 }\)，
\({\color{Red}{(用二倍角公式求出cos∠OBF_2也可以) }}\)
可設\(a = 5 t ，c = 3 t\)，則\(b = \sqrt { a ^ { 2 } - c ^ { 2 } } = 4 t\)
設\(D ( m , n )\)，即有\(\dfrac { m ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { n ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1\)，
因為\(B ( 0 , b ) , C ( 0 , - b )\)，
所以\(k _ { B D } \cdot k _ { C D } = \dfrac { n - b } { m } \cdot \dfrac { n + b } { m } = \dfrac { n ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } = \dfrac { n ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } ( 1 - \dfrac { n ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } ) } = - \dfrac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } =- \dfrac {16}{25}\)
\({\color{Red}{(這是由一定理想到的：A,B是橢圓上關於原點對稱的兩點，P是橢圓上異於A,B的一點，且k _ { PA } , k _ { P B }存在，}}\)
\({\color{Red}{則 k _ { PA } \cdot k _ { P B } = e ^ { 2 } - 1 = - \dfrac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } .橢圓第三定義)}}\)
由\(k _ { B D } = k _ { B F _ { 2 } } = - \dfrac { b } { c } = - \dfrac { 4 } { 3 }\)，所以\(k _ { C D } = \dfrac { 12 } { 25 }\)．
【點撥】
①處理斜率問題常用到斜率公式\(k = \dfrac { y _ { 2 } - y _ { 1 } } { x _ { 2 } - x _ { 1 } }\)；
②本題另一思路：求出直線\(BF_2\)的方程---聯立方程求出點\(D\)---求\(k_{CD}\)，就是計算量大些.
鞏固練習
1 (★) 已知橢圓\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 2 m ^ { 2 } - n } + \dfrac { y ^ { 2 } } { n - m ^ { 2 } } = 1\)的焦點在\(x\)軸上，若橢圓的短軸長為\(4\)，則\(n\)的取值范圍是( )
A．\(( 12 , + \infty )\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\((4,12)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\((4,6)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(( 6 , + \infty )\)
2 (★) 橢圓\(x ^ { 2 } + m y ^ { 2 } = 1\)的長軸長是短軸長的兩倍，則\(m\)的值為\(\underline{\quad \quad }\)．
3 (★) 橢圓\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 9 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1\)的焦點為\(F _ { 1 } , F _ { 2 }\)，點\(P\)在橢圓上，若\(| P F _ { 2 } | = 2\)，則\(\angle F _ { 1 } P F _ { 2 }\)的大小為\(\underline{\quad \quad }\) ．
4 (★★)已知橢圓\(C : \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的左、右焦點為\(F _ { 1 } , F _ { 2 }\)，\(O\)為坐標原點\(M\)為橢圓上一點．\(F _ { 1 } M\)與\(y\)與軸交於一點\(N\)，\(| O M | = | O F _ { 2 } | = \sqrt { 3 } | O N |\)，則橢圓\(C\)的離心率為 \(\underline{\quad \quad }\)．
5 (★★)設點\(P\)為橢圓\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 49 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 24 } = 1\)上一點、\(F _ { 1 } , F _ { 2 }\)分別是橢圓的左、右焦點，\(G\)為\(\triangle P F _ { 1 } F _ { 2 }\)的重心，且\(P F _ { 1 } \perp P F _ { 2 }\)，那么\(\triangle GPF _ { 2 }\)的面積為 \(\underline{\quad \quad }\) ．
參考答案
1.\(A\)
2.\(4\)或\(\dfrac { 1 } { 4 }\)
3.\(120 ^ { \circ }\)
4.\(\sqrt { 3 } - 1\)
5.\(8\)
【題型四】最值問題
情況1 求離心率范圍
【典題1】如圖，已知橢圓\(C : \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的左，右焦點分別為\(F _ { 1 } , F _ { 2 }\)，焦距為\(2c\)，\(P\)是橢圓上一點(不在坐標軸上)，\(Q\)是\(\angle F _ { 1 } P F _ { 2 }\)的平分線與軸的交點，若\(| Q F _ { 2 } | = 2 | O Q |\)，則橢圓離心率的范圍是\(\underline{\quad \quad }\) ．
【解析】因為\(| Q F _ { 2 } | = 2 | O Q |\)，所以\(| Q F _ { 2 } | = \dfrac { 2 } { 3 } c ， | Q F _ { 1 } | = \dfrac { 4 } { 3 } c\)
因為\(PQ\)是\(\angle F _ { 1 } P F _ { 2 }\)的角平分線，所以\(\dfrac { | P F _ { 1 } | } { | P F_ { 2 } |} = \dfrac { | Q F _ { 1 } | } { | Q F _ { 2 } | } = \dfrac { \dfrac { 4 } { 3 } c } { \dfrac { 2 } { 3 }c } = 2\)
則\(| P F _ { 1 } | = 2 | P F _ { 2 } |\)，
由\(| P F _ { 1 } | + | P F _ { 2 } | = 3 | P F _ { 2 } | = 2 a\)，得\(| P F _ { 2 } | = \dfrac { 2 a } { 3 }\)
由\(a - c \lt \dfrac { 2 a } { 3 } \lt a + c\)，可得\(e = \dfrac { c } { a } \gt \dfrac { 1 } { 3 }\)，
由\(0 \lt e \lt 1\)，所以橢圓離心率的范圍是\(( \dfrac { 1 } { 3 } , 1 )\)．
【點撥】
①角平分線定理：如圖，在\(\triangle A B C\)中，\(AD\)是\(\angle B A C\)的角平分線，則\(\dfrac { AB } { B D } = \dfrac { A C } { C D }\).
②求離心率的范圍的一般思路：求出\(a,b,c\)任意兩個量比值的范圍得到關於離心率\(e\)的不等式，從而求出\(e\)的范圍，同時也要注意橢圓中\(0 \lt e \lt 1\).
【典題2】已知橢圓\(\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的左、右焦點分別為\(F _ { 1 } , F _ { 2 }\)，點\(P\)是橢圓上一點，直線\(F _ { 2 } M\)垂直於\(OP\)且交線段\(F _ { 1 } P\)於點\(M\)，\(| F _ { 1 } M | = 2 | M P |\)，則該橢圓的離心率的取值范圍是\(\underline{\quad \quad }\) .
【解析】設\(P ( m , n ) , | m | \lt a\)，
又\(F _ { 1 } ( - c , 0 ) , F _ { 2 } ( c , 0 )\)，所以\(\overrightarrow{F _ { 1 } P} = ( m + c , n ) ,\overrightarrow{ F _ { 1 } M }= ( x _ { M } + c , y _ { M } )\)，
因為\(| F _ { 1 } M | = 2 | M P |\)，所以\(\overrightarrow{F _ { 1 } M} = \dfrac { 2 } { 3 } \overrightarrow{ F _ { 1 } P }\)，所以\(x _ { M } = \dfrac { 2 m - c } { 3 } , y _ { M } = \dfrac { 2 n } { 3 }\)，
即\(M ( \dfrac { 2 m - c } { 3 } , \dfrac { 2 n } { 3 } )\)，所以\(\overrightarrow{F _ { 2 } M} = ( \dfrac { 2 m - 4 c } { 3 } , \dfrac { 2 n } { 3 } )\)
又\(\overrightarrow {OP}= ( m , n ) , O P \perp F _ { 2 } M\)，所以\(\overrightarrow {OP} \cdot \overrightarrow {F _ { 2 } M }= 0\)，
所以\(\dfrac { 2 m - 4 c } { 3 } \cdot m + \dfrac { 2 n } { 3 } \cdot n = 0\)，化為\(n ^ { 2 } = m ( 2 c - m )\)，
由\(P\)在橢圓上，可得\(n ^ { 2 } = b ^ { 2 } ( 1 - \dfrac { m ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } )\)，
可得\(m ( 2 c - m ) = b ^ { 2 } ( 1 - \dfrac { m ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } )\)，
化為\(\dfrac { c ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } m ^ { 2 } - 2 c m + a ^ { 2 } - c ^ { 2 } = 0\)，解得\(m = \dfrac { a ^ { 2 } } { c } - a\)或\(m = \dfrac { a ^ { 2 } } { c } + a\)(舍去)，
由\(\dfrac { a ^ { 2 } } { c } - a \lt a\)，可得\(2 c \gt a\)，即有\(e = \dfrac { c } { a } \gt \dfrac { 1 } { 2 }\)，
又\(0 \lt e \lt 1\)，所以\(\dfrac { 1 } { 2 } \lt e \lt 1\)．
【點撥】
①設\(P ( m , n )\)，由\(| F _ { 1 } M | = 2 | M P |\)怎么得到點\(M\)的坐標？解答中用向量坐標法；還可以用相似三角形的方法，過點\(M\)作\(M A \perp F _ { 1 } F _ { 2 }\)，過點\(P\)作\(PB\perp F _ { 1 } F _ { 2 }\)，易得\(\triangle M A F _ { 1 } \sim \triangle P F _ { 1 } B\)，由相似三角形的性質可得\(M ( \dfrac { 2 m - c } { 3 } , \dfrac { 2 n } { 3 } )\)，但本題向量法來得更直接些；
②題中出現\(A B \perp C D\)垂直一般怎么處理呢？
(1) 若要求線段長度，想到勾股定理或直角三角形其他性質；
(2) 想到直線斜率關系，得到\(k _ { A B } \cdot k _ { C D } = - 1 \Rightarrow \dfrac {y_B - y_A}{x_B-x_A} \cdot \dfrac { y _ { D } - y _ { C } } { x _ { D } - x _ { C } } = - 1 \Rightarrow\)
\(( x _ { B } - x _ { A } ) ( x _ { D } - x _ { C } ) + ( y _ { B } - y _ { A } ) ( y _ { D } - y _ { C } ) = 0\)，
但要注意兩直線的斜率是否都存在;
(3) 想到向量的關系，得到\(\overrightarrow { A B } \cdot\overrightarrow { C D }= 0 \Rightarrow ( x _ { B } - x _ { A } ) ( x _ { D } - x _ { C } ) + ( y _ { B } - y _ { A } ) ( y _ { D } - y _ { C } ) = 0\);
本題中處理垂直關系\(O P \perp F _ { 2 } M\)用的是向量坐標法.
情況2 幾何法求范圍
【典題1】在平面直角坐標系\(xoy\)中，\(P\)是橢圓\(\dfrac { y ^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { x ^ { 2 } } { 3 } = 1\)上的一個動點，點\(A ( 1 , 1 ) , B ( 0 , - 1 )\)，則\(|P A | + | P B |\)的最大值為 \(\underline{\quad \quad }\).
【解析】因為橢圓方程為\(\dfrac { y ^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { x ^ { 2 } } { 3 } = 1\)，
所以焦點坐標為\(B ( 0 , - 1 )\)和\(B ^ { \prime } ( 0 , 1 )\)，連接\(P B ^ { \prime } , A B ^ { \prime }\)
根據橢圓的定義，得\(| P B | + | P B ^ { \prime } | = 2 a = 4\)，
可得\(| P B | = 4 - | P B ^ { \prime } |\)，
因此\(| P A | + | P B | = | P A | + ( 4 - | P B ^ { \prime } | ) = 4 + ( | P A | - | P B ^ { \prime } | )\)，因為\(| P A | - | P B ^ { \prime } | \leq | A B ^ { \prime } |\)，所以\(| P A | + | P B | \leq 4 + | A B ^ { \prime } | = 4 + 1 = 5\)．
當且僅當點在延長線上時，等號成立．
綜上所述，可得\(|P A | + | P B |\)的最大值為\(5\)．
【點撥】
①本題主要是通過橢圓的定義得到\(|PB| + |PB^{\prime }|=4\)，把“求\(|P A | + | P B |\)的最大值”轉化為“求\(| P A| - | P B ^ { \prime } |\)的最大值”，當\(P , B ^ { \prime } , A\)三點共線取到最值；
②三點共線時就是取到最值，這常用於“求\(AB+AC\)的最小值”與“\(AB-AC\)的最大值”，本題若求\(PA+PB\)的最小值，則是\(AB=\sqrt 5\)；
③本題用函數法求解，設\(P ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )\)，則\(P A + P B = \sqrt { ( x _ { 0 } - 1 ) ^ { 2 } + y _ { 0 } ^ { 2 } } + \sqrt { x _ { 0 } ^ { 2 } + ( y _ { 0 } + 1 ) ^ { 2 } }\)，這樣再往下思考就比較難了！
情況3 函數法求范圍
【典題1】已知橢圓\(C:\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1\)的短軸長為\(2\)，焦距為\(2\sqrt 3\)、\(F_1,F_2\)分別是橢圓的左、右焦點，若點\(P\)為\(C\)上的任意一點，則\(\dfrac { 1 } { | P F _ { 1}| } + \dfrac { 1 } { | P F _ { 2 } | }\)的最小值為\(\underline{\quad \quad }\).
【解析】根據條件可得\(b=1,c=\sqrt 3\)，故\(a=2\)，
則根據橢圓定義可知\(| P F _ { 1 } | + | P F _ { 2 } | = 2 a = 4\)，
\({\color{Red}{方法一}}\)
所以\(\dfrac {1} {|PF_1| } + \dfrac {1} {|PF_2|} = \dfrac { 1 } { 4 } ( \dfrac { 1 } { |PF_1|} + \dfrac { 1 } { | P F _ { 2 } | } ) (|PF_{ 1 }| + | P F _ { 2 } | ) = \dfrac { 1 } { 4 } ( 2 + \dfrac { | P F _ { 2 } | } { |P F _ { 1 } | } + \dfrac { | P F _ { 1 } | } { | P F _ { 2 } | } ) \geq 1\)
當\(| P F _ { 1 } | = | P F _ { 2 } |\)，即\(P\)橢圓上下頂點時，取到等號，
所以\(\dfrac { 1 } { | P F _ { 1}| } + \dfrac { 1 } { | P F _ { 2 } | }\)的最小值為\(1\).
\({\color{Red}{方法二}}\) 設\(| P F _ { 1 } | = t\)，則\(| P F _ { 2 } | = 4 - t\)，
所以\(\dfrac { 1 } {| P F _ { 1 } |} + \dfrac { 1 } { | P F _ { 2 } | } = \dfrac { 4 } { | P F _ { 1 } | | P F _ { 2 }| } = \dfrac { 4 } { t ( 4 - t ) } = \dfrac { 4 } { - ( t - 2 ) ^ { 2 } + 4 }\)
令\(f ( t ) = \dfrac { 4 } { - ( t - 2 ) ^ { 2 } + 4 }\)，
因為\(a - c \leq | P F _ { 1 } | \leq a + c \Rightarrow 2 - \sqrt { 3 } \leq | P F _ { 1 } | \leq 2 + \sqrt { 3 }\)，
所以\(2 - \sqrt { 3 } \leq t \leq 2 + \sqrt { 3 }\)，所以\(1 \leq - ( t - 2 ) ^ { 2 } + 4 \leq 4\)，
所以\(1 \leq \dfrac { 4 } { - ( t - 2 ) ^ { 2 } + 4 } \leq 4\)，
所以\(\dfrac { 1 } { | P F _ { 1}| } + \dfrac { 1 } { | P F _ { 2 } | }\)的最小值為\(1\).
【點撥】
方法一是利用基本不等式\(a + b \geq 2 \sqrt { a b } ( a \gt 0 , b \gt 0 )\)，方法二是構造了函數進行求解，此時要注意自變量的取值范圍，函數問題謹記“優先考慮定義域”.
【典題2】已知\(F_1,F_2\)分別是橢圓\(C : \dfrac { x ^ { 2 } } { 8 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1\)的左、右焦點，點\(P\)是圓\(O: x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1\)上的一個動點，則\(| P F _ { 1 } | \cdot | P F _ { 2 } |\)的取值范圍是\(\underline{\quad \quad }\).
【解析】由橢圓方程可知\(F _ { 1 } ( - 2 , 0 ) , F _ { 2 } ( 2 , 0 )\)，
由\(P\)在圓\(O\)上，設\(P ( \cos \theta , \sin \theta )\)，
所以\(| P F _ { 1 } | \cdot | P F _ { 2 } | = \sqrt { ( \cos \theta + 2 ) ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta } \cdot \sqrt { ( \cos \theta - 2 ) ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta } = \sqrt { 25 - 16 \cos ^ { 2 } \theta }\)
所以\(| P F _ { 1 } | \cdot | P F _ { 2 } |\)的取值范圍\([3，5]\).
【點撥】
①\(P\)在圓\(( x - a ) ^ { 2 } + ( y - b ) ^ { 2 } = r ^ { 2 }\)上，可設\(P ( r \cos \theta + a , r \sin \theta + b )\);
②求最值時，線段可用兩點距離公式\(A B = \sqrt { ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) ^ { 2 } }\)表示出來;
③本題也可設\(P ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )\)，則\(| P F _ { 1 } | \cdot | P F _ { 2 } | = \sqrt { ( x _ { 0 } + 2 ) ^ { 2 } + y _ { 0 } ^ { 2 } } \cdot \sqrt { ( x _ { 0 } - 2 ) ^ { 2 } + y _ { 0 } ^ { 2 } } = \sqrt { 25 - 16 x _ { 0 } ^ { 2 } }\)此時要注意\(- 1 \leq x _ { 0 } \leq 1\)，則\(3 \leq \sqrt { 25 - 16 x _ { 0 } ^ { 2 } } \leq 5\).
【典題3】已知橢圓\(C : \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 16 } = 1 ( a \gt 4 )\)與圓\(O: x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 25\)恰有兩個公共點，若點\(P\)在\(C\)上，且位於第一或第四象限，點\(F\)為\(C\)的右焦點，則\(\overrightarrow {O P} \cdot \overrightarrow { P F}\)的取值范圍為\(\underline{\quad \quad }\) .
【解析】因為橢圓\(C\)與圓\(O\)恰有兩個公共點
所以圓\(O\)過\(C\)的長軸的兩個端點，即\(a=5 \)，
故\(C\)的方程為\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 25 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 16 } = 1\)．
設\(P ( m , n ) ( 0 \lt m \lt 5 )\)，則\(\dfrac { m ^ { 2 } } { 25 } + \dfrac { n ^ { 2 } } { 16 } = 1\)，則\(n ^ { 2 } = 16 - \dfrac { 16 } { 25 } m ^ { 2 }\)．
所以\(\overrightarrow {O P} \cdot \overrightarrow { P F}= ( m , n ) \cdot ( 3 - m , - n ) = 3 m - m ^ { 2 } - n ^ { 2 } = 3 m - m ^ { 2 } - ( 16 - \dfrac { 16 } { 25 } m ^ { 2 } )\)
\(= - \dfrac { 9 } { 25 } m ^ { 2 } + 3 m - 16 = - \dfrac { 9 } { 25 } ( m - \dfrac { 25 } { 6 } ) ^ { 2 } - \dfrac { 39 } { 4 }\)．
因為\(0 \lt m \lt 5\)，所以\(- 16 \lt - \dfrac { 9 } { 25 } ( m - \dfrac { 25 } { 6 } ) ^ { 2 } - \dfrac { 39 } { 4 } \leq - \dfrac { 39 } { 4 }\)，
所以\(\overrightarrow {O P} \cdot \overrightarrow { P F}\)的取值范圍為\(( - 16 , - \dfrac { 39 } { 4 } ]\)．
【點撥】
①在圓錐曲線中處理向量可用坐標表示，轉化為變量之間的關系，求\(\overrightarrow {O P} \cdot \overrightarrow { P F}\)的取值范圍變為求\(3 m - m ^ { 2 } - n ^ { 2 }\)的范圍；
②求\(\overrightarrow {O P} \cdot \overrightarrow { P F} =3 m - m ^ { 2 } - n ^ { 2 }\)的范圍，式子出現兩個變量\(m,n\)，注意到點\(P\)在橢圓上得\(\dfrac { m ^ { 2 } } { 25 } + \dfrac { n ^ { 2 } } { 16 } = 1\)，則\(3 m - m ^ { 2 } - n ^ { 2 } = - \dfrac { 9 } { 25 } m ^ { 2 } + 3 m - 16\)，消元達到兩變量化為一變量，進而用函數思想處理；
③求\(- \dfrac { 9 } { 25 } m ^ { 2 } + 3 m - 16\)的范圍，要注意自變量\(m\)的范圍\(0 \lt m \lt 5\).
鞏固練習
1 (★★)設橢圓\(C:\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的兩個焦點分別為\(F_1,F_2\)，若在\(x\)軸上方的\(C\)上存在兩個不同的點\(M,N\)滿足\(\angle F _ { 1 } M F _ { 2 } =\angle F _ { 1 } N F _ { 2 } = \dfrac { 2 \pi } { 3 }\)，則橢圓\(C\)離心率的取值范圍是( )
A．\(( 0 , \dfrac { \sqrt { 3 } } { 2 } ]\) \(\qquad \qquad\) B．\(( \dfrac { 1 } { 2 } , 1 )\) \(\qquad \qquad\) C．\(( \dfrac { \sqrt { 3 } } { 2 } , 1 )\) \(\qquad \qquad\)D．\(( \dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 } , \dfrac { \sqrt { 3 } } { 2 } )\)
2 (★★) 點\(P\)為橢圓\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 25 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 16 } = 1\)上一點，\(M\)、\(N\)分別是圓\(( x + 3 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4\)和\(( x - 3 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1\)上的動點，則\(PM+PN\)的取值范圍是\(\underline{\quad \quad }\)．
3 (★★) 已知\(F\)是橢圓\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 2 } + y ^ { 2 } = 1\)的右焦點，\(P\)是橢圓上一動點，\(A(0,\dfrac {1}{2} )\)，則\(\triangle APF\)周長的最大值為\(\underline{\quad \quad }\).
4 (★★★) 已知橢圓\(C: \dfrac { x ^ { 2 } } { 16 } + \dfrac { 3 y ^ { 2 } } { 16 } = 1\)，\(M\)為橢圓\(C\)上的一個動點，以\(M\)為圓心，\(2\)為半徑作圓為圓\(M\)，\(OP,OQ\)為圓\(M\)的兩條切線，\(P,Q\)為切點，則\(\angle POQ\)的取值范圍是\(\underline{\quad \quad }\)
5 (★★★) 已知橢圓\(C: \dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1\)的右焦點為\(F\)，過原點\(O\)的直線與橢圓交於\(A,B\)兩點，則\(\dfrac { 1 } { | A F | } + \dfrac { 1 } { | B F | }\)的取值范圍為 \(\underline{\quad \quad }\) .
6 (★★★) 已知橢圓\(\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)上一點\(A\)關於原點的對稱點為\(B\)，\(F\)為其右焦點，若\(A F\perp B F\)，設\(\angle A B F = \alpha\)，且\(\alpha \in [ \dfrac { \pi } { 12 } , \dfrac { \pi } { 6 } ]\)，則該橢圓離心率的取值范圍為\(\underline{\quad \quad }\)．
7 (★★) 已知橢圓\(\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的左焦點為\(F\)，\(A(a,0)\)，\(B(0,b)\)，點\(M\)滿足\(\overrightarrow {BM} = 2\overrightarrow {MA}\)，則直線\(FM\)的斜率取值范圍是\(\underline{\quad \quad }\) ．
8 (★★★) 已知橢圓\(C:\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的左、右焦點分別為\(F_1,F_2\)，點\(P ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , Q ( - x _ { 1 } , - y _ { 1 } )\)在橢圓上，其中\(x _ { 1 } \gt 0 , y _ { 1 } \gt 0\)，若\(| P Q | = 2 | O F _ { 2 } |\)，\(\dfrac {|Q F _ { 1 }| } {| P F_ { 1 } |} \geq \dfrac { \sqrt { 3 } } { 3 }\)，則橢圓的離心率的取值范圍為\(\underline{\quad \quad }\) ．
參考答案
- \(C\)
- \([7,13]\)
- \(\sqrt { 5 } + 2 \sqrt { 2 }\)
- \([ \dfrac { \pi } { 3 } , \dfrac { 2 \pi } { 3 } ]\)
- \([ 1 , \dfrac { 4 } { 3 } ]\)
- \([ \sqrt { 3 } - 1 , \dfrac { \sqrt { 6 } } { 3 } ]\)
- \((0,\dfrac {1}{2})\)
- \(( \dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 } , \sqrt { 3 } - 1 ]\)