\(\mathbf{{\large {\color{Red} {歡迎到學科網下載資料學習}} } }\)【高分突破系列】高一數學下學期同步知識點剖析精品講義！
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必修第二冊同步拔高，難度3顆星
模塊導圖
知識剖析
平面向量的概念
1 向量的概念
既有大小又有方向的量，常用\(\overrightarrow{A B}\)，\(\vec{a}\)等表示；向量\(\overrightarrow{A B}\) 的長度是向量的模，記作\(|\overrightarrow{A B}|\).
\({\color{Red}{PS}}\) 平面向量在平面內是可以任意移動的.
2 常見向量的概念
\({\color{Red}{PS}}\)
\((1)\) 相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；
\((2)\) 平行向量無傳遞性！(因為有\(\overrightarrow{0}\))；
\((3)\) 因為平面向量在平面內是可以任意移動的，與線段不一樣，所以向量沒有固定的起點和終點，兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念.
圖一線段\(AB\)和\(CD\), 在①中是\(AB//CD\)，在②中是\(AB、CD\)共線；
(圖一)
圖二向量\(\overrightarrow{A B}\)和\(\overrightarrow{CD}\), 對於向量來說共線與平行是同一概念，故①和②的情況是一樣.
(圖二)
平面向量的運算
1 向量的加法
① 向量加法的三角形法則
已知向量非零向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)在平面內取任意一點\(A\), 作\(\overrightarrow{A B}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{B C}=\vec{b}\)，則向量\(\overrightarrow{AC}\)叫做\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)的和，記作\(\vec{a}+\vec{b}\)，即\(\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}\).(相當於”首尾相接”)
② 向量加法的平行四邊形法則
若\(\overrightarrow{A B}=\vec{a}\)， \(\overrightarrow{A D}=\vec{b}\)，則向量\(\overrightarrow{AC}\)叫做 \(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)的和，即\(\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A C}\)；
作圖
(\(ABCD\)是平行四邊形)
2向量的減法
① 向量減法的幾何意義
已知向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\), 在平面內任取一點\(O\)，作\(\overrightarrow{O A}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{O B}=\vec{b}\), 則\(\overrightarrow{B A}=\vec{a}-\vec{b}\)，
即\(\vec{a}-\vec{b}\)可以表示向量\(\vec{b}\)的終點指向向量$\vec{a} $的終點的向量.
② 一般地 , 我們有
\({\LARGE {|\vec{a}+\vec{b}| \leq|\vec{a}|+|\vec{b}|}} \\\)
當且僅當\(\vec{a}\) ,\(\vec{b}\)方向相同時等號成立.
③ 向量的加減法滿足交換律和結合律
④ 若\(\overrightarrow{O C}=x \overrightarrow{O A}+y \overrightarrow{O B}\)
(1) 如圖一，若\(A ,B ,C\)三點共線，則\(x+y=1\)；
(2) 如圖二，若點\(O\)和點\(C\)在\(AB\)同側，則\(x+y<1\)；
(3) 如圖三，若點\(O\)和點\(C\)在\(AB\)異側，則\(x+y>1\)；
特殊的，在三角形\(∆ABC\)中，點\(D\)是\(BC\)的中點，則\(\overrightarrow{A D}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A C}\).
3 向量數乘運算
一般地，我們規定實數\(λ\)與向量 \(\vec{a}\)的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作\(\lambda \vec{a}\)；
它的長度與方向規定如下：
(1) \(|\lambda \vec{a}|=|\lambda||\vec{a}|\)；
(2) 當\(λ>0\)時 ,\(\lambda \vec{a}\)的方向與\(\vec{a}\)的方向相同；
當\(λ<0\)時，\(\lambda \vec{a}\)的方向與\(\vec{a}\)方向相反；
4 兩個向量共線
共線定理 非零向量\(\vec{a}\)與向量\(\vec{b}\)共線\(⇔\)有且只有一個實數\(λ\)，使得\(\vec{b}=\lambda \vec{a}\).
當\(λ>0\)時 ,\(\lambda \vec{a}\)的方向與\(\vec{a}\)的方向相同；
當\(λ<0\) 時，\(\lambda \vec{a}\)的方向與\(\vec{a}\)方向相反；
當\(λ=0\) 時，\(\lambda \vec{a}=\overrightarrow{0}\).
數量積的概念
1 概念
如果兩個非零向量\(\vec{a}\) ,\(\vec{b}\)，它們的夾角為\(θ\)，我們把數量\(|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta\)叫做\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)的數量積(或內積)，記作:\(\vec{a} \cdot \vec{b}\)，即\(\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta\).
規定：零向量與任一向量的數量積是\(0\).
PS 數量積是一個實數，不再是一個向量.
2 投影
向量\(\vec{b}\)在向量\(\vec{a}\)上的投影：\(|\vec{b}| \cos \theta\)，它是一個實數，但不一定大於\(0\).
3 運算法則
對於向量\(\vec{a}\) ,\(\vec{b}\) ,\(\vec{c}\)和實數\(λ\)，有
(1)\(\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{a}\)
(2)\((\lambda \vec{a}) \cdot \vec{b}=\lambda(\vec{a} \cdot \vec{b})=\vec{a} \cdot(\lambda \vec{b})\)
(3)\((\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{c}=\vec{a} \cdot \vec{c}+\vec{b} \cdot \vec{c}\)
但是\((\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}=\vec{a}(\vec{b} \cdot \vec{c})\)不一定成立.
(當向量\(\vec{a}\)，\(\vec{c}\)不共線時，向量\(\vec{a}(\vec{b} \cdot \vec{c})\)與向量\((\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}\)肯定不共線，那怎么可能相等呢)
即向量的數量積滿足交換律，分配率，但不滿足結合律.
經典例題
【題型一】向量的相關概念
【典題1】 給出下列命題
① 向量\(\overrightarrow{AB}\)與\(\overrightarrow{CD}\)是共線向量，則\(A ,B ,C ,D\)四點必在一直線上；
② 若\(\vec{a}\) ,\(\vec{b}\)滿足\(|\vec{a}|>|\vec{b}|\)且\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)同向，則\(\vec{a}> \vec{b}\)；
③ 若\(\vec{a}=\vec{b}\), \(\vec{b}=\vec{c}\)，則\(\vec{a}=\vec{c}\)；
④ 若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合；
⑤ 若\(|\vec{a}|=|\vec{b}|\), 則\(\vec{a}=\vec{b}\)；
⑥ 若\(\vec{a} || \vec{b}\)，\(\vec{b}|| \vec{c}\)，則\(\vec{a}|| \vec{c}\).
其中正確命題數是哪些？
【解析】 對於①，對於向量來說，共線向量即是平行向量，所以向量\(\overrightarrow{AB}\)與\(\overrightarrow{CD}\)是共線向量，\(A、B、C、D\)四點不一定在一直線上，①錯誤；
對於②，向量是有方向的量，不能比較大小，其模才能比較大小，故②錯誤；
對於③，若\(\vec{a}=\vec{b}\), \(\vec{b}=\vec{c}\), 則\(\vec{a}=\vec{c}\)成立，故③對；
對於④，向量是可以平移的矢量，當兩個向量相等時，它們的起點和終點不一定相同，故④錯誤；
對於⑤，\(|\vec{a}|=|\vec{b}|\)只說明兩個向量的模相等，要\(\vec{a}=\vec{b}\)還需要向量方向相同；
對於⑥，當\(\vec{b}\)為零向量時不成立，零向量與任何向量都平行.
【點撥】
① 向量是可以平移的矢量，沒有固定的起點，共線向量即是平行向量 , 與線段、直線不一樣；
② 零向量與任何向量都平行，在判斷向量關系時要注意零向量的特殊情況.
【題型二】共線定理
【典題1】 點\(C\)在直線\(AB\)上，且\(|\overrightarrow{A C}|=\dfrac{2}{3}|\overrightarrow{C B}|\)，若\(\overrightarrow{A B}=\lambda \overrightarrow{B C}\)，則\(λ=\)\(\underline{\quad \quad}\).
【解析】\({\color{Red}{(點C在直線AB上，注意分類討論)}}\)
\((1)\)當點\(C\)在線段\(AB\)上，如圖所示；
\(\because|A C|=\dfrac{2}{3}|B C|\)， \(\therefore|A B|=\dfrac{5}{3}|B C|\) ；
若\(\overrightarrow{A B}=\lambda \overrightarrow{B C}\)，則\(\lambda=-\dfrac{5}{3}\)；
\((2)\)當點\(C\)在線段\(BA\)延長線上，如圖所示；
\(\because|A C|=\dfrac{2}{3}|B C|\)， \(\therefore|A B|=3|B C|\)；
若\(\overrightarrow{A B}=\lambda \overrightarrow{B C}\)，則\(λ=-3\)；
【點撥】體會下線段比與向量比之間的相互轉化，若\(\overrightarrow{A B}=\lambda \overrightarrow{B C}\)，則\(\lambda=\dfrac{|A B|}{|B C|}\)或\(\lambda=-\dfrac{|A B|}{|B C|}\).
【題型三】向量的加減法
【典題1】 若\(|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|\)，則\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)的夾角為________.
【解析】 構造平行四邊形\(ABCD\)，\(|\vec{a}+\vec{b}|\),\(|\vec{a}-\vec{b}|\)分別對角線\(BD\) ,\(AC\)，因為\(|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|\)，所以平行四邊形\(ABCD\)的對角線相等，即\(ABCD\)是矩形，故\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)的的夾角為\(90°\).
【典題2】 在\(△ABC\)中，\(D\)，\(E\)分別為邊\(AB\)，\(AC\)的中點，\(BE\)與\(CD\)交於點\(P\)，設\(\overrightarrow{A B}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{A C}=\vec{b}\)，則\(\overrightarrow{A P}=\) ( )
A．\(\dfrac{1}{3} \vec{a}+\dfrac{1}{3} \vec{b}\)
B．\(\dfrac{2}{3} \vec{a}+\dfrac{2}{3} \vec{b}\)
C．\(\dfrac{3}{4} \vec{a}+\dfrac{3}{4} \vec{b}\)
D．\(\dfrac{1}{6} \vec{a}+\dfrac{1}{6} \vec{b}\)
【解析】 \({\color{Red}{方法1 首尾相接法}}\)
\(\begin{aligned} &\overrightarrow{A P}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B P} \\ &=\overrightarrow{A B}+\lambda \overrightarrow{B E}=\overrightarrow{A B}+\lambda(\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A E}) \\ &=\overrightarrow{A B}+\lambda\left(\overrightarrow{B A}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A C}\right) \\ &=(1-\lambda) \overrightarrow{A B}+\dfrac{\lambda}{2} \overrightarrow{A C}=(1-\lambda) \vec{a}+\dfrac{\lambda}{2} \vec{b}, \text { 其中 } \lambda=\dfrac{B P}{B E} \end{aligned}\)
\({\color{Red}{(利用平幾知識點求出λ)}}\)
如圖過點\(E\)作\(EF//AB\),
\(∵E、D\)是中點，\(\therefore E F=\dfrac{1}{2} A D=\dfrac{1}{2} B D\)
\(\therefore \dfrac{B P}{B E}=\dfrac{2}{3}\) 即\(\lambda=\dfrac{2}{3}\)
\(\therefore \overrightarrow{A P}=(1-\lambda) \vec{a}+\dfrac{\lambda}{2} \vec{b}=\dfrac{1}{3} \vec{a}+\dfrac{1}{3} \vec{b}\)
\({\color{Red}{方法2 構造平行四邊形法}}\)
過點\(P\)分別作\(PH//AB\) ,\(PG//AC\) , 則四邊形\(AGPH\)是平行四邊形，
則\(\overrightarrow{A P}=\overrightarrow{A G}+\overrightarrow{A H}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A C}=x \vec{a}+y \vec{b}\)，
其中\(x=\dfrac{A G}{A B}\)，\(y=\dfrac{A H}{A C}\)
\({\color{Red}{(問題化為線段比值問題)}}\)
由方法1可得\(\dfrac{B P}{B E}=\dfrac{2}{3}\)
\(\because x=\dfrac{A G}{A B}=\dfrac{P E}{B E}=\dfrac{B E-B P}{B E}\)\(=1-\dfrac{B P}{B E}=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}\)，
同理可得\(y=\dfrac{1}{3}\)
\(\therefore \overrightarrow{A P}=\dfrac{1}{3} \vec{a}+\dfrac{1}{3} \vec{b}\).
\({\color{Red}{方法3}}\) \(△ABC\)中，\(D ,E\)分別為邊\(AB ,AC\)的中點，
\(\therefore \overrightarrow{A D}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A E}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A C}\)．
\(∵B ,P ,E\)三點共線，
設\(\overrightarrow{A P}=m \overrightarrow{A B}+(1-m) \overrightarrow{A E}\)\(=m \overrightarrow{A B}+\dfrac{1}{2}(1-m) \overrightarrow{A C}\)，
\(∵C ,P ,D\)三點共線，
設\(\overrightarrow{A P}=n \overrightarrow{A D}+(1-n) \overrightarrow{A C}\)\(=\dfrac{1}{2} n \overrightarrow{A B}+(1-n) \overrightarrow{A C}\)，
\(\therefore\left\{\begin{array}{l} m=\dfrac{1}{2} n \\ \dfrac{1}{2}(1-m)=1-n \end{array}\right.\)，解得\(\left\{\begin{array}{l} m=\dfrac{1}{3} \\ n=\dfrac{2}{3} \end{array}\right.\)，
\(\therefore \overrightarrow{A P}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{A B}+\dfrac{1}{3} \overrightarrow{A C}=\dfrac{1}{3} \vec{a}+\dfrac{1}{3} \vec{b}\)．
故選：\(A\)．
【點撥】
① 本題是用向量\(\overrightarrow{A B}=\vec{a}, \overrightarrow{A C}=\vec{b}\)表示\(\overrightarrow{A P}\)；
② 方法1是利用三角形法則，“首尾相接法” , 思路是：先找到一個含\(AP\)的封閉圖形，比如\(∆ABP\) , 則有\(\overrightarrow{A P}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B P}\)，接着\(\overrightarrow{B P}\)盡量向向量\(\overrightarrow{A B}\)，\(\overrightarrow{A C}\)湊攏，得到\(\overrightarrow{A P}=(1-\lambda) \vec{a}+\dfrac{\lambda}{2} \vec{b}\)后就只需要求出\(\lambda=\dfrac{B P}{B E}\)就行；
③ 方法2是構造平行四邊形法：構造鄰邊在\(AB ,AC\)所在的直線上，\(AP\)為對角線的平行四邊形，再利用平行線成比例的性質與其他的幾何知識求解便可；
④ 方法3是使用向量性質：在\(∆ABC\)中，點\(D\)在邊\(BD\)上，則存在\(x\)，使得\(\overrightarrow{A D}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A C}\)，其中\(x+y=1\).
【典題3】 點\(O\)在\(△ABC\)的內部，且滿足\(\overrightarrow{O A}+2 \overrightarrow{O B}+4 \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}\)，則\(△ABC\)的面積與\(△AOC\)的面積之比是\(\underline{\quad \quad}\).
【解析】如圖所示，作\(OD=4OC\)，以\(OA，OD\)為鄰邊作平行四邊形\(OAED\)，連接\(OE\)交\(AC\)於點\(N\).
\(∵\)滿足\(\overrightarrow{O A}+2 \overrightarrow{O B}+4 \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}\)，
\(\therefore \overrightarrow{O A}+4 \overrightarrow{O C}=-2 \overrightarrow{O B}\)，
由\(\triangle O C N \sim \triangle E A M\)可得\(\dfrac{O N}{N E}=\dfrac{O C}{A E}=\dfrac{1}{4}\)，
\({\color{Red}{(利用平行四邊形性質，注意圖象中的8字型，A字型)}}\)
\(\therefore|O N|=\dfrac{1}{5}|O E|=\dfrac{2}{5}|O B|\)，\(\therefore|O N|=\dfrac{2}{7}|B N|\)
\(∴△ABC\)的面積與\(△AOC\)的面積之比是\(7:2\)．
\({\color{Red}{(利用等高，三角形面積的比等於底的比，\dfrac{S_{\triangle A B C}}{S_{\triangle A O C}}=\dfrac{S_{\triangle A B N}+S_{\triangle C B N}}{S_{\triangle A O N}+S_{\triangle C O N}}=\dfrac{\dfrac{7}{2} S_{\triangle A O N}+\dfrac{7}{2} S_{\triangle C O N}}{S_{\triangle A O N}+S_{\triangle C O N}}=\dfrac{7}{2}})}\)
【點撥】
① 線段的比與向量之間的比可相互之間轉化，比如題目中由\(\dfrac{O N}{N E}=\dfrac{1}{4} \Rightarrow \overrightarrow{O N}=\dfrac{1}{5} \overrightarrow{O E}\) , 要求\(\dfrac{B N}{O N}\)則只需要求向量\(\overrightarrow{B N}\)與\(\overrightarrow{O N}\)的倍數關系；
② 求解兩個三角形的面積之比，可利用兩個三角形等高，把問題轉化為求解邊長之比.
③ 類似題中已知條件\(\overrightarrow{O A}+2 \overrightarrow{O B}+4 \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}\)是含三個向量的等式，可努力轉化為兩個向量的關系\(\overrightarrow{O A}+2 \overrightarrow{O B}+4 \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0} \Rightarrow \overrightarrow{O A}+4 \overrightarrow{O C}\)\(=-2 \overrightarrow{O B} \Rightarrow \overrightarrow{O E}=-2 \overrightarrow{O B}\)，這里利用了構造平行四邊形的手段\(\overrightarrow{O A}+4 \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O E}\)，其實也可變形成\(\overrightarrow{O A}+2 \overrightarrow{O B}+4 \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0} \Rightarrow \overrightarrow{O A}+2 \overrightarrow{O B}=-4 \overrightarrow{O C}\)，根據題目需求來便可.
鞏固練習
1(★) 對下列命題：
(1)若向量\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)同向，且\(|\vec{a}|>|\vec{b}|\)，則\(\vec{a}>\vec{b}\)；
(2)若向量\(|\vec{a}|=|\vec{b}|\)，則\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)的長度相等且方向相同或相反；
(3)對於任意向量\(|\vec{a}|=|\vec{b}|\)，若\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)的方向相同，則\(\vec{a}=\vec{b}\)；
(4)由於\(\overrightarrow{0}\)方向不確定，故\(\overrightarrow{0}\)不與任意向量平行；
(5)向量\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)平行，則向量\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)方向相同或相反．
其中正確的命題的個數為 .
2(★) 在\(△ABC\)中，\(\overrightarrow{A B}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{A C}=\vec{b}\)，若點\(D\)滿足\(\overrightarrow{B D}=2 \overrightarrow{D C}\)，則\(\overrightarrow{AD}\)______．(用\(\vec{a} ,\vec{b}\)表示)
3(★★) 如圖，在\(▱OACB\)中，\(E\)是\(AC\)的中點，\(F\)是\(BC\)上的一點，且\(BC=3BF\)，若\(\overrightarrow{O C}=m \overrightarrow{O E}+n \overrightarrow{O F}\)，其中\(m ,n∈R\)，則\(m+n\)的值為______．
4(★★) 如圖，在\(△ABC\)中，\(\overrightarrow{A D}=\dfrac{1}{4} \overrightarrow{A B}\)，\(\overrightarrow{A E}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A C}\)，\(BE\)和\(CD\)相交於點\(F\)，則向量\(\overrightarrow{A F}\)等於______．
5(★★★) 設\(G\)是\(△ABC\)的重心，\(a ,b ,c\)分別是角\(A ,B ,C\)所對的邊，若\(a \overrightarrow{G A}+b \overrightarrow{G B}+c \overrightarrow{G C}=\overrightarrow{0}\)，則\(△ABC\)的形狀是\(\underline{\quad \quad}\) ．
6(★★★)已知點\(O\)是\(△ABC\)內部一點，並且滿足\(\overrightarrow{O A}+2 \overrightarrow{O B}+3 \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}\)，\(△BOC\)的面積為\(S_1\)，\(△ABC\)的面積為\(S_2\)，則\(\dfrac{S_{1}}{S_{2}}=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
7(★★★) 在\(△ABC\)中，\(E ,F\)分別為\(AB ,AC\)中點，\(P\)為線段\(EF\)上任意一點，實數\(x ,y\)滿足\(\overrightarrow{P A}+x \overrightarrow{P B}+y \overrightarrow{P C}=\overrightarrow{0}\)，設\(△ABC\),\(△PCA\),\(△PAB\)的面積分別為\(S\) ,\(S_1\),\(S_2\)，記\(\dfrac{S_{1}}{S}=\lambda_{1}\)，\(\dfrac{S_{2}}{S}=\lambda_{2}\)，則\(λ_1 λ_2\)取得最大值時，\(2x+3y\)的值為\(\underline{\quad \quad}\)．
8(★★★) 已知\(G\)是\(△ABC\)的重心，直線\(EF\)過點\(G\)且與邊\(AB\)、\(AC\)分別交於點\(E、F\)，\(\overrightarrow{A E}=\alpha \overrightarrow{A B}\)，\(\overrightarrow{A F}=\beta \overrightarrow{A C}\)，則\(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}\)的值為\(\underline{\quad \quad}\)．
9(★★★) 已知平面向量\(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\)滿足\(|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1\)，\(\vec{a} \perp \vec{b}\)，則\(|2 \vec{c}-\vec{a}|+\left|\dfrac{1}{2} \vec{c}-\vec{b}\right|\)的最小值為\(\underline{\quad \quad}\)．
答案
- \(1\)
- \(\dfrac{2}{3} \vec{b}+\dfrac{1}{3} \vec{a}\)
- \(\dfrac{7}{5}\)
- \(\dfrac{1}{7} \overrightarrow{A B}+\dfrac{3}{7} \overrightarrow{A C}\)
- 等邊三角形
- \(\dfrac{1}{6}\)
- \(\dfrac{5}{2}\)
- \(3\)
- \(\sqrt{5}\)
【題型四】數量積問題
情況1 求數量積
【典題1】 已知向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)滿足\(|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{b}|\)，且\(|\vec{a}|=2\)，則\(\vec{a} \cdot \vec{b}=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
【解析】因為\(|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{b}|\)，即有\(|\vec{a}+\vec{b}|^{2}=|\vec{b}|^{2}\)，
所以\(\vec{a}^{2}+2 \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b}^{2}=\vec{b}^{2}\)，
則\(2 \vec{a} \cdot \vec{b}=-\vec{a}^{2}=-4\)，
所以\(\vec{a} \cdot \vec{b}=-2\)．
【點撥】① 由數量積的定義可知\(|\vec{a}|^{2}=\vec{a}^{2}\)
② 題目中遇到類似\(|\vec{a}+\vec{b}|\)可嘗試利用性質\(|\vec{a}|^{2}=\vec{a}^{2}\)達到去掉絕對值的目的.
【典題2】 在三角形\(ABC\)中，若\(|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}|=|\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{B C}|\)，\(AC=6\)，\(AB=3\)，\(E\)，\(F\)為\(BC\)邊的三等分點，則\(\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A F}=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
【解析】 若\(|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}|=|\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{B C}|\)，
則\(\overrightarrow{A B}^{2}+\overrightarrow{B C}^{2}+2 \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A B}^{2}+\overrightarrow{B C}^{2}-2 \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}\)，
即有\(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}=0\)，
\(∵AC=6 ,AB=3\)，
\(\therefore B C^{2}=6^{2}-3^{2}=27\)
\(∵E ,F\)為\(BC\)邊的三等分點，
則\(\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A F}=(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B E})(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B F})\)\(=\left(\overrightarrow{A B}+\dfrac{1}{3} \overrightarrow{BC}\right)\left(\overrightarrow{A B}+\dfrac{2}{3} \overrightarrow{B C}\right)\)
\({\color{Red}{(利用首尾相接法把向量向\overrightarrow{A B}，\overrightarrow{B C}靠攏)}}\)
\(=\dfrac{2}{9} \overrightarrow{B C}^{2}+\overrightarrow{A B}^{2}+\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}=\dfrac{2}{9} \times 27+3^{2}+0=15\)．
【點撥】
① 已知條件\(|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}|=|\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{B C}|\)利用性質\(|\vec{a}|^{2}=\vec{a}^{2}\)可得到\(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}=0\)，其實也可以通過平行四邊形法則和三角形法則得到的；
② 求數量積\(\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A F}\) , 第一個想法用數量積公式\(\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A F}=|\overrightarrow{A E}| \cdot|\overrightarrow{A F}| \cos \angle E A F\), 但是發現題目已知條件中很難求解\(|\overrightarrow{A E}|\)，\(|\overrightarrow{A F}|\)，\(\cos \angle E A F\).又因為\(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}=0\)，又知道\(AB、BC\)的長度，故想到把\(\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A F}\)轉化為用\(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{B C}\)表示.
③ 在求數量積的時候，直接用公式很難求解，都盡量向“信息量大”的向量靠攏.
情況2 求向量夾角
【典題1】 已知向量\(\vec{a}, \vec{b}\)滿足\(|\vec{a}|=1\)，\(|\vec{b}|=2\)，\(|\vec{a}+2 \vec{b}|=\sqrt{21}\)，那么向量\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)的夾角為\(\underline{\quad \quad}\)．
【解析】\(∵|\vec{a}|=1\)，\(|\vec{b}|=2\)，\(|\vec{a}+2 \vec{b}|=\sqrt{21}\)，
\(\therefore(\vec{a}+2 \vec{b})^{2}=\vec{a}^{2}+4 \vec{b}^{2}+4 \vec{a} \cdot \vec{b}\)\(=1+16+4 \vec{a} \cdot \vec{b}=21\)，
\(\therefore \vec{a} \cdot \vec{b}=1\)，
\(\therefore \cos <\vec{a}, \vec{b}>=\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\dfrac{1}{2}\)，且\(0 \leq<\vec{a}, \vec{b}>\leq \pi\)，
\(\therefore \vec{a}\)與\(\vec{b}\)的夾角為\(\dfrac{\pi}{3}\)．
【典題2】 已知向量\(\vec{a}, \vec{b}\)滿足\(|\vec{a}|=1\)，\((\vec{a}-\vec{b}) \perp(3 \vec{a}-\vec{b})\)，則\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)的夾角的最大值為\(\underline{\quad \quad}\)．
【解析】 \(\because|\vec{a}|=1\)，\((\vec{a}-\vec{b}) \perp(3 \vec{a}-\vec{b})\)
\(\therefore(\vec{a}-\vec{b}) \cdot(3 \vec{a}-\vec{b})=3 \vec{a}^{2}+\vec{b}^{2}-4 \vec{a} \cdot \vec{b}\)\(=3+\vec{b}^{2}-4 \vec{a} \cdot \vec{b}=0\)，
\(\therefore \vec{a} \cdot \vec{b}=\dfrac{|\vec{b}|^{2}+3}{4}\)，
\(\therefore \cos <\vec{a}, \vec{b}>=\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\dfrac{|\vec{b}|^{2}+3}{4|\vec{b}|}\)\(=\dfrac{|\vec{b}|+\dfrac{3}{|\vec{b}|}}{4} \geq \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，且\(0^{\circ} \leq<\vec{a}, \vec{b}>\leq 180^{\circ}\)，
\(\therefore \cos <\vec{a}, \vec{b}>=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)時，\(\vec{a}, \vec{b}\)的夾角最大為\(30°\)．
情況3 求數量積最值
【典題1】 如圖，已知等腰梯形\(ABCD\)中，\(AB=2DC=4\)，\(A D=B C=\sqrt{3}\)，\(E\)是\(DC\)的中點，\(F\)是線段\(BC\)上的動點，則\(\overrightarrow{E F} \cdot \overrightarrow{B F}\)的最小值是\(\underline{\quad \quad}\).
【解析】 由等腰梯形的知識可知\(\cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)，
設\(BF=x\)，則\(C F=\sqrt{3}-x\)，
\(\therefore \overrightarrow{E F} \cdot \overrightarrow{B F}=(\overrightarrow{E C}+\overrightarrow{C F}) \overrightarrow{B F}\)\(=\overrightarrow{E C} \cdot \overrightarrow{B F}+\overrightarrow{C F} \cdot \overrightarrow{B F}\)
\(=1 \cdot x\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)+(\sqrt{3}-x) \cdot x \cdot(-1)\)\(=x^{2}-\dfrac{4}{3} \sqrt{3} x\),
\(\because 0 \leq x \leq \sqrt{3}\)，
\(∴\)當\(x=\dfrac{2}{3} \sqrt{3}\)時，\(\overrightarrow{E F} \cdot \overrightarrow{B F}\)取得最小值，最小值為\(\left(\dfrac{2}{3} \sqrt{3}\right)^{2}-\dfrac{2}{3} \sqrt{3} \times \dfrac{4}{3} \sqrt{3}=-\dfrac{4}{3}\)．
【典題2】 如圖，已知矩形\(ABCD\)的邊長\(AB=2\) ,\(AD=1\)．點\(P,Q\)分別在邊\(BC\),\(CD\)上，且\(∠PAQ=45°\)，則\(\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{A Q}\)的最小值為\(\underline{\quad \quad}\)．
【解析】 設\(∠PAB=θ\)，則\(∠DAQ=45°-θ\)，
\(\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{A Q}=|\overrightarrow{A P}||\overrightarrow{A Q}| \cos 45^{\circ}\)\(=\dfrac{2}{\cos \theta} \cdot \dfrac{1}{\cos \left(45^{\circ}-\theta\right)} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2}{\cos \theta \cdot\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cos \theta+\dfrac{\sqrt{2}}{2} \sin \theta\right)}\)，
\(=\dfrac{2}{\cos ^{2} \theta+\cos \theta \sin \theta}\)\(=\dfrac{2}{\dfrac{1+\cos 2 \theta}{2}+\dfrac{\sin 2 \theta}{2}}\)\(=\dfrac{2}{\dfrac{\sqrt{2}}{2} \sin \left(2 \theta+45^{\circ}\right)+\dfrac{1}{2}}\geq \dfrac{2}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{1}{2}}=4 \sqrt{2}-4\)，
當且僅當\(2θ+45°=90°\)，
\(∴θ=22.5°\)時取\(“=”\)，當\(θ=22.5°\)時，點\(P\)恰在邊\(BC\)上，\(Q\)恰邊\(CD\)上，滿足條件，
綜上所述，\(\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{A Q}\)的最小值為\(4 \sqrt{2}-4\).
【典題3】 已知向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，\(\vec{c}\)滿足\(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}\)，\(|\vec{c}|=2 \sqrt{3}\)，\(\vec{c}\)與\(\vec{a}-\vec{b}\)所成的角為\(120°\)，則當\(t∈R\)時，\(|t \vec{a}+(1-t) \vec{b}|\)的最小值是\(\underline{\quad \quad}\)．
【解析】
\(∵\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}\)，\(\therefore \vec{c}=-(\vec{a}+\vec{b})\)，
又\(\vec{c}\)與\(\vec{a}-\vec{b}\)所成的角為\(120°\)，\(∴∠OEA=120°\)，
\({\color{Red}{(此時由平行四邊形法則和三角形法則構造出一個平行四邊形OADB)}}\)
\(∴∠OEB=60°\), \(|\vec{c}|=2 \sqrt{3}\)，
\(\therefore O D=2 \sqrt{3}\)，\(O E=\sqrt{3}\)
\(|t \vec{a}+(1-t) \vec{b}|=|\vec{b}+t(\vec{a}-\vec{b})|=|\overrightarrow{O B}+t \overrightarrow{B A}|\)，
\(\because \overrightarrow{B P}\)與\(\overrightarrow{B A}\)共線，\(\overrightarrow{B A} \neq \overrightarrow{0}\)，設\(\overrightarrow{B P}=t \overrightarrow{B A}\)，
則\(|t \vec{a}+(1-t) \vec{b}|=|\overrightarrow{O P}|\)(\(P\)是直線\(BA\)上的動點)，
\({\color{Red}{(其實由性質“若\overrightarrow{O C}=x \overrightarrow{O A}+y \overrightarrow{O B},x+y=1, 則點C在直線AB上”很容易知道：直線BA上的存在一動點P, 使得\overrightarrow{O P}=t \vec{a}+(1-t) \vec{b})}}\)
所以當\(OP\)垂直於\(AB\)時，\(|t \vec{a}+(1-t) \vec{b}|=|\overrightarrow{O P}|\)最小，為\(O E \times \sin 60^{\circ}=\sqrt{3} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3}{2}\).
【點撥】① 題中遇到類似\(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}\)的等式，很容易想到移項，再利用平行四邊形法則進行構造圖形求解；**② 本題中求\(|t \vec{a}+(1-t) \vec{b}|\)的最小值，那我們根據平行四邊形法則找到向量\(t \vec{a}+(1-t) \vec{b}\), 確定出\(|t \vec{a}+(1-t) \vec{b}|\)的幾何意義從而求解成功.
鞏固練習
1(★) 已知向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)滿足\(|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{b}|\)，且\(|\vec{a}|=2\)，則\(\vec{a} \cdot \vec{b}=\)\(\underline{\quad \quad}\).
2(★★) 已知非零向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)滿足\(|\vec{a}|=\dfrac{3}{4}|\vec{b}|\)，\(\cos <\vec{a}, \quad \vec{b}>=\dfrac{1}{3}\)，若\((m \vec{a}+4 \vec{b}) \perp \vec{b}\)，則實數\(m\)的值為\(\underline{\quad \quad}\) .
3(★★) 已知向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)滿足\(|\vec{a}|=1\)，\((\vec{a}-\vec{b}) \perp(3 \vec{a}-\vec{b})\)，則\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)的夾角的最大值為\(\underline{\quad \quad}\).
4(★★) 如圖，在梯形\(ABCD\)中，\(AB∥CD\) ,\(AB=4\) ,\(AD=3\),\(CD=2\)，\(\overrightarrow{A M}=2 \overrightarrow{M D}\)，\(\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B M}=-3\)，則\(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}=\) \(\underline{\quad \quad}\).
5(★★)已知\(△ABC\)中，點\(M\)在線段\(AB\)上，\(∠ACB=2∠BCM=60°\)，且\(\overrightarrow{C M}-\lambda \overrightarrow{C B}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{C A}\)．若\(|\overrightarrow{C M}|=6\)，則\(\overrightarrow{C M} \cdot \overrightarrow{A B}=\)\(\underline{\quad \quad}\).
6(★★★) 設\(H\)是\(△ABC\)的垂心，且\(3 \overrightarrow{H A}+4 \overrightarrow{H B}+5 \overrightarrow{H C}=\overrightarrow{0}\)，則\(cos∠BHC\)的值為\(\underline{\quad \quad}\).
7(★★★)已知P為\(△ABC\)所在平面內的一點，\(\overrightarrow{B P}=2 \overrightarrow{P C}\)，\(|\overrightarrow{A P}|=4\)，若點\(Q\)在線段\(AP\)上運動，則\(\overrightarrow{Q A} \cdot(\overrightarrow{Q B}+2 \overrightarrow{Q C})\)的最小值為\(\underline{\quad \quad}\).
8(★★★) 已知非零向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\) ,\(\vec{c}\)足：\((\vec{a}-2 \vec{c})(\vec{b}-2 \vec{c})=0\)且不等式
\(|\vec{a}+\vec{b}|+|\vec{a}-\vec{b}| \geq \lambda|\vec{c}|\)恆立，則實數\(λ\)的最大值為\(\underline{\quad \quad}\).
9(★★★) 已知平面向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\) ,\(\vec{c}\)，對任意實數\(x,y\)都有\(|\vec{a}-x \vec{b}| \geq|\vec{a}-\vec{b}|\)，\(|\vec{a}-y \vec{c}| \geq|\vec{a}-\vec{c}|\)成立．若\(|\vec{a}|=2\)，則\(\vec{b}(\vec{c}-\vec{a})\)的最大值是\(\underline{\quad \quad}\).
10(★★★) 設\(θ\)為兩個非零向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)的夾角，已知對任意實數\(t\)，\(|\vec{b}-t \vec{a}|\)的最小值為\(1\)，則( )
A．若\(θ\)確定，則\(|\vec{a}|\)唯一確定
B．若\(θ\)確定，則\(|\vec{b}|\)唯一確定
C．若\(|\vec{a}|\)確定，則\(θ\)唯一確定
D．若\(|\vec{b}|\)確定，則\(θ\)唯一確定
答案
- \(-2\)
- \(-16\)
- \(30°\)
- \(\dfrac{3}{2}\)
- \(27\)
- \(-\dfrac{\sqrt{70}}{14}\)
- \(-12\)
- \(4\)
- \(\dfrac{1}{2}\)
- \(B\)