前言
向量是現代數學研究的重點，它是三角函數、代數、幾何交流的工具，向量的運算和表達十分簡潔明了、直觀，因此向量應用十分廣泛，有利於數學中各種問題的解決，有利於提高幾何的證明力。高中數學中的向量既是物理學研究的工具，又是連接幾何和代數的橋梁。高中數學課程改革改變了以前的教學內容以及教學理念，尤其是，一直在物理和空間物質結構、工程教學中才使用的向量，逐漸引起人們重視。
數學發展史上，向量概念的引入與尋求幾何研究的新工具有很大的關系。意思是平面向量的引入，是為了讓我們研究問題時有更多的選擇[向量是連接數和形的橋梁，是溝通代數、幾何和三角函數的工具]，但是在實際教學中我們發現，向量的學習里面的坑很大，好多學生掌握的不好。平面向量是個矢量，既有大小，又有方向，而實數只是個標量，故平面向量和實數在運算中有一樣的地方，更多的是不一樣的地方，所以非常容易出錯。
厘清錯因
- 忽視\(\vec{0}\)導致錯誤；
①\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)共線，\(\vec{b}\)與\(\vec{c}\)共線，則\(\vec{a}\)與\(\vec{c}\)共線；
②\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)不共線，\(\vec{b}\)與\(\vec{c}\)不共線，則\(\vec{a}\)與\(\vec{c}\)不共線；
③\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)共線的充要條件是有且只有一個實數\(\lambda\)使得\(\vec{a}=\lambda\vec{b}\)；
④\(\overrightarrow{AB}\)與\(\overrightarrow{CD}\)是共線向量，則點\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)必然在同一條直線上；
分析：對於①而言，若\(\vec{b}=\vec{0}\)，則此時\(\vec{a}\)與\(\vec{c}\)為非零的任意向量，即使兩個是相互垂直的向量，也是滿足\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)共線，\(\vec{b}\)與\(\vec{c}\)共線，但是不滿足\(\vec{a}\)與\(\vec{c}\)共線，故①是錯誤的；
進一步分析，向量共線和向量平行是一樣的，故我們實質是依托三條直線的平行關系的傳遞性，來判斷三個向量的平行關系，這是錯誤的，因為有個特例零向量夾雜在里面，如果已知的三個向量都不是零向量，則這個判斷又是正確的；
對②而言，如\(\vec{a}=3\vec{c}\)，任一非零向量\(\vec{b}\)若與\(\vec{a}\)、\(\vec{c}\)不共線，但\(\vec{a}\)與\(\vec{c}\)共線；
進一步分析，我們其實是遷移了三條直線的平行關系的傳遞性的否定，但是卻是錯誤的，因為不平行的關系不具有傳遞性；
對於③而言，若\(\vec{b}=\vec{0}\)，則\(\lambda\)可以有無窮多個，不滿足唯一性，故③錯誤；其實這是共線向量的基本定理的內容，其要求作為基底的向量\(\vec{b}\)必須是非零向量，即\(\vec{b}\neq \vec{0}\)，只有保證了其基底向量不為零向量，這樣才能用\(\lambda \vec{b}\)表示所有與\(\vec{b}\)共線的其他向量；
在引申一步，若\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)不共線，則\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)都是非零向量，原因是零向量與任意向量共線[平行]。
對於④而言，我們研究的是自由向量，即可以在平面內自由平行移動[故我們可以將向量的起點不在坐標原點的向量平移到坐標原點]，這一點和物理上的力這一矢量又有不同[力有受力點，故不能隨意平移]，這樣\(\overrightarrow{AB}\)與\(\overrightarrow{CD}\)是共線向量，有可能兩個共線，也有可能平行而不共線，故④錯誤；
解答：填寫①②③④；
- 關於向量的相關概念理解不到位，不透徹，導致錯誤；
①.任何非零向量都有唯一的與之共線的單位向量；假命題，任何非零向量都有兩個與之共線的方向向量，也都有兩個與之共線的單位向量；
②.任一向量與它的相反向量不相等，假命題，反例為零向量。
③.共線的兩個向量，若起點不同，則終點也一定不同，假命題，如兩個共線的向量一個起點為\((-1,0)\)，另一個起點為\((1,0)\)，終點都是\((0,0)\)，則這兩個向量的共線且終點相同；
④.直線的方向向量有兩個，直線的單位向量也有兩個。真命題，每一個方向上的方向向量都會對應一個單位向量，故直線有兩個方向向量，也有兩個單位向量。
⑤.向量不能比較大小。真命題，向量有大小，也有方向，故不能比較大小，與此同理的是，復數也不能比較大小；
⑥.兩個向量相等的充要條件是向量的起點和終點相同。假命題，兩個向量相等，只需要向量的模相等，方向相同，就是相等向量，不一定要求起點和終點都相同；而向量的起點和終點相同，則它們一定是相等向量，故⑤錯誤；其實“向量的起點和終點相同”是“兩個向量相等”的充分不必要條件。
⑦.向量就是有向線段；假命題，有向線段只是向量的一種表示形式，有向線段不能任意平移，而向量可以平移，故向量和有向線段不是等同的概念。
- 不熟悉不理解向量的運算律和運算法則，導致錯誤[向量的運算不滿足消去律和結合律，卻滿足分配律]；
①零向量與任一向量平行，與任一向量垂直；
②若\(\vec{a}//\vec{b}\)，則\(\vec{a}=\lambda\vec{b}(\lambda\in R)\)；
③\((\vec{a}\cdot\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot(\vec{b}\cdot\vec{c})\)
④\(|\vec{a}|+|\vec{b}|\geqslant |\vec{a}+\vec{b}|\)；
⑤若\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}\)，則\(A\)，\(B\)，\(C\)為三角形的三個頂點。
⑥一個平面內只有一對不共線的向量可作為表示該平面內所有向量的基底；
分析：
對於①而言，是真命題，其實我們一貫用零向量和任一向量平行，但很少用垂直。關於垂直，課本在定義了非零向量垂直的情況下，補充說明了對零向量的規定。故零向量[不是沒有方向，而是方向任意]與任一向量平行，與任一向量垂直；
對於②而言，是假命題，是共線向量基本定理的符號語言表達形式，不過缺少了基底向量\(\vec{b}\neq \vec{0}\)，故錯誤；
對於③而言，是假命題，左邊的向量\((\vec{a}\cdot\vec{b})\cdot\vec{c}\)與\(\vec{c}\)共線，而右邊的向量\(\vec{a}\cdot(\vec{b}\cdot\vec{c})\)與\(\vec{a}\)共線，故這兩個向量連共線都不滿足，更不用說滿足相等；其實向量的運算不滿足結合律；而實數是滿足結合律的，如\((a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)\)；
對於④而言，是真命題，這是向量形式的柯西不等式；
對於⑤而言，是假命題，若\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}\)，則\(ABC\)可以構成一個三角形，也可能是三點重合，都是零向量，其實我們更多的使用的是這樣的結論：若\(A\)，\(B\)，\(C\)為三角形的三個頂點，則\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}\)。
對於⑥而言，假命題，一個平面內任意一對不共線的向量都可作為表示該平面內所有向量的基底，故這樣的基底可以有無窮多對；也正因為這樣，我們在選擇基底是才有更大的選擇余地。
故選\(A\).
①.若\(\vec{a}^2+\vec{b}^2=0\)，則\(\vec{a}=\vec{b}=\vec{0}\)； 真命題，受實數運算的影響，容易錯寫為\(\vec{a}=\vec{b}=0\).
②.若\(k\in R\)，\(k\vec{a}=\vec{0}\)，則\(k=0\)或\(\vec{a}=\vec{0}\)； 真命題，
③.若\(\vec{a}\cdot \vec{b}=0\)，則\(\vec{a}=\vec{0}\)或\(\vec{b}=\vec{0}\)； 假命題，受實數的運算的影響，很容易判斷其為真命題。其實\(\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta=0\)，故可能\(|\vec{a}|=0\)或\(|\vec{b}|=0\)或\(\cos\theta=0\).故可能\(\vec{a}=\vec{0}\)或\(\vec{b}=\vec{0}\)或\(\vec{a}\perp\vec{b}\).
④.若\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)都是單位向量，則\(\vec{a}\cdot\vec{b}\leqslant 1\)恆成立；真命題，\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot 1\cdot\cos\theta=\cos\theta\leqslant 1\);
⑤.三個向量\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)、\(\vec{c}\)共面，則它們所在的直線共面。假命題，自由向量，可以平移的。
⑥.向量\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)平行，則\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)的方向相同或相反；假命題，只有兩個非零向量才滿足這一點。
⑦.若非零向量\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)的方向相同或相反，則\(\vec{a}+\vec{b}\)與\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)之一方向相同。假命題，若\(\vec{a}=-\vec{b}\)，則\(\vec{a}+\vec{b}=\vec{0}\)，此時說\(\vec{a}+\vec{b}\)與\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)之一方向相同，是不對的。
⑧.若向量\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)滿足\(|\vec{a}|>|\vec{b}|\)且方向相同，則\(\vec{a}>\vec{b}\)；假命題，向量有方向，不能比較大小；
⑨.相等向量的坐標相同；真命題，因為向量可以平移。
分析：對於A，由非零向量平行的傳遞性，可知正確；
對於B，由\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{c}\)，兩邊約去\(\vec{b}\)，得到\(\vec{a}=\vec{c}\)，這是錯誤的，原因是向量運算不滿足消去律；應該這樣變形，由題得到\(\vec{b}(\vec{a}-\vec{c})=0\)，當\(\vec{b}=\vec{0}\)時，或者\(\vec{a}-\vec{c}=\vec{0}\)或者\(\vec{b}\perp(\vec{a}-\vec{c})\)時都滿足條件，故不能得到\(\vec{a}=\vec{c}\)，故B錯誤；
對於C，給\(|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|\)兩邊平方，得到\(|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}-\vec{b}|^2\)，整理得到，
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，故\(\vec{a}\perp\vec{b}\)，故C正確；
對於D，由\(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\)，則\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)是共線向量，則\(\vec{a}//\vec{b}\)，故D正確；
綜上所述，選\(ACD\)。
- 將三角形的內角和向量的夾角混淆，導致錯誤；
錯解：由於\(\cos B=\cfrac{3}{5}\)，故\(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{BC}|\cdot \cos B=9\)
錯因分析：兩個向量的夾角是由共起點的兩個向量所夾的角，故兩個向量的夾角\(<\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}>=\pi-B\)，和三角形的內角不是相等關系，而是互補關系，
正解：\(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{BC}|\cdot \cos(\pi-B)=-9\)
- 忽略向量共線狀態的驗證，導致錯誤；
錯解：由於向量\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)的夾角為鈍角，則\(\vec{a}\cdot\vec{b}=2x-3<0\)，
解得\(x<\cfrac{3}{2}\)；
錯因分析：當夾角為\(\pi\)時，兩個向量平行[共線]，也包括在\(\vec{a}\cdot\vec{b}<0\)中，故需要排除共線的情形；
正解：由於向量\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)的夾角為鈍角，則\(\vec{a}\cdot\vec{b}<0\)且向量\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)不共線，[1]
從而得到\(\left\{\begin{array}{l}{2x-3<0}\\{-x-2\times 3\neq 0}\end{array}\right.\)
解得，\(x<\cfrac{3}{2}\)且\(x\neq -6\)為所求；
解后反思：一般的，若向量\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)的夾角為鈍角，則\(\vec{a}\cdot\vec{b}<0\)且向量\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)不共線，若向量\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)的夾角為銳角，則\(\vec{a}\cdot\vec{b}>0\)且向量\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)不共線.
- 混淆向量平行與垂直的條件；
回顧：\(\vec{a}=(x_1，y_1)\)，\(\vec{b}=(x_2，y_2)\)，則若\(\vec{a}\perp\vec{b}\)，則\(x_1x_2+y_1y_2=0\)；則若\(\vec{a}//\vec{b}\)，則\(x_1y_2-x_2y_1=0\)；
正解：若\(\vec{a}//\vec{b}\)，由\(2\cos x+\sin x=0\)，解得\(\tan x=-2\)；
若\(\vec{a}\perp\vec{b}\)，由\(1\cos x-2\sin x=0\)，解得\(\tan x=\cfrac{1}{2}\)；
典例剖析
分析：設\(<\vec{a},\vec{b}>=\theta\)，則由\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)的夾角為鈍角，
得到\(-1<\cos\theta<0\)，而\(\cos\theta=\cfrac{-3x^2+4x}{\sqrt{x^2+4x^2}\cdot\sqrt{9x^2+4}}\)，
故\(\cos\theta=\cfrac{-3x^2+4x}{\sqrt{x^2+4x^2}\cdot\sqrt{9x^2+4}}<0\)，即\(-3x^2+4x<0\)，
解得\(x<0\)或\(x>\cfrac{4}{3}\)，此時未完，切記，這才解了個必要條件，不是充要條件；
還需要求解\(-1<\cos\theta\)，但是\(\cfrac{-3x^2+4x}{\sqrt{x^2+4x^2}\cdot\sqrt{9x^2+4}}>-1\)不好求解；
故我們換成求解\(\cfrac{-3x^2+4x}{\sqrt{x^2+4x^2}\cdot\sqrt{9x^2+4}}\neq -1\)，此時可以仿照等式來求解，沒有符號容易出錯之嫌；
即\(3x^2-4x\neq \sqrt{x^2+4x^2}\cdot\sqrt{9x^2+4}\)，
兩邊平方，即\((3x^2-4x)^2\neq 5x^2(9x^2+4)\)，整理為\(9x^2+6x+1=(3x+1)^2\neq 0\)，
即\(x\neq -\cfrac{1}{3}\)，又因為\(x<0\)或\(x>\cfrac{4}{3}\)，
則\(x\)的取值范圍為\((-\infty,-\cfrac{1}{3})\cup(-\cfrac{1}{3},0)\cup(\cfrac{4}{3},+\infty)\)，或者如下書寫：
\(\{x\mid x<0或x>\cfrac{4}{3}且x\neq -\cfrac{1}{3}\}\)；
解后反思：若向量\(\vec{a}\)與向量\(\vec{b}\)的夾角為銳角，則\(\cos\theta>0\)且\(\cos\theta\neq 1\)；
若向量\(\vec{a}\)與向量\(\vec{b}\)的夾角為鈍角，則\(\cos\theta<0\)且\(\cos\theta\neq -1\)；
分析：由於向量\(\vec{a}=(6,-8)\)，則與\(\vec{a}\)垂直的向量\(\vec{v}=(4，3)\)，
故\(\vec{a_0}=\pm\cfrac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=\pm\cfrac{1}{5}(4,3)=\pm(\cfrac{4}{5},\cfrac{3}{5})\)
\(\vec{a}=(x,3)\)，\(\vec{b}=(2,-1)\)，若\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)共線，則\((-1)\times x+2\times 3=0\)，
則若\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)不共線，則\((-1)\times x+2\times 3\neq 0\)， ↩︎