臨近考試，梳理了一下已學矩陣論課程的整個系統框架。
線性空間到它本身的映射是線性變換，在不同基下的表示是過渡矩陣。
酉變換是一個在C上保持矩陣內積、長度、向量夾角和形狀的變換；
正交變換是一個在R上保持矩陣內積、長度、向量夾角和形狀的變換；
Household矩陣是保持向量范數不變的變換。
從一個線性空間到另一個線性空間的映射，可以通過矩陣表示。
這個矩陣表示是一個λ矩陣，即A(λ)，這里的λ是一個未知數，而非特征值。
我們所熟知的簡單映射，其矩陣表示是數字陣，即0次λ矩陣，
若有n個線性無關的特征向量，則通過相似變換可以對角化到Jordan標准型，求特征值——λ，
特征值之和是tr(A)，特征值之積是det(A)，
當然用(λI-A)特征方程求根會是一個更簡單的方法；
它的特征矩陣是(λI-A)，即1次λ矩陣，
通過相抵變換可以得到Smith標准型，進而得到不變因子、行列式因子、初等因子+秩——(λ-λi)。
最后一個不變因子是最小多項式，它是所有化零多項式的一個最大公因式。
化零多項式是s.t. φ(A)=0的φ(λ)。
以上的
特征值λi——初等因子+秩(λ-λi)
約當標准型——Smith標准型
都是同一空間在不同基下的矩陣表示的等價條件，即所謂找“特征”是否“相似”；
而如果對於不同映射的相似程度，我們引入范數的概念，
范數是一種函數映射，可以在不同空間下（數、各種維度的向量、不同規模的矩陣），
也可以有不同的函數計算方式（一范數、二范數、p范數、無窮范數），
在同一空間的不同范數等價。
我們常用的是二范數，即長度，
長度在向量空間下，稱為向量的模；
在實數域上，就是絕對值。
對於二維向量，它在坐標軸中的圖像是一個圓，
然而，在實際中，可能根據不同的條件來定義不同范數，
如城市規划中，區域距離min不可能用圓形衡量，就可能要選用方形的無窮范數。
當然，映射也存在逆映射，因為目標空間中的值域子空間與源空間不是一一映射，我們就有了廣義逆，
如果Ax=b，b不落在值域子空間內，則方程不可解，即不相容，此時考慮線性極小二乘問題。
可以利用廣義逆求解線性方程的解，以及線性極小二乘問題的解:
滿足加號逆條件中{1}的，稱為減號逆，是線性方程Ax=b的解；
滿足加號逆條件中{1,4}的，是線性方程Ax=b的最小范數解；
滿足加號逆條件中{1,3}的，是線性極小二乘問題min||Ax-b||的解；
滿足加號逆條件中{1,2,3,4}的，稱為加號逆，是以上所有問題的解，也是線性極小二乘問題的最小解。
至於二次型，則是一種對於二次曲線的旋轉變換，它通過相合變換仍保持正負慣性指數不變，因此這是二次型的一個“特征”。