連續譜本征函數的"歸一化"

1 連續譜本征函數是不能歸一化的

• 在量子力學中，坐標和動量的取值是連續變化的；角動量的取值是離散的；而能量的取值則視邊界條件而定。

• 例如：一維粒子的動量本征值為p的本征函數（平面波）為

  

  • p可以取(-∞，+∞)中連續變化的一切實數值。

  • 不難看出，只要\(C\ne 0\),則

    

  • 在本例中，\(\psi_p\)是不能歸一化的

• 連續譜的本征函數是不能歸一化的。

  • 當然，任何真實的波函數都不會是嚴格的平面波，而是某種形式的波包，它只在空間有限區域不為零。
  • 如果此波包的廣延比所討論的問題中的特征長度大得多，而粒子在此空間區域中各點得概率密度變化極微，則不妨用平面波來近似描述其狀態。

2 \(\delta\)函數

• 為方便地處理連續譜本征函數地"歸一化"，我們可以引用數學上地Dirac的\(\delta\)函數。

• \(\delta\)函數的定義

  

• 因此，若取動量本征態為

  

  則

  

• 這樣，就用\(\delta\)函數的形式把平面波的”歸一化“表示出來了

• 同樣，不能歸一化的坐標本征態也可以類似處理

  

3 箱歸一化

• 平面波的"歸一化"問題，還可以采用數學上傳統的做法

  • 即先讓粒子局限於有限空間[-L/2,L/2]中運動（最后才讓L→∞）

  • 此時，為了保證動量算符\({\widehat p_x} = - ih{\partial \over {\partial x}}\)為厄米算符，就要求波函數滿足周期性邊條件。

  • 動量本征態，在周期條件下

    

  • 由周期條件，得

    • 即，或

  • 所以，或

    （粒子波長\(\lambda = {\rm{h}}/\left| p \right| = L/\left| {\rm{n}} \right|\)；即\(\left| {\rm{n}} \right|\lambda = L\)）。

  • 可以看出，只要\(L \ne ∞\)，動量的可能取值\(p=p_n\),就是不連續的。

• 此時，與\(p_n\)相應的動量本征態取為

• 利用正交歸一化條件

• 利用這一組正交歸一完備的函數\(\psi_{p_n}(x)\),可以構成如下\(\delta\)函數

• 現在讓L→∞，\(\Delta {p_n} = {p_{n + 1}} - {p_n} = (h/L) \to 0\)，即動量的可能取值趨於連續變化。

• 此時，可以把\(h/L \to dp\),而

  • \(\sum\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\Delta {{\rm{p}}_n} = {h \over L}} \sum\limits_{ - \infty }^{ + \infty } { \to \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{\rm{dp}}} }\)
  • \(\sum\limits_{ - \infty }^{ + \infty } { \to {L \over h}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{\rm{dp}}} }\)

• 於是

• 結論：

​ 在處理具體問題時，如要避免計算過程中出現的平面波”歸一化“困難，則可以用箱歸一化波函數\(\psi_{p_n}(x)\)代替不能歸一化的\(\psi_{p}(x)\)。

​ 在計算的最后結果才讓L→∞。

• 三維情況：

​ 正交完備的歸一化波函數為

​ 則\(\delta\)函數可如下構成：

​ 最后，當L→∞時

而

上式表明，相空間一個體積元\(h^3\)相當於有一個量子態

本章小結

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注意:
在體系的一組力學量完全集中,力學量的個數並不一定等於自由度的數目.一般說來,在力學量完全集中，力學量的個數>=體系的自由度數目.