共同本征函數

1 不確定度關系的嚴格證明

引入

• 當體系處於力學量\(\widehat A\)的本征態時，對其測量，可得一個確定值，而不出現漲落。但在其本征態下，去測量另一個力學量\(\widehat B\)時，卻不一定得到一個確定值

分析證明

• 設有兩個任意的力學量\(\widehat A\)和\(\widehat B\),分析下列積分不等式

  

  • 其中，\(\psi\)為一個體系的任意一個波函數，$\xi $為任意實參數

  • 因為\(\widehat A\)與\(\widehat B\)為厄米算符，所以

    

• 引進厄米算符 ，則

  • \(\overline C\)為實，不妨取 \(\xi=\overline C / 2\overline {A^2}\),則得

    

• 即，或表示為

  \(\overline {{A^2}} \cdot \overline {{B^2}} \ge {1 \over 2}\left| {\overline C } \right| = {1 \over 2}\left| {\overline {\left[ {\widehat A,\widehat B} \right]} } \right|\)（1）

  • 在上式中，\(\widehat A\)與\(\widehat B\)為厄米算符，\(\overline A\)與\(\overline B\)又均為實數，推出$\Delta \widehat A = \widehat A - \overline A \(與\)\Delta \widehat B = \widehat B - \overline B $也是厄米的。
  • 讓\(\widehat A →\Delta \widehat A\)，\(\widehat B →\Delta \widehat B\)，則（1）式仍然成立

• 再考慮到（因為\(\overline A\)與\(\overline B\)均為實數)，就可得出

  

• 或簡記為$\Delta A \equiv \sqrt {\overline {{A^2}} } \(，\)\Delta B \equiv \sqrt {\overline {{B^2}} } $，有

  

  • 上式就是任意兩個力學量A 與B在任意量子態下的漲落必須滿足的關系式,即Heisenberg的不確定度關系(uncertainty relation)的普遍表達式。

  • 由（2）式可以看出

    • 若兩個力學量A與B不對易，則一般來說\(\Delta A\)與\(\Delta B\)不能同時為零，即\(\widehat A\)與\(\widehat B\)不能同時測定。（但的特殊態可能是例外)，或者說他們不能有共同本征態。
    • 若兩個力學量A與B對易，則可以找到這樣的態，使\(\Delta A\)與\(\Delta B\)同時為零，即\(\widehat A\)與\(\widehat B\)可以同時測定，或者說他們可以找出它們的共同本征態。

    特例：\(\hat A=x,\hat B=\hat p_x,[x,\hat p_x]=iℏ\)

    ​

  • 例如：坐標r(x,y,z)的共同本征態，即\(\delta\)函數

    

    相應的本征值：

    

2 (\(l^2,l_z\))的共同本征態，球諧函數

角動量的平方算符

• 由於角動量的三個分量不對易，一般無共同本征態。但由於[$l^2,l_\alpha \(]=0,可以找出\)l^2\(與任何一個分量（例如\)l_z$）的共同本征態。

• 采用球坐標，角動量的平方算符表示為

  

求解角動量平方算符本征方程

• 考慮到\([l^2,l_\alpha]=0,l^2\)的本征函數可以同時也取為\(l_z\)的本征態

  

• 此時，\(l^2\)的本征函數已分離變量，即令

• 並代入本征方程

  
  • 其中，$\lambdaℏ^2 \(是\)l^2\(的本征值（\)\lambda$無量綱），待定
  • 化簡本征方程，得
  

• 令，則

  

​ 或

​

​ 這就是連帶Legendre方程。

• 在\({|\xi|} \le 1\)區域中，微分方程有兩個正則奇點，\(\xi=\pm1\),其余各點均為常點。

正則奇點（摘自百度百科）

在線性二階常微分方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的奇點z0的鄰域上，方程的兩個線性獨立解一般來說也是以z0為奇點的，對這兩個解在z0鄰域上展開（注意不是泰勒展開），全都具有有限個負冪項，則該奇點z0稱為方程的正則奇點。

• 可以證明，只當\(\lambda =l(l+1)\),\(l=0,1,2…\)，時，方程有一個多項式解（另一解為無窮級數），即連帶Legendre多項式

  
  • 它在\({|\xi|} \le 1\)區域中是有界的，是物理上可接受得解。

• 利用正交歸一性公式

  

  • 定義一個歸一化得\(\theta\)部分的波函數（實）

    

• 滿足

(\(l^2,l_z\))的共同本征態，球諧函數

• (\(l^2,l_z\))的共同本征函數表示為：

• \(Y_{lm}\)為球諧函數，它們滿足

  

• 

• 在上面的式子中，\(l^2\)和\(l_z\)的本征值都是量子化的:

  

• 對於給定\(l,l^2\)的本征函數是不確定的,因為m =l,l-1,…,-l+1,-l，共有(2l＋1)個簡並態。\(Y_{lm}\)就
  是用\(l_z\)的本征值來確定這些簡並態

3 對易力學量完全集（CSCO）

• 設有一組彼此獨立而且互相對易得厄米算符\(\hat A\)(\(\hat {A_1}\),\(\hat {A_2}\),…),它們得共同本征態記為\(\psi_\alpha\),\(\alpha\)表示一組完備得量子數。

• 設給定一組量子數α之后,就能夠完全確定體系的唯一一個可能狀態,則我們稱(\(\hat {A_1}\),\(\hat {A_2}\),…)構成體系的一組對易可
  觀測量完全集(Complete Set of Commuting Observables,簡記為CSCO),在中文教材中,習慣稱為對易力學量完全集,或簡稱為力學量完全集。對易力學量完全集的概念與體系的一個量子態的制備密切相關。

• 按照態疊加原理，體系的任何一個狀態\(\psi\)均可用\(\psi_\alpha\)來展開

  
  • 利用\(\psi_\alpha\)的正交歸一性，上式中的展開系數\(a_\alpha=(\psi_\alpha,\psi)\)，可確切定出。\({\left| {{a_\alpha }} \right|^2}\)表示在\(\psi\)態下，測量力學量A得到\(A_\alpha\)值的概率。這是波函數的統計詮釋的最一般的表述（這里假定量子數α，或力學量\(A_\alpha\),不連續變化）
  • (這里假定量子數α，或力學量A,不連續變化.若α連續變化,則\(\sum\limits_\alpha { \to \int {d\alpha } }\),而相應的展開系數的模方代表概率密度.例如,坐標表象和動量表象的展開,即屬此情況.)

• 如體系的Hamilton量不顯含時間t(\(\partial H/\partial t = 0\))，則H為守恆量。在此情況下,如對易力學量完全集中包含有體系的Hamilton量，則完全集中各力學量都是守恆量這種完全集又稱為對易守恆量完全集( a complete set of commuting conserved observables，簡記為 CSCCO)包括H在內的守恆量完全集的共同本征態，當然是定態，所相應的量子數都稱為好量子數。在這種展開中，在這種展開中(無論\(\psi\)是什么態，定態或非定態)，\({\left| {{a_\alpha }} \right|^2}\)是不隨時間改變的。

• 關於CSCO，再做幾點說明:

  • CSCO是限於最小集合，即從集合中抽出任何一個可觀測量后,就不再構成體系的CSCO.所以要求CSCO中各觀測量是函數獨立的.
  • 一個給定體系的CSCO中,可觀測量的數目一般等於體系自由度的數目,但也可以大於體系自由度的數目.
  • 一個給定體系往往可以找到多個CSCO,或CSCCO。在處理具體問題時,應視其側重點來進行選擇。一個CSCCO的成員的洗擇，涉及體系的對稱性。

• 體系的量子態用一組彼此對易的力學量完全集的共同本征函數來展開,在數學上涉及完備性問題.這是一個頗為復雜的問題.李政道曾經給出關於本征態的完備性的如下重要的定理.

  • 定理:設\(\hat H\)為體系的一個厄米算符,對於體系的任一態ψ ,(ψ,\(\hat Hψ\) )/(ψ ,ψ)有下界(即總是大於某一個固定的數c),但無上界,則\(\hat H\)的本征態的集合,構成體系的態空間中的一個完備集,即體系的任何一個量子態都可以用這一組本征態完全集來展開。
    • 自然界中真實存在的物理體系的Hamilton 算符\(\hat H\)都應為厄米算符(保證所有能量本征值為實),並且應有下界(能量無下界是不合理的,在自然界中未發現這種情況)。因此，體系的任一量子態總可以放心地用包含\(\hat H\)在內的一個CSCCO的共同本征態完全集來展開。
    • 在\(\hat H\)本征值有簡並的情況下,對於給定能量本征值,本征態尚未完全確定,此時需要用包含Hamilton量在內的一個CSCCO，根據他們的本征值把本征態完全確定下來，以便於對任何量子態進行確切的展開.

4 量子力學中力學量用厄米算符表達

• 與薛定諤方程是量子力學的一個基本假定一樣，量子體系的可觀測量（力學量）用一個線性厄米算符來描述，也是量子力學的一個基本假定，它們的正確應該由實驗來判定。

• “量子力學中力學量用相應的線性厄米算符來表達”，其含義是多方面的：

  • 在給定狀態\(\psi\)之下，力學量A的平均值\(\overline A\)由下式確定：

    

  • 在實驗上觀測某力學量A，它的可能取值\(A^‘\)就是算符\(\hat A\)的一個本征值。由於力學量觀測值總是實數，所以要求相應的算符必為厄米算符

  • 力學量之間關系也通過相應的算符之間的關系反映出來。例如，兩個力學量A與B，在一般情況下，可以同時具有確定的觀測值的必要條件為\([\hat A,\hat B]=0\)

    • 反之，若\([\hat A,\hat B]\ne 0\),則一般來說，力學量A與B不能同時具有確定的觀測值。
    • 特別是對於H不顯含t的體系，一個力學量A是否是守恆量，可以根據\(\hat A\)與\(\hat H\)是否對易來判斷。