连续谱本征函数的"归一化"

1 连续谱本征函数是不能归一化的

• 在量子力学中，坐标和动量的取值是连续变化的；角动量的取值是离散的；而能量的取值则视边界条件而定。

• 例如：一维粒子的动量本征值为p的本征函数（平面波）为

  

  • p可以取(-∞，+∞)中连续变化的一切实数值。

  • 不难看出，只要\(C\ne 0\),则

    

  • 在本例中，\(\psi_p\)是不能归一化的

• 连续谱的本征函数是不能归一化的。

  • 当然，任何真实的波函数都不会是严格的平面波，而是某种形式的波包，它只在空间有限区域不为零。
  • 如果此波包的广延比所讨论的问题中的特征长度大得多，而粒子在此空间区域中各点得概率密度变化极微，则不妨用平面波来近似描述其状态。

2 \(\delta\)函数

• 为方便地处理连续谱本征函数地"归一化"，我们可以引用数学上地Dirac的\(\delta\)函数。

• \(\delta\)函数的定义

  

• 因此，若取动量本征态为

  

  则

  

• 这样，就用\(\delta\)函数的形式把平面波的”归一化“表示出来了

• 同样，不能归一化的坐标本征态也可以类似处理

  

3 箱归一化

• 平面波的"归一化"问题，还可以采用数学上传统的做法

  • 即先让粒子局限于有限空间[-L/2,L/2]中运动（最后才让L→∞）

  • 此时，为了保证动量算符\({\widehat p_x} = - ih{\partial \over {\partial x}}\)为厄米算符，就要求波函数满足周期性边条件。

  • 动量本征态，在周期条件下

    

  • 由周期条件，得

    • 即，或

  • 所以，或

    （粒子波长\(\lambda = {\rm{h}}/\left| p \right| = L/\left| {\rm{n}} \right|\)；即\(\left| {\rm{n}} \right|\lambda = L\)）。

  • 可以看出，只要\(L \ne ∞\)，动量的可能取值\(p=p_n\),就是不连续的。

• 此时，与\(p_n\)相应的动量本征态取为

• 利用正交归一化条件

• 利用这一组正交归一完备的函数\(\psi_{p_n}(x)\),可以构成如下\(\delta\)函数

• 现在让L→∞，\(\Delta {p_n} = {p_{n + 1}} - {p_n} = (h/L) \to 0\)，即动量的可能取值趋于连续变化。

• 此时，可以把\(h/L \to dp\),而

  • \(\sum\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\Delta {{\rm{p}}_n} = {h \over L}} \sum\limits_{ - \infty }^{ + \infty } { \to \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{\rm{dp}}} }\)
  • \(\sum\limits_{ - \infty }^{ + \infty } { \to {L \over h}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{\rm{dp}}} }\)

• 于是

• 结论：

​ 在处理具体问题时，如要避免计算过程中出现的平面波”归一化“困难，则可以用箱归一化波函数\(\psi_{p_n}(x)\)代替不能归一化的\(\psi_{p}(x)\)。

​ 在计算的最后结果才让L→∞。

• 三维情况：

​ 正交完备的归一化波函数为

​ 则\(\delta\)函数可如下构成：

​ 最后，当L→∞时

而

上式表明，相空间一个体积元\(h^3\)相当于有一个量子态

本章小结

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注意:
在体系的一组力学量完全集中,力学量的个数并不一定等于自由度的数目.一般说来,在力学量完全集中，力学量的个数>=体系的自由度数目.