本文未完成 DNF(Do Not Finish)
零、前言
在本文最開始我要說一下，我自己本身對 \(\operatorname{TREE}\) 函數就不太了解，本文肯定是有問題的，對於 \(\operatorname{TREE}\) 函數我后面會慢慢深入了解，在本文完成之前，不要隨意相信這篇所講的東西。
\(\operatorname{TREE}\) 函數以及 \(\operatorname{tree}\) 函數、\(\operatorname{SCG}\) 函數、\(\operatorname{SSCG}\) 函數確實沒有什么意義，我... 就是好奇。
中國國內對於 \(\operatorname{TREE}\) 函數這個數的資料確實有點少，我所看過的大部分文章、視頻說的都是關於 \(\operatorname{TREE}\) 函數的大小。
比如 \(\operatorname{TREE}(3)\) 和葛立恆數的大小比較（雖然確實，葛立恆數在 \(\operatorname{TREE}(3)\) 面前就是個渣渣）。
但很少提到 \(\operatorname{TREE}\) 函數到底是個什么東西。
然后我就寫了這篇，總結一下我所理解的 \(\operatorname{tree}\) 函數、\(\operatorname{TREE}\) 函數、\(\operatorname{SCG}\) 函數以及 \(\operatorname{SSCG}\) 函數。
說實話，這些函數實際意義暫時不大... 就是個數而已... 一個很大很大的數而已...
參考資料：
- Numberphile - The Enormous TREE(3)
- 大老李 - 畫樹畫出一棵超大數--TREE(3)漫談
- 大老李 - TREE(3)為什么是有限的？——克魯斯卡爾樹定理
- 百度貼吧 - 葛立恆數吧 - tree(k)、TREE(k)、SCG(k)、SSCG(k)簡介
- Wikipedia - Kruskal's tree theorem
- 大老李 - 貌似無限的有限——良擬序(well quasi orders)關系
在此表示感謝。
一、TREE 函數
1. 定義
\(\operatorname{TREE}\) 是一個函數，有一個自變量 \(k\)。提出者 Harvey Friedman。
\(\operatorname{TREE}\) 函數來源於一個連續畫樹的游戲。
在這個游戲中，你可以使用 \(k\) 種不同顏色的筆連續畫樹的節點，而邊的顏色我們不考慮。
當然是有規則的：
- 規則 1：畫的第 \(n\) 棵樹上的節點個數不能超過 \(n\)。
- 規則 2：畫的第 \(n\) 棵樹，前 \(n - 1\) 棵樹不能“包含”在第 \(n\) 棵樹里。
而 \(\operatorname{TREE}\) 函數的函數值為通過上述規則所能畫出最多樹的個數。
注意規則 2 的“包含”，數學中有一個名詞，叫“inf-embeddable”（中文：下確界-可嵌入）。
意思就是：
我們設兩棵樹 \(T_1\) 和 \(T_2\)。判斷 \(T_2\) “包含於” \(T_1\)：
- \(T_2\) 是 \(T_1\) 的子圖。
- \(T_2\) 中取若干節點，這若干節點如果可以跟 \(T_1\) 的節點建立一一對應關系，而且兩顆樹中，任意對應兩個節點的 最近公共祖先 是同一顏色。
完全滿足上面兩條中的其中一條的我們判斷 \(T_2\) “包含於” \(T_1\)。
上述是我對 Numberphile 的解釋的解讀，結合大老李的敘述寫的。
或者說“同胚鑲嵌”？（我不太明白，這里放一張圖）
2. TREE 函數與 tree 函數
3. TREE(1) 和 TREE(2)
我們先從人畜無害的 \(\operatorname{TREE}(1)\) 和 \(\operatorname{TREE}(2)\) 開始畫樹。
在 \(\operatorname{TREE}(1)\) 中，很明顯我們只能畫出一個根節點。所以 \(\operatorname{TREE}(1) = 1\)。
在 \(\operatorname{TREE}(2)\) 中，我們可以先畫出一個根節點，假設顏色為綠色，然后我們畫第二棵，為兩個紅色的節點連成的樹，然后畫第三個，一個紅色的根節點。我們不能再畫下去了，並且其他方法也不會大於三棵樹，所以 \(\operatorname{TREE}(2) = 3\)。
4. 從 TREE(3) 到 TREE(k)
可以自己嘗試。畫不下去的時候要保證這是樹的個數最大的方案，如果不是，可以換一種畫法，直到找到最大的那種。
但是我不建議你嘗試。
5. 有限的 TREE 函數
\(\operatorname{TREE}\) 函數的函數值是一個有限的樹，即 \(\operatorname{TREE}\) 游戲肯定會在某一刻結束。
對於證明這個東西，需要了解 Kruskal's Tree Theorem，即 Kruskal 樹定理。
二、良擬序
三、Kruskal's Tree Theorem
Kruskal 樹定理。
好吧，可能是由於某些原因，我只在 Wikipedia 上面找到了這個定理的內容...
In mathematics, Kruskal's tree theorem states that the set of finite trees over a well-quasi-ordered set of labels is itself well-quasi-ordered under homeomorphic embedding. The theorem was conjectured by Andrew Vázsonyi and proved by Joseph Kruskal (1960); a short proof was given by Crispin Nash-Williams (1963). It has since become a prominent example in reverse mathematics as a statement that cannot be proved within ATR0 (a form of arithmetical transfinite recursion), and a finitary application of the theorem gives the existence of the fast-growing TREE function.
In 2004, the result was generalized from trees to graphs as the Robertson–Seymour theorem, a result that has also proved important in reverse mathematics and leads to the even-faster-growing SSCG function.
這是 Wikipedia 上對於 Kruskal 樹定理的解釋，沒有中文翻譯...
然后我自己翻譯了一下：
在數學中，Kruskal 樹定理指出，在同胚嵌入下，一個良擬序標簽集上的有限樹集本身是良擬序的。
？看不懂...